“平面幾何中的向量方法”教材分析與教學設計

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(六安第二中學 安徽六安 237005)

“平面幾何中的向量方法”是高中數學人教A版必修4(以下簡稱“教材”)第2.5節“平面向量應用舉例”第一課時的內容.從實際教學來看，不少教師對本節課不夠重視，通常只是簡單地講解幾道例題、布置幾道練習，然后讓學生自己“了解、感受”向量法是解決平面幾何問題的另一種方法，缺乏對教學目標任務的深刻理解和準確把握，表現出較大的隨意性.現筆者將自己的教材分析與教學設計概述如下，與同行交流.

1 教材分析

中學教材中的向量，其幾何背景是有向線段，但二者有所區別：向量，無需考慮起點的絕對位置，它是可以“自由平移”的，這就大大方便了向量之間的相互轉化，使向量的運算成為現實.正如“教材”中所說：“因為有了運算，向量的力量無限；如果不能進行運算，向量只是示意方向的路標.”也正是基于向量所具有的幾何背景及其強大的運算功能，才使得向量方法成為解決幾何問題的重要途徑.它把一個思辨過程變成了一個算法過程，可按一定的程序進行運算操作，從而降低了思考問題的難度，具有一定的優越性，教師在教學時應引導學生加以體會.

用向量方法解決平面幾何問題，是RMI原理應用于數學領域的典型體現.RMI(relation mapping inversion)原理即“關系—映射—反演”原理，它是一種以聯系的觀點、通過尋找恰當映射實現化歸的問題解決策略，屬于較高層次的化歸.在高中數學中，對數法、向量法、復數法、解析法、參數法、換元法、變換法等，都是RMI原理的具體應用.具體到本節課，即是將平面幾何中元素之間的關系“映射”為平面向量之間的關系，然后將向量運算的結果“反演”為幾何結論，這樣，就解決了原有的平面幾何問題.“教材”中給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”，實際上就是RMI原理的思維過程.RMI原理的應用，可以鍛煉學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨創性.

本節課的“教材”內容，主要由下面2道例題構成：

圖1 圖2

例2如圖2，平行四邊形ABCD中，點E,F分別是AD,DC邊的中點，BE,BF分別與AC交于點R,T，你能發現AR,RT,TC之間的關系嗎？

2 教學設計

在義務教育階段，學生主要是利用綜合法研究平面幾何，通過演繹推理獲得幾何結論，經常需要作輔助線、構造圖形，規律性不強,難度較大.因此，本節課的教學，應著力于培養學生的“向量意識”——用向量的“眼光”理解幾何問題中的條件和結論、用向量的“手段”進行“推理論證”；應適時對比，讓學生充分體驗到向量法解決幾何問題的優勢，增強學習新知的主動性和積極性；應及時引導學生總結、提煉，并在以后的教學中尋找時機以繼續強化向量的工具作用，不斷完善學生的認知結構，避免出現向量法在學生腦中“曇花一現”、“雁過無痕”的結果.

3 教學目標

初步掌握并總結、歸納以向量和向量的運算為工具研究幾何元素及其關系的方法(常用的是基向量法和坐標法)，體會向量法的優越性；通過用向量法加強解決平面幾何問題的探索，加深對向量知識的理解，感悟其中蘊含的等價轉化與化歸的思想方法，發展學生提出問題、分析問題和解決問題的能力.

4 教學過程

設計1突顯“障礙”，激發求知欲，引入課題.

上課伊始，教師出示一道平面幾何題：

圖3

例3如圖3，在正方形ABCD中，設點P是對角線AC上任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，請問，直線DP與直線EF的位置關系如何？試證明你的結論.

教師讓學生根據題目條件，結合圖形猜想結論，進而嘗試用幾何知識證明自己的猜想.當學生一時難以找到思路時，教師指出：“幾何中的線段，一旦有了方向，它就成為一個向量；我們可以用向量的眼光去看待幾何元素，用向量方法解決幾何問題”(板書課題).

設計意圖從一道看似并不復雜的平面幾何問題入手，學生不難猜想出結論，可是用傳統的幾何方法很難證明.當學生處于“憤悱”狀態時，自然點明本節課的教學主題.

設計2降低“起點”，回歸“經典”，初識“向量法”.

在解決例3之前，先看初中學過的2個經典定理(PPT展示，包括幾何證法)：

圖4 圖5

定理2(勾股定理)如圖5，△ABC中，∠ACB=90°，求證：AC2+BC2=AB2.

