字母系數方程與高次方程的拓展

●章才岔

(溫州外國語學校 浙江溫州 325000)

方程是一種重要的數學模型，也是一種重要的數學思想.在初中數學競賽中，含字母系數的方程及高次方程的應用與拓展始終是學生學習上的熱點與難點.解決此類問題，常常涉及分類討論、數形結合等數學思想，用到因式分解、整除和不定方程的解法等有關知識，具有較強的綜合性和技巧性.現選競賽試題為例，談談此類方程在競賽中的拓展應用.

1 變更主元法在解高次方程中的應用

在初中數學競賽中，對于三次及以上的方程(組)，常常伴隨著多個未知數出現.一般情況下，并非每一個字母的最高次都會大于或等于三次，當所求未知數高于三次，而系數字母次數小于或等于二次時，常常可以用變更主元的方法去解此類方程.

例1 已知a≥-6，解關于x的方程

x4-10x3-2(a-11)x2+2(5a+6)x+a2+2a=0.

分析 本題若直接以x為主元解這個方程，次數較高，無從下手．但注意到系數字母a的最高次冪僅為二次，因此可以改變策略，采用變更主元的方法，視a為主變量，x為字母系數，則原方程可化為關于a的一元二次方程，方便求解．此方法將高次方程中的元進行巧妙互換，從而使高次轉化為低次，此即轉化思想在解題中的應用之一．

解 原方程變形為

a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3+22x2+12x)=0,

從而Δ= 4(x2-5x-1)2-

4(x4-10x3+22x2+12x)=

4(x2-2x+1),

于是

解得

a=x2-6x或a=x2-4x-2,

即

x2-6x-a=0或x2-4x-a-2=0,

故

注 這是一個典型的變更主元解高次方程的試題，主要運用于轉化變量與參數或常數的位置關系，以達到化繁為簡的目的，此種解法可以說是一種逆向思維法.

當然，例1中元的變更比較容易，在平時的習題中，同樣存在著元用具體數字形式給出的變更方法.

分析 這個方程僅含有一個未知數x，但要求解方程，卻非常不易.觀察此方程的系數“11”多次出現，故可以將常值11看作一個“未知數”，即通過“常值代換”，進行逆向轉換，然后轉化成二次方程求解.此題在應用轉化思想時，雖然與例1異曲同工，但要將一個常數看作一個新的元時，需要學生們有敏銳的數感，在平時的解題中多觀察數式的結構特征，才能觸類旁通.

xt2+(2x2+1)t+(x3+1)=0,

解得

即

注 高次方程求解的基本思路也是“降次”，因此求解的關鍵是如何降次及降次的方法.除了常見的配方法、因式分解法、換元法之外，例1和例2給我們提供了解高次方程新的拓展思路.

2 整數解在整系數高次方程中的拓展應用

數學競賽中的高次多項式或高次方程，很多是在整系數范圍內進行研究拓展.對于此類多項式和方程，首先要了解高次方程整數解存在的可能情況，在整數根驗證的過程中尋求解題的突破口.

現以首項為1的整系數三次方程為例，探討在何時會有整數解：對于三次方程x3+px2+qx+m=0，其中p,q,m為整數，若存在整數解c，則c只可能是m的因數.

證明 將c代入原方程得

c3+pc2+qc+m=0，

移項得

m=-c3-pc2-qc，

即

m=c(-c2-pc-q).

因為-c2-pc-q與c及m都是整數，所以c是m的因數．

上述過程說明：整數系數方程x3+px2+qx+m=0的整數解只可能是m的因數．

例3 解方程x3-2x2-4x+3=0.

分析 高次方程的求解，突破口在于降次，本題對于配方、換元等方法顯然不適合.而方程左邊這種整系數的多項式，讓我們聯想到是否可以用因式分解進行降次，于是問題可轉化為如何尋求多項式的一個因式，而這種因式的尋找，首先從整系數因式開始，即聯想方程的整數解.

解 方程x3-2x2-4x+3=0的整數解只可能是3的因數，即1,-1,3,-3.將它們分別代入方程x3-2x2-4x+3=0進行驗證,得x=3是該方程的整數解,從而x-3是x3-2x2-4x+3的一個因式,于是

x3- 2x2-4x+3=

x3-3x2+x2-3x-x+3=

x2(x-3)+x(x-3)-(x-3)=

(x-3)(x2+x-1)=0,

例4 已知a是正整數，如果關于x的方程

x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0

的根都是整數，求a的值及方程的整數根.

(2007年全國初中數學聯賽試題)

分析 作為高次方程，同時含有字母系數，直接求解不容易.根據已知條件，a是正整數，且方程的根都是整數：一方面可以通過整數根將方程左邊因式分解，以達到降次的目的；另一方面，可以通過判別式必須為完全平方數進行因數分解，討論可能的情況.

解 將方程左邊因式分解得

(x-1)[x2+(a+18)x+56]=0,

由題意可知，方程x2+(a+18)x+56=0的根都是整數,從而Δ=(a+18)2-224應為完全平方數.令(a+18)2-224=k2(k是正整數)，則

(a+18+k)(a+18-k)=224.

當a=39時，原方程有3個根為1，-1，-56；當a=12時，原方程有3個根為1，-2，-28.

3 整除性在高次方程(組)中的應用

通常關于方程整數解的討論用到整除知識與分解變形技巧，是初中數學競賽常考的內容之一.對于整系數高次方程(組)，若已知解為整數，則已經為待定系數增加了一個隱含條件，如何去探求字母系數的關系或求解方程(組)，運用整除性就是常用的有效手段之一.

