“順學而導”在高中數學課堂教學中的實踐
——以“函數的奇偶性”為例

●余安愷

(浙江師范大學數理與信息工程學院教育碩士 浙江金華 321004)

“以學定教，順學而導”是近年來新課程背景下開展有效學習的重要舉措.“順學而導”指的是教師緊密結合學生即時學情，靈活調整教學思路，創造性地利用課堂中的生成性教學資源，在精心備課、組織上課、布置作業等環節真正把學生放在教學的首位，對學情無限呵護，對生成無比珍惜，把學習的主動權真正交給學生.

在這樣的背景下，在高中數學課堂教學中如何運用“順學而導”的理念進行具體實踐成為筆者思考的一個課題.筆者在一節市公開課“函數的奇偶性”中以“順學而導”為頂層設計理念，幾易其稿到最終借班上課，效果不錯，筆者也收獲良多.在備課、上課及課后交流、反思等各環節用“順學而導”的理念進行推敲,每個環節都暗暗自問：這樣的設計是不是學生內心所迫切需要的，這樣的提問能否激起學生深遠的思考.筆者認為在高中數學課堂教學中要做到順學而導，就要具體做到以下6個“順”(以“函數的奇偶性”的幾次磨課為例).

1 順應情境，引人聯想

筆者查閱了許多資料，本課的引入大多以建筑物或是自然物的對稱美創設情境.這種引入固然能帶來視覺上的直觀美感，但缺乏后續原素材的對比和再開發，引入后通常就被教師“過河拆橋”了.筆者認為在順學而導的理念下，教師應把最精華的內容體現在教學環節中，如能多個環節共用一個素材不斷深入挖掘，效果一定比多素材都一一淺嘗輒止要好[1].創設情境或問題應順應當前學習的新內容，最好能引發學生后續學習新知識的聯想、對比、創新.若創設的情境能來源于學生的日常生活,則更有親切感了,于是筆者以學生藝術節剪紙比賽為切入點，展示了本班學生自己創作的2幅剪紙作品,并出示問題1.

問題1 剪紙從圖形結構特征上給你最大的感覺是什么？

教師引出軸對稱和中心對稱后追問：剪紙中的這種對稱是如何做到的？學生說:軸對稱的是對折后剪出一邊的圖形便可自動“造出”對應一邊的圖形，可收到事半功倍的效果.筆者在后續的“概念數學化”過程中，抓住學生所講的幾個關鍵詞：“對折”(x與-x)、“重合”(f(-x)=f(x))，與代數概念不斷類比、提煉，出示問題2.

圖1

問題2 已知函數y=f(x)是定義在R上的奇函數，它在第一象限的圖像如圖1所示，請畫出這個函數的圖像，并寫出它的解析式.

利用對稱找出另一邊的圖像和函數解析式,從而與剪紙的“事半功倍”對應，學生在后續學習中也能自主聯想到對稱在研究函數的圖形、性質等環節的作用.這些鋪墊為學生順利自主“導”出后面的結論埋下伏筆.

2 認知沖突，“逆”來“順”受

認知沖突是指學生的原有認知結構與所學新知識之間無法包容的矛盾.引發學生的認知沖突是基于建構主義的教學策略,是促使學生實現知識建構的契機和動力.在本課中,筆者在給出函數奇偶性的第一層概念——形(偶函數的圖像關于y軸對稱；奇函數的圖像關于原點對稱)之后，提出問題3.

問題3 觀察圖2和圖3所示的函數圖像，它們是偶函數嗎？

圖2 圖3

筆者給出這2種在“形”上能給學生帶來認知沖突的函數圖像，這種沖突就是學生接觸新知的“逆”.學生的原話總結如下：因為圖2中挖了一個“洞”，所以不對稱，有1個點沒有找到對稱點就不能說明整個圖形對稱(對稱是一個整體概念)；圖3看起來有點不對稱.軸對稱需要通過“對折是否重合”去驗證，如果能對折起來那就看是否重合.教師由此順水推舟，我們可以利用幾何畫板對函數圖像進行“對折”，學生發現果然不重合.教師：函數的圖像很直觀，但有的時候不夠精準.及時送上數學經典名言：形少數時難入微，數少形時難直觀，并給出上述2個函數的解析式分別是：

這種看似“逆”的認知沖突，讓本課的研究主題“如何用精準入微的‘代數’重新定義函數的奇偶性”呼之欲出、順理成章.

3 互問互答，順藤摸瓜

問題是數學的心臟，“順學而導”理念下的課堂應精心設計預設問題，抓住學生的即時生成，順藤摸瓜，互問互答.在本課中，當學生發現不能只滿足于“形”的定義而需要得到更“高明”的定義時，教師再“順”勢推出問題4.

問題4 給出表示法是解析式的函數(1)～(4)，如何判斷奇偶性？

(1)y=2x; (2)y=x2+1;

根據建構主義原理，學生還會在原有認知的基礎上先通過畫圖觀察從“形”上加以判斷.但(3)，(4)這2個函數的圖像比較難畫出來，怎么辦？有了前面2個畫圖問題的鋪墊，教師引導學生圖像是由點構圖，學生就會“順利”想到能否用幾個點來說明對稱性.以下是互問互答課堂實錄.

生(輕聲地問)：畫不出圖像，可以找幾個特殊點嗎？

師(笑問)：大家說可以嗎？這位同學給我們提供了一個思路，通過點的坐標來研究函數的奇偶性，這很具操作性.那你準備取哪些點呢？

生：(1,1),(-1，1).

