例談局部調整法在不等式證明中的應用

●張小明

(海寧市高級中學 浙江海寧 314400)

在中學數學競賽中，局部調整法(又稱磨光法)是證明不等式常用的手段與技巧.理論上其逐步逼近目標，直至最后徹底解決問題，實際上它主要可以表示成如下定理1～4.本文選用一些常見的數學競賽題和網絡流行題為例，說明局部調整法的作用.

定理1 設n∈N,n≥2,I?(-∞,+∞)是一區間，若對于任意的x1,x2,…,xn∈I，n元連續對稱函數f滿足

定理2 設n∈N,n≥2,I?(0,+∞)是一區間，若對于任意的x1,x2,…,xn∈I，n元連續對稱函數f滿足

一般稱定理1為“和調整”(可參考文獻[1])，定理2為“積調整”.

1 任意2個自變量之間的調整

由定理1,知f(x1,x2,…,xn)≥f(A,A,…,A)，即

2 2個特定自變量之間的調整

2.1 在最大值與最小值之間的調整

定理3 設n∈N,n≥2,I?(-∞,+∞)是一區間，若對于任意的x1,x2,…,xn∈I，當x1≥x2≥…≥xn-1≥xn時，n元連續對稱函數f滿足

定理4 設n∈N,n≥2,I?(0,+∞)是一區間，x1,x2,…,xn∈I，當x1≥x2≥…≥xn-1≥xn時，n元連續對稱函數f滿足

例4 設a1,a2，…，an均為正數,a1a2…an=1，求證：

證明 由對稱性不妨設a1≥a2≥…≥an，且設

由定理3,知f(a1,a2,…,an)≥f(1,1,…,1)=0,即證.

與例4和練習題2相關的結果可參見文獻[2].

2.2 自變量最小(大)值不參與的調整

例6 設x≥0,y≥0,z≥0,t≥0，x+y+z+t=4,求證：

(1+3x)(1+3y)(1+3z)(1+3t)≤130+126xyzt.

證明 不妨設x≥z≥y≥t，f(x,y,z,t)=130+126xyzt-(1+3x)(1+3y)(1+3z)(1+3t).此時z+t≤2,zt≤1，從而

例6的證法已經把本文介紹的技巧集于一身，它是自變量最小值t不參與調整的情形下，自變量的最大值與次小值進行“和調整”，從而由定理3知：除t外，其實自變量都能調整到相等，不妨設為s，最后證明二元函數f(s,s,…,s,t)≥0.

3 其他情形的局部調整法

例7 已知a≥0,b≥0,c≥0，a+b+c=1，求證：(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≥2.

證明 設f(a,b,c)=(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2.先證f(a,b,c)≥f(0,a+b,c)，其等價于

(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≥(1-0)2+[1-(a+b)2]2+(1-c2)2,

由1=(a+b+c)2≥(a+b)2=a2+2ab+b2知上式為真.此時f(a,b,c)≥f(0,a+b,c)=f(c,a+b,0)≥f(0,a+b+c,0)=2,即證.

例8 已知正實數x1,x2,…,xn，滿足x1x2…xn=1，求證：

(1999年羅馬尼亞數學奧林匹克國家隊試題)

證明 先證如下的結論(1)和結論(2)，此處略.

(1)若x≥n-1，y≥n-1，則

(2)若x≤n-1，y≤n-1,則

由于易證最后一式的左邊關于s單調且能在s=1時等號成立，即證.

關于局部調整法，還有微分判別準則，具體可見文獻[3].

4 練習題

(2005年全國高中數學聯賽試題)

(在成文過程中，得到“局部調整法”研究專家石世昌先生的幫助，在此表示衷心感謝！)

[1] 趙德鈞.關于求多元對稱函數極值的一個磨光法[J].數學通報,1998(12)：31-32.

[2] 楊學枝.數學奧林匹克不等式研究[M].哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社,2009：330-331.

[3] 張小明，褚玉明.解析不等式新論[M].哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社,2009:217-259.