追問首輪高三數學復習課的缺失
——有感于浙江省寧波市骨干教師評選之上課環節

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(寧波市教育局教研室 浙江寧波 315000)

背景介紹浙江省寧波市第5屆骨干教師評選(上課環節)在寧波某一級重點中學理科班舉行，經過學校、各縣的2輪選拔，來自寧波市9個縣(市)、區的5位選手參加上課環節的比賽.上課課型是首輪高三復習課，課題是“導數在研究函數單調性中的應用”(以下簡稱“參賽課”).作為寧波各縣(市)、區優秀教師的代表，他們的每節課都充分展現出自己的教學理念、執教能力、專業素養、教學特色和教學效果.筆者有幸作為評委聆聽了5堂風格各異的課，也激發了對首輪高三數學復習課教學的進一步思考，以下筆者結合平時的教學調研，談些個人的體會與感悟，以拋磚引玉.

1 首輪高三數學復習的定位是什么

教學現狀筆者與教師的交流中發現:教師大都信奉做題“熟能生巧”，在常態的首輪高三數學復習課中,超過一半教師的做法是：發講義、做練習、講題目，采用“題型+套路+訓練”的題海戰術，一節復習課“一張練習紙打天下”,試圖通過強化訓練達到高考考高分的目的.

診斷分析“題型+套路+訓練”的題海戰術非常符合行為主義學派的代表人物斯金納的“操作強化原理”，把源于動物學習的規律搬到人類學習活動中，把解法固化在題型上，再經強化訓練使學生模仿并記住.無可否認,這種做法應付常規題型有一定作用，但成本太高，且使數學的思維訓練價值蕩然無存，在機械重復訓練中學生的學習興趣無法激發，更是抹殺了學生的創新意識.再看浙江省高考導向：“在全面考查基礎知識和基本技能的同時，突出表現了‘重思維，重本質’的特點.”這種拘泥于對題型的研究、套路的演練、大運動量的訓練的復習方式，在高考中顯然不可能取得好成績.

教學建議首輪高三數學復習的定位應該是“基礎知識的掌握、基本技能的提高、基本思想方法的落實”;課堂教學建議圍繞“四化建設”進行，即基礎知識系統化、例題選擇精典化、思想方法大眾化、解題表達規范化;課堂教學應由“題型+套路+訓練”走向“概念+構建+思維”.

參賽課片段1導學案摘要

考綱解讀浙江省考試說明中“導數的應用”的解讀(內容略).

課本導讀函數的單調性與其導函數的正負關系，求可導函數單調區間的步驟(內容略).

熱身練習參賽教師收集了近幾年高考中出現的各種類型的函數，求其單調區間(練習略).

例題講解例題均選自近幾年高考模擬題或高考題,可分為以下3類:

題型1求已知函數的單調區間(例題略);

題型2討論含參函數的單調性(例題略);

題型3利用函數的單調性與其導函數的正負關系求參數范圍(例題略).

課堂練習(略)

評析導學案作為教學轉型期的一個新生事物，是集教師的“導案”、學生的“學案”和“練案”為一體的教學合一的文本，體現“以生為本，以學為本”的教學理念，支持先行的學習,是學習的任務與線索，反映教師對學習活動的設計.筆者以為復習課的導學案應側重在如何充分調動學生學習積極性、如何高效激活學生的思維火花、如何引導學生獲取知識求得能力;其功能應該是：教學流程的初構、問題診斷的依據、思維活動的支架、學法指導的載體.本節課圍繞“題型+套路+訓練”，導學案已演變為訓練為主的習題紙(合計有12題之多)，課堂演變成了大運動量的訓練場，顯然違背了首輪復習的宗旨.

2 數學的知識點怎么復習

教學現狀無論是常態課還是評優課，教師對數學知識點復習的方式有以下3種：(1)先重現學習過的有關知識點，再講解例題;(2)以問題驅動的形式復習相關知識點;(3)在例題、習題教學過程中復習，缺什么，補什么.

診斷分析數學知識點是指數學概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映的數學思想方法.理清與掌握數學知識是學好數學的第一步，首輪高三數學復習課對知識點的復習，既是為了便于記憶，又是為了透徹理解、融會貫通，便于應用時隨時提取，故復習時不應是簡單的知識重現，而應是重新整理與構建的過程.由此可見，上述“教學現象”3種方式中的第1種做法不可取，第2種做法要注意問題設計中“梯度、廣度、深度”的把握，第3種做法有“腳踏西瓜皮，滑到哪里算哪里”之嫌，缺乏系統性.

教學建議建議編織知識網絡.尋找出所學內容的主線，在主線的引導下，以全新的邏輯鏈和學生的思維鏈將原本知識重新梳理與整合，挖掘知識的內在聯系，拓展知識的橫向、縱向聯系，以優化知識結構，感悟思想方法，激發學生進一步學習和探索的興趣，達到“見樹木更見森林”的境界.

