基本活動經驗積累的實踐探索與思考
——以“極大值與極小值”的教學實錄及點評為例

●崔道永 劉洪華

(沛縣中學 江蘇沛縣 221600)

1 問題的提出

2006年數學教學在注重“雙基”的基礎上由東北師范大學史寧中校長首次明確提出了對數學基本活動經驗和基本數學思想方法的要求，并在2011年正式寫入《義務教育數學課程標準》.現在各界對數學基本活動經驗的研究不斷深入，但對基本活動經驗的認識無論是其概念還是性質都未統一，不同的研究者對“基本活動經驗”的認識不盡相同.國家《普通高中數學課程標準》制定組組長張奠宙先生對“基本活動經驗”進行了界定與分類，他認為基本活動經驗是在數學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識[1]；王新民等認為它是學習者在參與數學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用認識[2]；羅朝陽等也有自己的不同見解.在意見不統一的情況下，教學功能卻有著驚人的共性，但普通高中的數學教學中還沒有完全涉及，如何利用數學課堂教學培養學生的基本活動經驗更是鮮有人提.最近，筆者在設計一節常態新授課“極大值與極小值”時，不斷地探索如何設計問題以促進學生的基本活動經驗的積累，現給出實錄內容和點評，與讀者交流.

2 學情分析

2.1 授課對象

學生均來自江蘇省四星級中學，在探究式學習中已具備了觀察、實驗、猜想、驗證等學習能力；筆者所在學校大力推進課堂教學模式改革，學生已形成良好的小組合作交流意識.

2.2 教材分析

所用教材為蘇教版《數學(選修2-2)》，本節課是第一章導數應用的部分內容，在此之前學生已學習了導數的定義、幾何意義與利用導數求函數的單調性、單調區間等內容，是函數單調性的后續內容，同時也為“最值”問題作鋪墊，起承上啟下的作用.這部分內容共2個課時，這里是第1課時.

教學目標 (1)掌握極值的概念； (2)會求函數的極值并掌握利用導數法求極值的一般步驟； (3)了解數學發展的一般規律.

3 教學實錄與點評

師：上節課我們學習了函數導數的幾何意義、函數單調性與導數之間的關系以及用導數法確定函數單調性的步驟等知識，同學們能否表述出來？

生1：導數的幾何意義為曲線在某一點處切線的斜率等于其函數在該點處的導數值.

生2：函數y=f(x)在區間(a,b)上有定義且可導，f′(x)>0，則y=f(x)在區間(a,b)上單調遞增；同理f′(x)<0，則y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.求y=f(x)單調區間的步驟為：先求定義域，再求導函數，分別令f′(x)>0，f′(x)<0解不等式，最后寫出函數的單調區間.

師：很好.

點評 為情境創設作鋪墊，教師借助學生已有的知識經驗指明方向.

圖1

師：觀察正弦函數f(x)=sinx在區間(0,2π)上的圖像(如圖1)，探究函數的單調性與其導數之間的關系.

(小組合作交流，時間5分鐘.)

師：為什么？

生4：因為f′(x)=cosx，所以

點評 正所謂“數缺形時少直覺，形少數時難入微”，這里以“形”引“數”，引領學生自主發現“數”與“形”的完美統一，拓寬其思維的靈活性與廣闊性,利用基本圖形等數學表征工具進行基本操作是數學活動經驗的重要特征之一.

(學生們開始議論.)

點評 創設正弦函數的單調性與導數之間關系的問題情境，為構建“極值”的概念作好鋪墊.雖然這里的正弦函數已遠遠脫離日常生活，但在教師的不斷加工、提煉、篩選下，借助學生已有的認知結構，順利地完成了既定的教學步驟.

師：一般函數能否抽象出數學模型？

生6：一般地，設函數y=f(x)在x=x0及其附近有定義，如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數值都大，那么就稱f(x0)是函數的極大值，記作f極大值(x)=f(x0)，x0是y=f(x)的極大值點；如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數值都小，那么就稱f(x0)是函數的極小值，記作f極小值(x)=f(x0)，x0是y=f(x)的極小值點.

師：太棒了！極大值與極小值統稱為極值.

點評 《課程標準》對高中學生學習數學的能力要求是：逐漸形成對問題的分析與綜合、抽象與概括、類比與猜想、關聯與輻射等.這里教師從特殊函數入手向一般函數過渡，層層遞進，抽象出了數學模型，使學生在本質上把握了知識，提高了學生發現問題、分析問題、解決問題的能力.在教師精心設計的若干問題情境與教學目標的引領下，學生不斷經歷著思維的跳躍，體會了數學發展的一般規律，將過程中所形成的能力與良好的思維習慣逐漸轉化為自己的基本活動經驗,學生在無形中沉淀了代數歸納、數據分析統計、幾何推理等思維活動經驗.

