一道課后習(xí)題的多種解法

●付中華

(乳源高級中學(xué) 廣東韶關(guān) 512700)

課后習(xí)題是對課本知識的鞏固和加深，很多高考題都能找到課本習(xí)題的影子.對于課后習(xí)題，在教學(xué)時，不能就題論題，要倡導(dǎo)學(xué)生一題多解、一題多思、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力.

圖1

1 問題呈現(xiàn)

人教版選修2-1(A版)第73頁習(xí)題：

如圖1，M是拋物線y2=4x上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以Fx為始邊、FM為終邊的角∠xFM=60°，求|FM|.

2 問題解析

解法1 由題設(shè)知線段FM所在直線的斜率為

從而直線FM的方程為

與拋物線y2=4x聯(lián)立，得

解得

評注 從“數(shù)”的角度出發(fā)，求出交點的坐標(biāo)后，利用兩點間距離公式即得.

變式1 設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點，過點P(-1,0)的直線l交拋物線C于點A,B，點O為線段AB的中點，若|FQ|=2,則直線的斜率等于______.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

分析 由題知F(1,0)，設(shè)l的方程為

y=k(x+1)(k≠0)，

聯(lián)立y2=4x得

k2x2+(2k2-4)x+k2=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0)，則

解得

k=±1.

解法2 如圖1，由拋物線y2=4x知F(1,0)，|KF|=p=2.過點M作MA⊥x軸，垂足為A，作MM′⊥l，垂足為M′，則

設(shè)計意圖 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓和靈魂，是架起知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁和紐帶，通過引導(dǎo)學(xué)生回顧線面平行和線面垂直的判定定理，讓學(xué)生體會定理蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，掌握研究立體幾何的基本方法，完善良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而實現(xiàn)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的提升.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要尊重教材，正確駕馭和把握教材的核心內(nèi)容和科學(xué)體系，又要立足于學(xué)生的實際水平，把培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維作為主要目標(biāo)，從而創(chuàng)造性地運用教材，不能為了實現(xiàn)知識和技能的目標(biāo)而人為地降低教學(xué)任務(wù).

(注：本文是浙江省教科規(guī)劃項目“師范生微格教學(xué)高效性策略的研究與實踐(編號：SCG003)”、山西省高等學(xué)校教育教學(xué)研究項目“《數(shù)學(xué)的文化價值》課程設(shè)計與實踐研究(編號：J2012083)”的階段性成果.)

[1] 單墫.數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報,2001(6):1-2.

[2] 胡芳舉.巧證線面垂直的判定定理[J].數(shù)學(xué)通訊,2007(9):20-21.

[3] 羅建中.直線與平面垂直的新證法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2004(6)：15-16.

|MF|= |MM′|=|KA|=|KF|+|FA|=

|KF|+|MF|cos60°=

從而

MF=2|KF|=4.

評注 從“形”的角度出發(fā)，利用矩形及直角三角形中角與邊的關(guān)系，再結(jié)合拋物線的定義求解.

圖2

推廣到一般情形：如圖2，M是拋物線y2=2px(p>0)上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以Fx為始邊、FM為終邊的角∠xFM=θ，則

( )

(2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷試題)

分析 設(shè)∠xFP=θ，則

得

即

θ=60°，

故選C.

變式3 設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過點F且與C交于點A,B.若|AF|=3|BF|,則l的方程為

( )

A．y=x-1或y=-x+1

(2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷試題)

分析 易知p=2，F(xiàn)(1,0).設(shè)∠xFA=θ，則

從而

得

即

θ=60°.

解法3 如圖3，過點M作MM′⊥l，垂足為M′，聯(lián)結(jié)M′F，易知∠FMM′=60°.由拋物線的定義知|MF|=|MM′|，從而△FMM′為正三角形，于是

∠MFM′=60°,∠KFM′=60°.

在Rt△KFM′中，因為

|KF|=2,|M′F|=4,

所以

|MF|=|M′F|=4.

評注 利用拋物線的定義和已知條件巧妙地構(gòu)造Rt△KFM′和正△MFM′快速求解.

圖3 圖4

解法4 如圖4，延長線段MF交l于點G，過點M作MM′⊥l，垂足為M′.在Rt△KFG中,

∠KFG=∠xFM=60°，∠FGK=30°,

|KF|=p=2,|GF|=4;

在Rt△MGM′中,

∠FGK=30°,2|MM′|=|MG|,

即

2|MF|=|MF|+4，

故|MF|=4.

評注 利用拋物線的定義和已知條件巧妙地構(gòu)造Rt△KGM′和△Rt△MGM′，從而求解.

(2013年福建省數(shù)學(xué)高考試題)

∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°，∠F2MF1=90°，