圖1

參賽課片段2復習與問題診斷

例1已知f′(x)是f(x)的導函數，f′(x)的圖像如圖1所示，則f(x)的圖像可能是

( )

A. B. C. D.

追問1若f′(x)=0，則原函數有何特性?

追問2若可導函數在某個區間(a,b)內單調遞增，則f′(x)>0？

(教學策略：學生回答，教師補充完善.)

評析執教教師先以問題驅動，復習了原函數與其導函數圖像之間的關系，接著橫向聯系“命題及其關系”，通過2個追問，使得學生對“函數的單調性與其導函數的正負關系”有進一步的認識，意在培養思維的嚴謹性和發散性.

3 如何選擇、呈現例題

教學現狀現在復習資料滿天飛，部分教師采取“拿來主義”，或直接采用，或從歷年的高考題、模擬題中挑選與教學內容有關的題目作為例題.

診斷分析維果斯基的“最近發展區理論”認為,學生的發展有2種水平：一種是學生的現有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平；另一種是學生可能的發展水平，也就是通過教學所獲得的潛力.兩者之間的差異就是最近發展區.借鑒該理論“拿來主義”不可取，例題的選擇要根據教學目標著眼于學生的最近發展區，“跳一跳，能摘到”，為學生提供適合的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能.

教學建議例題要體現“典型性、針對性、層次性、靈活性”.建議結合學生的學情，如：學生的認知基礎、學習難點、學習誤區、學習困惑、學習錯誤等.選取例題的途徑有：(1)由課本典型例題、習題改造而成的再生試題,常用的改造技術有：逆向提出問題、同一模型的不同外顯形式、特殊問題一般化、一般問題特殊化、運用思想方法、組合嫁接等;(2)在上一屆學生用得較好的高三復習資料中篩選；(3)對市場上現賣的資料進行”三整合”——問題整合、知識整合、方法整合；(4)對歷年高考題、模擬題進行改編.例題的呈現方式一般有以下3種方式：(1)一題多變式:從一個題目出發，由簡單到復雜、特殊到一般，不斷改變其中的條件與結論；(2)分類式:某一內容的問題分成不同類型進行編排；(3)遞進式：按知識要求的不斷提高進行排列；(4)同一題干式:在同一題干下設置不同的問題，由易到難排列.

參賽課片段3例題設計

參賽課片段4例題設計

(2)若f(x)在[1,2]上單調遞增，求m的取值范圍.

追問1變“g(x1)-g(x2)

追問2變“g(x1)-g(x2)

評價執教教師設計的2個例題,起點低、落腳高，且層層遞進，讓不同思維層次的學生有不同的發展.通過例3第(1)小題回顧、復習利用導數求函數單調區間的基本步驟，書寫的規范化示范，指出易錯的地方——遺漏定義域的考慮，例3第(2)小題研究最基本的含參問題的單調性.例4將例3第(1)小題中的函數拆成2個函數，求解時需要構造函數，而構造函數恰恰是本節課的難點，再通過2個追問，意在揭示絕對值問題的處理方法，滲透等價轉換思想.例4充分體現了“建構+思維”的設計意圖，也充分展示了執教教師的睿智.

4 例題教學的要素是什么

教學現狀教師處理常態課中例題教學環節通常有2種方法：一是教師讀題，學生回答怎么做(或學生上臺板演),然后教師講解并板書解題過程；另一種是教師自說自話，一講到底，就題論題.

診斷分析2000年頒布的“大綱”(試驗修訂版)中明確指出：練習的目的是使學生進一步理解和掌握數學基礎知識，訓練、培養和發展學生的基本技能，能夠及時發現和彌補教和學中的遺漏或不足，培養學生良好的學習習慣和品質.由此可見解題有四大目的：加深理解和掌握雙基；培養和發展能力；查漏補缺；培養學習習慣，學會思考.教學現狀顯然沒能達到要求.

教學建議波利亞在他的“怎樣解題表”中將數學題目的解決分為4個步驟，即弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧.借鑒“怎樣解題表”，筆者建議例題教學圍繞以下4個要素：(1)審題——要求學生對題目的條件和結論有一個全面的認識，要幫助學生掌握題目的數、形特征，特別要注意隱含條件的挖掘，并引入適當的符號.(2)探索——突出解題思路的探索過程，引導學生分析已知條件與結論間的內在聯系和必然的因果關系，假如不能直接找出關系，考慮尋找中間的輔助問題過渡(如，對問題作等價變換，化歸為熟悉的問題；對原問題作特殊化處理，降低難度，再作方法遷移等).(3)表述——要求合乎邏輯、層次分明、嚴謹規范、簡潔明了，同時要關注答題技巧(小題巧做、小題小做),解答題要特別注意采分點.(4)反思——回顧解題活動過程，除了檢查每一步的運算正確性外，還可引導學生自問：還有其他不同的解題方法嗎？能說出各種解法的優劣嗎？能通過變換、推廣、類比作出新的數學發現嗎？能將這些結果或方法應用到別的問題上嗎？

5 教師是否需要解題規范化的示范

教學現狀在數學復習課中,大部分教師重視分析過程，輕視解題過程的板演，更多的是用PPT代替教師的板書示范.