圖2

師：觀察圖2，找出函數的極值，比較它們的大小，并回答你能發現什么？

(小組合作交流，時間5分鐘.)

生7：有3個極大值和2個極小值.

生8：極大值f(x1)比極小值f(x4)小.

師：大家能否總結一下？

生9：函數的極值不是唯一的:一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個,極大值與極小值之間無確定的大小關系，即：一個函數的極大值未必大于極小值,極大值不一定大，極小值不一定小.

生10：我覺得學生9在表述定義時不嚴密，應該強調f(x0)是函數y=f(x)的“一個”極大值或極小值，x0是函數y=f(x)的“一個”極大值點或極小值點.

點評 在已建構出“極值”概念的條件下，教師專為進一步加深理解“極值”概念設計了問題串，在問題的引領下，學生經歷著基于加深內容理解的思維活動，在此過程中學生不斷地分析圖像，深度剖析問題.學生10能及時地糾正學生9表述上的不嚴謹性，在一定意義上培養了學生對問題的表征能力、質疑能力與思維的批判性，真正地轉化為自己的基本活動經驗，并形成良好的思維品質與數學素養.

(學生都微笑地點頭.)

師：極值是一個局部概念，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小,并不意味著它在整個定義域內最大或最小.通過圖1與圖2，如何確定函數的極值？

點評 這里引用的例子來源于日常生活，但意義高于日常生活，即：通過來自生活實例的基本活動經驗準確地刻畫了本節課的核心概念“極值”，在了解其本質特性尤其是其獨特作用后，再利用生活經驗詮釋數學問題并轉化為自己的基本活動經驗時，要了解事例的生活底蘊，不能盲目地引用，以免造成適得其反的教學效果.

生11：先求導函數f′(x)，令f′(x)=0，求得f′(x)=0的根x0，再確定在x0的2側單調性是否發生變化.

師：如何確定？

生(全體)：通過導數法，判斷在xx0時導數值是由正變負，還是由負變正.

數學應用是數學教學的重要環節，以教師為主導帶領學生完成蘇教版《數學(選修1-1)》第88-89頁的例1與例2，及時引導學生自主歸納出求函數極值的一般步驟，并解決變式練習：求函數y=2x2-lnx的極值，鞏固求極值的一般步驟，總結出定義域對極值的影響，為問題的遷移打好基礎，并布置課后探究練習：

練習 下列函數中，x=0是極值點的函數為

當兩個相跳閘過早時，會對所測量的電壓波形產生更高的頻率失真。因此，為了避免這些瞬變對重合閘繼電器造成的不利影響，文獻[11]建議對于所考慮的750 kV輸電系統，在初次滅弧后啟動兩個相斷路器跳閘時間在10～15個周期，則次級電弧的大小（在故障相的初始跳閘之后產生）將顯著地減小且在360 ms內發生完成滅弧。

( )

A.y=x3B.y=x2

點評 這里的設計意圖為滿足f′(x0)=0的x=x0不是y=f(x)在x=x0處取得極值的充要條件.通過具體函數、具體情境給學生課后布置具有探究性、啟發性的問題，以便學生將技能、思想內化為自己的東西，并培養學生思維的批判性、挑戰性.

4 教后思考

4.1 了解基本活動經驗的功能，為數學教學指明方向

基本活動經驗經過形式化的演繹可促進學生基礎知識的汲取與基本技能的提高，經過歸納、類比又可直接影響學生數學思想方法的豐富，因此基本活動經驗對數學教學有著潛移默化的作用.本節課例中基本活動經驗積累主要的體現形式有：

第一,運用直接聯系日常生活的事例進行教學設計來積累基本活動經驗.課例中在設計學生、運動員及小朋友的身高問題說明極值的性質時，借助來源于生活且高于生活的生活經驗，生活中的事例被賦予了較高的“使命”，在幫助學生深化理解數學問題本質方面起著不可替代的作用.

第二,運用純粹的數學活動進行教學設計來積累基本活動經驗.課例中通過復習函數導數的幾何意義、函數單調性與導數之間的關系以及用導數法確定函數單調性的步驟等知識，并請學生表述出來，這里的意圖就是通過純粹的數學活動建構出學生活動的框架.在觀察函數f(x)=sinx的圖像并探究函數的單調性與導數之間的關系時也是如此.基本數學經驗來源于生活，而生活經驗的高級形式是生活領域的拓展部分，在被擴大后的范圍內專門制定的數學教學設計應避開冰冷的脫離實際的數學經驗，應提倡趣味的、形象具體的數學經驗[3].