教師提出：你能借助向量知識證明這2個定理嗎？引導學生思考：

問題1你能用向量把這2個定理的條件和結論分別表示出來嗎？

問題2請仔細觀察結論中的向量與條件中的向量之間的內在聯系，借助向量運算證明定理.

以定理1為例，

問題3比較每個定理的幾何證法與向量證法，你有什么體會？

利用痕跡檢驗技術對嫌疑車輛進行檢驗鑒定是運用最多，也是最為關鍵的一個環節。一方面，它可以認定肇事車輛，為國家、集體、個人挽回損失，為打擊犯罪提供證據，另一方面，可以排除非肇事車輛，使無辜者免收損失。

設計意圖學生一開始對向量工具較為陌生，需要通過低起點、漸進式的問題引導學生的思維.三角形中位線定理與勾股定理是學生非常熟悉的平面幾何經典定理，其向量證法簡單明了、互補性強(涵蓋了向量的線性運算與數量積運算)，與幾何證法對比鮮明，有利于學生形成初步的“向量意識”、“向量眼光”與“向量思維”，為例題的順利解決奠定基礎.

設計3層層引導，探究例題，再識“向量法”.

現在，我們嘗試用向量方法探究例題.

問題4你能分別用向量刻畫例3中DP與EF可能的位置關系嗎？

問題8用向量法求解平面幾何問題，通常有哪些步驟、方法？

師生共同歸納，得出：(1)向量法解決平面幾何問題的“三步曲”：幾何元素向量化→向量運算關系化→運算結果幾何化；(2)幾何元素轉化為向量的途徑：基向量法和坐標法.

教師可進一步指出：由平面向量基本定理可知，2個不共線向量就能夠表示出平面上任意一個幾何元素，從而可將“凌亂”的幾何對象變得有條理，使思維指向更加明確；加之向量運算兼具幾何與代數的雙重功能，這就使得幾何圖形中的平移、共線、垂直、相似、距離、角度等都可以通過向量的線性運算與數量積運算表示出來，可以降低思考的難度，正所謂“向量因運算而力量無限”.

設計意圖通過“問題串”的層次性引領，使學生經歷一次完整的用向量法求解幾何問題的思維過程，初步掌握用向量法求解幾何問題的方法程序，體會到向量作為一種工具的應用價值以及其中所蘊含的數學思想.平面向量基本定理是用向量表示幾何元素的理論基礎，向量運算則是幾何元素中“已知”與“未知”的聯系紐帶，保證了“三步曲”的合理性、有效性，教師應適時加以提煉、升華.

設計4獨立思考，嘗試應用，鞏固“向量法”.

課堂練習1如圖6，在ABCD中，已知邊AB=m,AD=n，對角線AC=p，求對角線BD的長.你能發現平行四邊形對角線的長度與2條鄰邊長度之間滿足怎樣的等量關系嗎？

圖6 圖7

課堂練習2如圖7，在Rt△HAB中，∠H=90°，HA=6，HB=4，C,D分別為HA,HB的中點，求2條直角邊中線所成鈍角的余弦值.

學生獨立作答，教師巡視指導，并對學生的解答情況進行點評(略).

圖8

設計意圖“課堂練習1”求解的是長度問題，它是將教材例1適當改編后得到的，改編的主要目的是避免在題目中直接將幾何元素用“基向量”表示出來，而是讓學生自主思考選擇；同時，改編后的求解目標也更為明確.“課堂練習2”求解的是角度問題，學生可以選擇“基向量法”或坐標法，根據向量的夾角公式算出結果.由于學生之前沒有學習過余弦定理，因此，這2個課堂練習用向量法處理比用幾何法處理要簡單得多，可以進一步提升學生運用向量知識解題的意識與能力.“課后練習”則是“動中求定”，訓練學生從向量的角度認識和處理共線問題，體現了特殊到一般思想、方程思想、等價轉化思想等.

課堂小結、作業(略).

(本文是安徽教育科學規劃立項課題“高中數學教師MPCK發展的實踐研究”階段性成果，項目批準號：JG13317.)

參 考 文 獻

[1] 劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學必修4[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2] 曹才翰，章建躍.中學數學教學概論[M].2版.北京：北京師范大學出版社，2011.

[3] 徐利治.數學方法論選講[M].武漢：華中工學院出版社，1983.

[4] 蔣亮.感悟“RMI原理”[J].中學教研(數學)，2012(7)：6-10.