診斷分析用PPT雖然也能呈現解題過程，但由于屏幕的限制，影響了解題過程的整體感知，同時由于課件伴隨教學內容經常變動，不方便學生前后知識的聯系與筆記.

教學建議作為學生學習的榜樣,教師規范的板書在教學過程中是必不可少的，建議一節課教師至少完整地板書示范一道題.

參賽課片段5復習回顧

師：函數的單調性與其導函數的正負有怎樣的關系？

生1：(略).

師：補充完善(略).

師(板書)：試一試，求下列函數的單調遞增區間：

(2)f(x)=(x2-4x+1)ex；

(教學策略：先學生動筆練，后教師逐一板書并講解.)

師(小結)：(1)常見的求導函數的類型有：三次多項式函數、指數函數y=ex與二次多項式函數的組合、對數函數與二次多形式函數的組合、分式函數與對數函數的組合.

(2)導數是研究函數單調性的工具之一，以上4道題求導后，最后都可轉化為求解不等式：x2-2x-3>0，差異在定義域的不同，這也是學生容易出錯的地方.

(3)利用導數求函數單調區間的一般步驟(書寫).

評析執教教師以提問的方式復習相關知識點“函數的單調性與其導函數的正負關系”，并羅列了近幾年高考中出現的求導函數的類型，通過求他們的單調區間復習利用導數求函數單調區間的一般步驟，強調容易出錯的地方是“疏忽定義域”，且對4道題目都一一板書示范，這樣的教學很好地起到了基礎知識與基本方法的復習與鞏固作用，也給學生完整地板書示范.但從教學效果看，這部分“復習回顧”時間耗費太多，后續“利用導數研究含參函數的單調性問題”的時間倉促，而后者恰恰是學生的疑難點所在，整節課虎頭蛇尾,建議調整.方案1：選擇(3)或(4)中的一道題，先學生動筆做，后教師板書示范講解.方案2：分4組，每組完成(1)～(4)中的一道題，再展示學生的作品，后師生共同糾錯完善，得出利用導數求函數單調區間的一般步驟.

6 首輪數學高三復習課有固定的模式嗎

教學現狀筆者在與教師的交談中發現，常態首輪數學高三復習課的模式大同小異：考點解讀—真題回顧—講解例題—歸類小結—練習鞏固—布置作業.

診斷教學數學教學模式是在一定教學思想與教學原理指導下，圍繞一個特定的教學目標形成的相對穩定的規范化教學程序與操作體系.以上首輪高三復習課的程序是教師多年總結出來的教學經驗，從教的角度看，環環緊扣，教師關注知識的廣闊性、深刻性以及思維的靈活性與發散性，似乎教得高效.但從學的角度看，若每天這么上，學生會學得愉快嗎？學生不產生“審美疲勞”才怪呢.

教學建議北師大數學系曹一鳴老師在“借鑒、整合、超越——數學教學模式運用的三重境界”一文中說得好：教師要靈活運用模式，最終是要超越模式，逐漸形成自己的教學風格，走向教學的自由，達到“無模式化”教學的最高境界.筆者以為復習課也是如此，不應固定在模式上，而應以“要素的組合”替代模式，研究“學為中心”的復習課的要素.調研發現，凡是有效的首輪高三復習課都有以下幾個要素：知識的系統化梳理、解題思路的分析與優化、疑點與難點的剖析、錯誤原因的分析與糾正、解題過程的書寫示范、反思與提升等.

7 首輪數學高三復習課應選擇怎樣的教學方法？

教學現狀筆者調研后發現，新課程標準下倡導的學生“自主、合作、交流”的學習方式，已被一線教師們接受，在公開課或各類課堂教學評比中被采納，他們以自己的理解方式自主設計和大膽嘗試，可謂百花齊放.在首輪高三復習課中也是如此.

診斷分析“學習金字塔”是美國緬因州的國家訓練實驗室研究成果，它用數字形式形象顯示了：采用不同的學習方式，學習者在2周以后還能記住內容(平均學習保持率)的多少，學習方法不同，學習效果大不一樣.我們最熟悉最常用的復習課方式是處在塔尖的第一種學習方式——“聽講”，學習效果是最低的，2周以后學習的內容只能留下5%，學習效果在50%以上的，都是團隊學習、主動學習和參與式學習.筆者在調研中發現：“自主、合作、探究”的教學方式已基本達成共識，但操作性的爭論依然激烈，如：問題診斷一定要學生上臺板演嗎？學生做題、思考問題一定要討論嗎？合作探究是深入解題的唯一途徑嗎？值得商榷.

教學建議數學是思維的體操，數學教學的本質是以思維為核心的數學發展過程教學，數學方法和數學思想是其中2個關鍵的問題.筆者以為數學課堂不應一味追求表面的熱鬧，數學學習需要學習者自身的理解、領悟、內化，采取何種教學方式取決于復習目標的不同類型、學生的學情、教師的教學風格，“教學有法，教無定法，貴在得法，妙在導法”.