分析 當遇到高次方程組時，解題的突破口同樣在于消元，但如何消元與方程組的形式特征有著極其重要的關系.如本例中，若消去y，則余下就是一個關于x的三次方程，且同時含有3個字母，顯然不易求解.第1個方程進行部分因式分解，得y=x3-x(ax+b)，觀察第2個方程，通過整體代換可消去a，b這2個待定系數，以下只要根據(x，y)為整數解進行整除性方面的討論即可.

解 第1個方程可化為

y=x3-x(ax+b)=x3-xy，

即

(1+x)y=x3，

顯然方程中x≠-1，因此

因為x,y是整數,所以1+x=±1，即x=0或x=-2.

當x=0時，y=0，此時a,b滿足的關系式是b=0(a為任意實數)；當x=-2時，y=8，此時a,b滿足的關系式2a-b+8=0.

例6 求使關于x的方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0的根均為整數的所有整數a.

分析 本題所給方程既是關于x的方程，又是關于a的高次方程.顯然題目中以x為主元有利于解題，但同時又隱含著一次方程與二次方程的討論，解題的基本思路是：

(1)討論二次項系數的情況:若二次項系數為0，則直接求解判斷；若二次項系數不為0，則由韋達定理表示出2個根的和與積.

(2)將2個根之和與積的表示式寫成整式與分式和的形式，并且分式的分子一定為整數.

(3)根據整除的性質，可知分式的分母一定是分子的約數，從而求出字母的可能取值.

(4)將字母的可能值分別代入原方程檢驗,從而確定結果.

解 當a=-1時，原方程變為-2x-8=0，得x=-4，符合要求；當a≠-1時，設方程的2個整數根為x1,x2，則由韋達定理，得

當a=0時，原方程為x2-x-6=0，解得x1=3,x2=-2；當a=1時，原方程為2x2-2x-4=0，解得x3=2,x4=-1；當a=-2時，原方程為-x2-5x-22=0，無實根；當a=-3時，原方程為-x2-10x-60=0，無實根.

綜上所述，當a=-1時，方程的整數根為x=-4；當a=0時，方程的整數根為x=3或x=-2;當x=1時，方程的整數根為x=2或x=-1.

4 其他特殊方法在高次方程中的拓展應用

4.1 試根分解

前面，我們了解了在整系數范圍下整數根的驗根方法，更進一步，在整系數范圍下有理根的驗根方法如何呢？

試根法即猜根法，是用來試探性地求解一元高次方程的方法，一些比較復雜的因式分解也可以利用試根法來解決(試根法一般適用于整系數多項式的因式分解).具體方法如下：

例7 求一實數p，使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p的3個根均為自然數.

分析 對比例4，本題中字母系數不明確是否為整數，試根的方法也與例4中整數根的驗證有所區別.觀察方程的特點，當x=1時，方程2邊相等，故66p移到方程左邊分解后含有因式(x-1)，進而通過待定系數或綜合除法可得

(x-1)(5x2-5px+66p-1)=0

的解為自然數，然后根據韋達定理可知p為方程2根之和，即p是自然數，進而求出p的值.

解 原方程可化為

5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1-66p=0.

觀察知當x=1時，方程左邊為0，于是

(x-1)(5x2-5px+66p-1)=0,

因此只要方程5x2-5px+66p-1=0的2個根為自然數即可.因為p是方程5x2-5px+66p-1=0的2個根之和,所以p是自然數.設

Δ=(5p-132)2-17 404=n2(n∈N*),

則

(5p- 132+n)(5p-132-n)=17 404=

22×19×229.

又因為5p-132+n，5p-132-n同奇偶,所以

解得

p=76.

4.2 公式變形

變形法主要是對方程中具有特殊形式的式子，通過公式變形轉化為具有同一形式或相同特點的式子，進而采用整體或換元的方法使方程降次，再求解的方法.常用的變形式有：

(x+y)2=(x-y)2+4xy；

x2+y2=(x+y)2-2xy=(x-y)2+2xy；

a3+b3=(a+b)[(a+b)2-3ab]；

a3+b3+c3=3abc,其中a+b+c=0.

例8 關于x的方程x4+(k-1)x3+kx2+(k-1)x+1=0沒有實數根，求實數k的取值范圍.

即可采用換元的方法使原方程降次.

解 原方程2邊同除以x2，得

y2+(k-1)y+k-2=0，

即

(y+1)[y+(k-2)]=0,

從而y=2-k或y=-1(舍去).要使原方程無解，則

-2

即

-2<2-k<2,

故k的取值范圍是0

4.3 零點判斷

零點法，就是根據零點存在性定理，當函數在某一閉區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)<0，2個端點值符號相反說明圖像必穿過x軸，因此在(a,b)上必有一個零點.

例9 三次方程x3+x2-2x-1=0的根不可能在的區間為

( )

A．(-2,-1) B．(-1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

分析 本題屬于函數零點存在性定理的簡單應用.若去求方程的解，顯然不容易也不必要，可令f(x)=x3+x2-2x-1，則函數f(x)在R上連續，然后結合零點存在性定理即可求解.

解 設f(x)=x3+x2-2x-1，則f(x)在R上連續.因為f(-2)=-1<0，f(-1)=1>0,所以函數f(x)在區間(-2,-1)內存在零點，即方程x3+x2-2x-1=0有一個根在區間(-2,-1)內.

同理可得f(0)=-1<0，f(1)=-1<0，f(2)=7>0,因此原方程的3個根分別在區間(-2,-1)，(-1,0)，(1,2)內.

當然，字母系數方程與高次方程作為初中數學競賽內容的一個部分，其可拓展的寬度與深度方面還有很多.本文僅選取較為常見的一些試題，通過對問題的剖析求解，幫助讀者在梳理歸納的過程中，進一步拓展探究，總結方法，達到把握初中數學競賽試題的脈絡.