一類向量線性和的系數問題解決方案的探究

●楊 雪

(華東師范大學附屬東昌中學 上海 200120)

1 向量應用的現狀分析

平面向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景.它作為線性數學的代表，作為在幾何與代數間自由游走的一種方法，正逐步為一線教師們所認可并熱捧.從向量進入教材以來，不少同行對它進行了分析和研究，展現出它帶來的“精中求簡、以簡馭繁”的超凡能力.

從學生的角度來看，他們對于向量章節的認識與應用能力又如何呢？筆者曾在所任教班級的學生中做過一個小調查：你曾在哪些問題的解決中用到向量的方法？比較集中的回答是：立體幾何中求異面直線夾角、2條直線的平行與垂直關系的說明、三角形形狀的判斷、三點共線的判斷.這就是向量章節的教學成效嗎？仔細分析，這些應用都是直接套用課本公式即可，屬于知識應用的第一層次，學生對于向量學習的成效僅限于此嗎？如何從課本知識出發，由淺入深，鋪設臺階，讓學生能拾級而上，學會一種方法，解決一類問題？

2 始于課本知識的探究源頭

為了考查學生對于向量方法應用的意識與能力，筆者選擇了一道幾何求定值的例題，請數學能力較強的10位學生嘗試完成：

圖1

根據反饋，9位學生用平面幾何的方法解決，但過程繁瑣，只有1位學生想到用向量的方法，但解決過程沒有體現向量方法“精中求簡、以簡馭繁”的特點.為此，筆者提示學生運用一個向量和的幾何模型，即：

圖2 圖3

從而

由此，筆者激發了一個想法：不妨將這個小模型作為探究這類問題解決方案的起點，通過一系列條件的變化，讓學生能拾級而上，達到對此模型的全面了解，提升解決一類向量線性和問題的能力.

3 “變條件”開拓學生認知的廣度

討論從學生對于“‘中點’的條件限制了模型的應用”這一疑慮啟航.

圖4 圖5

通過“C為線段AB的中點”到“C為直線AB上一點”的延拓過程，學生又有2個發現：

(1)此式與定比分點公式異曲同工；

條件變化1使學生獲得了知識的互通與銜接，增加了知識應用的通道，幫助提高學生的理解與掌握能力.對于定比分點公式、平面向量基本定理的應用，學生原有的應用水平只是停留在公式直接套用的層次，而如今找到了這些代數表達形式的一種幾何解釋，建立了知識之間的相關性，將有助于提升學生對知識點的認知水平.

條件變化2 在此模型中，點C并非在直線AB上，而是平面內任意一點，又如何實施應用呢？

圖6

筆者與學生一起回憶了一道期末試題：

( )

A.01

C.m+n<-1 D.-1

(上海市浦東新區2013學年度第一學期期末

質量抽測第18題)

學生設AB與OC交于點D，將不共線的點A,B,C轉化為共線的點A,B,D，進而解決系數和m+n的范圍問題，得到答案B.

( )

圖7 圖8

4 “逆應用”增加學生認識的深度

通過證明，可得：

圖9 圖10

圖11 圖12

數學中存在很多的條件與結論互為充要條件的命題，但是從認知角度來說，學生往往比較適應于先入為主的單向應用，較容易忽視“逆向”的應用，從而削弱了結論多角度應用的作用.因此，關于“利用x+y的取值范圍判斷點C的位置”的訓練將有助于培養學生對于命題或結論多方位應用的能力與意識，同時再次體現了向量的數與形的完美結合.

5 “提難度”優化學生認知的精度

例4[3]在平面直角坐標系中，O是坐標原點，2個定點A,B滿足

( )

(2013年安徽省數學高考理科試題第9題)

圖13

利用向量的分解，很快得到當點C落在△OAB的內部時，對應x+y∈(0,1),x∈(0,1),y∈(0,1).因此，可利用x,y,x+y精確點C的位置.由之前的鋪墊，學生已可以將上述討論的區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ利用x,y,x+y的范圍進行更細致地劃分，在此不再贅述.

(1)當λ≥0,μ≥0時，

此時點P在△OAB上及內部；

(2)當λ≥0,μ≤0時，

此時點P在△OAB′上及內部；

(3)當λ≤0,μ≥0時，

此時點P在△OA′B上及內部；

(4)當λ≤0,μ≤0時，

此時點P在△OAB及內部.

6 結束語

選擇這個模型作為切入口，筆者的又一用意是：重新審視了平面向量基本定理在向量章節中所處的地位——它為未知向量問題轉化為已知向量問題的研究提供了便捷有效的工具；它融合了向量的加法、減法、數乘運算；它提供了一條判斷共線的重要途徑；分解的唯一性有效地轉化了向量的數與形.

教學中存在著太多類似的案例，看似簡單的問題卻能通過諸多的變化將相關結論與知識有機聯系起來.如何將看似離散的知識點串接，或許是師生都希望找尋的一條有效的教與學的途徑.在紛繁的題海中，做個有心人，采拮各類信息，積淀所得必會發現它們之間顯性或隱性的聯系，進行一番有序的排列，呈現給學生的或許就是一副美輪美奐之圖.

[1] 袁海軍．一道課本習題的意外收獲[J]．中學教研(數學)，2013(11)：17-18．

[2] 虞濤．高中課本中的數學基本解題方法[M]．上海：華東師范大學出版社，2007：56-78．

[3] 高浩．高考復習貴在教材探究[J]．中學數學教學，2014(1)：31-32．