第三,利用歸納類比等推理形式化的抽象數學模型積累基本活動經驗.“推理與證明”一章內容隨課改進入高中教材說明了歸納、類比等推理形式的實用性與可操作性.課例中從較為簡單的正弦函數入手，通過研究f(x)=sinx在區間[0,2π]各個部分內的“最值”引出并抽象出極值的概念，極易從數與形的角度探究問題，進而將之推廣到一般，也符合學生發現并接受新事物的發展規律，也容易將“由特殊到一般”的方法經驗化,從而培養學生的思維習慣.

第四,通過數學思想的不斷滲透可積累基本活動經驗.常見的數學思想主要有數形結合、函數與方程、分類討論及轉化與化歸等.課例中有多處凸顯了數形結合思想，例如借助圖1和圖2分別探究正弦函數的極值和一般意義下極值的性質，在課后探究練習中也可通過畫出相應的函數圖像來刻畫函數的極值與極值點，學生在數學思想不斷豐富與加強的條件下可以達到吸收新知、提高能力、提升素養的目的.

4.2 教學設計是積累基本活動經驗的重要環節

數學活動經驗的不斷積累往往離不開教師具有導向性的教學設計.首先有妙趣橫生的情境創設，只有不斷地將數學活動情境化、基礎知識與基本技能經驗化，才能使基本活動經驗在數學教學中發揮其教育功能.這里的設計可以來自日常生活，但要高于生活，沒有數學味而貼近生活的情境創設即使再有趣也不會發揮應有的教育價值，當然也可以是建立在學生已有知識結構上純粹的數學活動.第二，問題是數學的心臟，因此教師應設計帶有梯度的引領問題，僅有生動的引入就像只穿著華麗的外套，沒有實質性的內容，教學效果必定會黯然失色，而問題串教學是激發學生思考并逐步揭示數學本質的有效途徑，問題串的設計要環環緊扣，不能超越學生的思維跨度，也不能在相等的思維區域內停滯不前.本節課中教師通過不斷追問，刺激學生思維的跳躍.

4.3 數學活動是數學思維品質提升的必要條件

數學不是靜態的，學生只有在活動的前提下才能最大化地接受新知，也只有在活動的保證下鞏固舊知，不斷經歷數學活動才能積累在處理問題所形成的技能、思想方法以及思維習慣等數學基本活動經驗，才能提高數學素養；離開了活動的數學教學是失敗的，離開數學活動的課堂是蒼白無力的.隨著課改的不斷深入,一些新的教學模式也應運而生，例如山東杜郎口模式，南通活動單導學案，及時下流行的小組合作交流探究模式都強調學生的活動性、自主性.在借鑒這些模式的同時，要了解教學中可能出現的不利因素并選擇其可行性因素，使學生不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程，最后逐步轉化并形成基本活動經驗.若直接告知并進行大量練習,則短時間內可能有一點所獲，但也會隨著時間的推移逐漸遺忘，沒有將知識內化成學生自己的認知與能力.

在本案例中教師就是從學生的角度稚化自己的思維，并精心設計了文中的問題情境，而問題的解決完全是在學生自主的活動下，通過合作交流的途徑逐步歸納出極值的定義，總結出求函數極值與極值點的一般步驟，梳理出極值的特性，進而建構出解決問題的一般方法.整節課學生一直處于動手、動口、動腦的狀態下，教師僅僅扮演了“引路人”的角色.

4.4 正確的教學價值觀是取得良好教學效果的前提

本節課主要把重點放在了前面知識的生成過程上，因為在知識的建構上學生的自主學習已花去了大量的時間，導致處理課后習題的時間不是很寬裕.從傳統的教學觀審視該節課可能不是那么完美:從“容量”上看，傳統的觀點就是單一的定義、定理、法則、性質直接告知，然后機械地模仿訓練.而本節課注重知識生成的教學設計可能沒有完成所謂的既定教學任務，但在探究的過程中學生不斷積累了豐富的思想、方法，養成了良好的思維習慣，并且在本質上把握了知識，這樣看來本節課未必比傳統式的容量小.從“效率”上看，傳統式的課雖做了大量的習題，但在提升數學品質上就像做了無數道“廢題”，從注重知識生成的觀念來看傳統式的課“只見樹木，不見森林”.

“好課”的評判標準不一，而且是仁者見仁，智者見智，不當之處敬請同行指正.

[1] 張奠宙,竺仕芬,林永偉.“基本數學經驗”的界定與分類[J].數學通報，2008(5):4-7.

[2] 王新民,王富英,王亞雄.數學“四基”中“基本活動經驗”的認識與思考[J].數學教育學報，2008(3):17-20.

[3] 崔道永.基于數學基本活動經驗的教學設計策略探析[J].數學教學研究，2013(7)：24-26.