師：為什么選這2個點？

生：因為這2個點關于y軸對稱.

師：點是由橫、縱坐標構成的，能再詳細說明一下這2個對稱點坐標之間的關系嗎？

生：橫坐標互為相反數，縱坐標相等.

師：這2個特殊點取得好，我們不妨把這個關系寫成f(-1)=f(1).還要取其他點嗎？

生：要的.再取類似的點：x=2,-2,3,-3.

表1 對應值表

這段師生間的互問互答流暢自然，比直接給出表1效果要好得多.只有順著學生思維的“藤”，精心設置問題間的“枝葉”，才能摸到教師預設的“瓜”，學生也終能自主得出教師千方百計想要給他的預設.

4 自主概括，言“順”名“正”

順學而導要引導學生用自己的語言理解、概括、提煉知識，或是抽象概念，這比教師直接系統歸納效果要好得多.接下來是本課的重難點，如何讓學生得出奇偶性完整的定義[2].

接著前面取了幾個特殊點得出f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),f(-3)=f(3)之后,教師順著學生思路問：還要取多少個點，可否歸納起來寫?生：無數個，可以寫成f(-x)=f(x).師：這種概括的寫法非常好，用變量代替數值，一勞永逸，妙！但剛剛你說的這個x取無數個值就夠了嗎？此時學生稍作遲疑，不久就有學生搶答：不夠，剛剛前面挖掉1個點的圖形也是無數個點對稱，但有1個點不對稱就不行了(前面所講的“順應情境，引人聯想”奏效了).此時教師再提醒學生：前面學習過單調性的概念，對于這種問題，數學中通常用2個字就可以巧妙地解決？生(齊答)：“任意”！由此，概念中的“任意”、“x與-x”、“f(-x)=f(x)”都一一攻破，接著讓學生自主概括定義就輕而易舉了.另外讓學生類比得出奇函數的定義，從而達到鞏固的效果.在完成了定義的自主概括之后，還不能“善罷甘休”，要再讓學生用自己的語言談談對這一高度概括的等式的理解.

生1：如果是偶函數，括號里面有沒有負號都一樣；如果是奇函數的話，則負號可以提到前面來.

生2：偶函數中自變量互為相反數的函數值相等，奇函數中自變量互為相反數的函數值也互為相反數.

至此，讓學生“名正言順”地說出他們真實理解的概念，學生的“言”順了，自然生成的概念也就“名”正了.

5 順水推舟，誘導思考

要真正培養學生對數學的興趣，就要把數學的內涵和外延從40分鐘的課堂延伸到課外.教師應挖掘與本課相關的數學知識、數學應用甚至數學文化給學有余力或是有興趣的學生當作“課后甜品”慢慢玩味.本課中，教師在課堂小結之后提出一個觀點：愛因斯坦認為提出問題比解決問題更重要，同學們能否暢想：根據今天所學內容，你能提出與“對稱”相關的其他問題并進行研究嗎？教師準備了備用暢想內容：

(2)軸對稱圖形是否只有1條對稱軸？中心對稱圖形是否只有1個對稱中心？有沒有既是中心對稱又是軸對稱的圖形？你能自己創作一個符合要求的函數的圖像嗎？能發現其性質嗎？

(3)通過課外閱讀、查閱相關網站搜集生活中利用“對稱”的妙招(利用“對稱”巧破棋局、擺硬幣游戲等)[3].

在課后，利用一些推廣性、應用性、趣味性強的問題誘導學生進行再思考、再探究，順水推舟，讓課堂的內涵和外延更豐滿，讓學生感受數學的生動.

6 人文關懷，順時而動

在課堂上，教師的提問、表情、語氣、評價都直接影響著學生的聽課情緒和教學效果.上課時教師不應沉醉于自己的精心預設中，而應時刻關注學生的微表情，體現人文關懷.尤其是在公開課上，在眾多聽課者面前，被叫起來回答問題是件非常緊張的事情，學生很怕自己說錯，尤其在教師故意設置一些陷阱或是放大一些錯誤時，應盡量叫一些看起來相對“開朗、陽光”的男生，對學生回答問題后的評價非常重要，要做到順時而動.一堂課上的一句話、一個表情很有可能決定這個學生接下來是愛數學還是恨數學.

總之，順學而導要體現在課堂的各個環節中，其核心是教師應該換位思考“如果我是學生，我會怎么想、怎么做”.“順學”要真正做到以學生的基礎認知、學情動態為出發點，設置問題串，引發學生自主思考，引導學生自主解決問題并且提出新的問題，只有這樣才能順利導結論、導方法、導思維.除此之外,盡管有的時候意外會來臨，還是要給學生足夠的時間，引導學生說出真實想法.本課中，在判斷f(x)=0的奇偶性時,有學生提出這應該是非奇非偶函數，理由是f(-2)=0,f(2)=0，但2與0不互為相反數！如果不給學生說出真實想法的機會，我們可能不會想到學生會有這種想法.“順學而導”理念下的課堂往往是“計劃趕不上變化”，教師只能根據“先學”情況和變化的學情，隨時調整教學過程.通過啟發、引導、點撥等方式在新學知識和學生的已有認知及現實需求之間找到平衡點，“順”應學情，娓娓“導”來.

[1] 曹賢鳴.教學情境的創設要尊重學生的學習需求[J].中學數學教學參考,2011(12):14-16.

[2] 陳柏良.數學課堂教學中的三個“遠大于”[J].中學數學教學參考,2011(12):22-24.

[3] 李大永,白永瀟,張思明.高中數學特別教案[M].福州：福建教育出版社,2012.