基于學生理解力和領悟數學思維價值的教學設計
——以高中“立體幾何”教學的個案研究為例

●白改平 ●韓龍淑

(浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004)(太原師范學院 山西太原 030012)

1 問題的提出

《高中數學課程標準(實驗稿)》提出：認識和探索幾何圖形與空間性質要通過“直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算”等方法.教師對立體幾何的教學也逐漸形成了一定的模式，教學過程基本遵循從“特殊到一般”、“具體到抽象”的過程，通過直觀感知、操作確認逐步認識直線與平面、平面與平面的位置關系.筆者在帶隊實習中，有機會在不同的學校反復聽取了一線教師關于教材必修2“立體幾何”教學的常態課，總覺得這樣的課缺少了數學味，沒有數學課應該有的縝密思維、流暢推理、嚴密論證，更談不上一氣呵成的大氣.還有的學校采取先學教材必修4，再學必修2的策略，利用向量知識證明了立體幾何中諸如直線與平面垂直的判定定理等問題.這種處理方式雖然使得立體幾何的教學具有了數學的特質，但是幾何教學的主要功能是培養學生的空間觀念和邏輯思維能力，從此意義上講這樣做也不是那么完美.那么教師究竟該如何上立體幾何課？如何兼顧學生的認知水平與立體幾何的教育價值？帶著這些思考和疑問，下面筆者以直線與平面垂直的判定定理為例，窺探高中立體幾何教學的精髓.

2 課例與教學思考

2.1 直線與平面垂直判定定理的教學片段

(1)定理的引入——直觀感知.

導入語 判斷直線與平面垂直已有知識的基礎是定義，但直接用定義證明已知直線與平面內的任一條直線垂直顯然很困難，因此有必要尋求更好的方法證明直線與平面垂直.

教師給出2個情境：學校廣場上直立的旗桿、桌面上直立的書.

問題1 2個情境的共同特征是什么？什么條件能保證旗桿與地面、書脊與桌面具有垂直的位置關系？

師生活動 教師提出問題，學生思考.

(2)定理的探究——操作確認.

實驗 請同學們任意剪一個△ABC，過頂點A任意翻折該三角形紙片，得到一條折痕AD，打開后不難發現折痕AD把△ABC分成2個平面.現在把翻折后的三角形紙片豎立放在桌面上，且要求BD，DC與桌面接觸.

圖1

問題2 折痕AD與桌面所在平面一定垂直嗎？為什么？

問題3 在什么情況下折痕AD與桌面所在的平面一定垂直？

師生活動 師生共同分析發現:只有折痕AD⊥BC時，AD與桌面所在的平面才是垂直的.

(3)歸納定理.

問題4 由上述實驗和2個情境，你能發現什么結論？

師生活動 共同歸納定理：一條直線與一個平面內的2條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

(4)給出定理符號語言和圖形語言.

2.2 教學思考

本節課經歷了3個過程：直觀感知—操作確認—歸納總結.每個環節表面看起來環環相扣，有條不紊，循序漸進，定理歸納水到渠成；文字語言、符號語言、圖形語言有機結合；學生接受起來輕松、愉快.但是,事實果真如此嗎？

(1)直觀感知獲得知識，學生并不接受教師所認為的簡單方法.

通過課堂觀察和課后訪談發現，對于直線與平面垂直的判定定理只有少部分學生接受和承認，大部分學生就定理的形成事實表現出將信將疑的狀態.不少學生提出這樣的疑問：操作獲得的結論真實嗎？可行嗎？這個定理能不能證明？為什么現在不能給出證明？通過10余年的數學學習，數學嚴謹性的特點已經深深印在了學生的認知結構中，他們熟知數學與物理、化學、生物等實驗學科與眾不同的特質，也領會到了數學所蘊含的思想方法的價值和魅力.調查顯示學生學習數學尤其立體幾何是基于這樣的事實：數學結論必須從基本公理出發，依靠嚴密的推理論證來獲得，否則就不能算作一個事實.因此違背了數學這一事實，學生并不欣然接受，僅僅是編寫者和教師的一廂情愿.

(2)“遷就”學生理解力的教學是不可取的.

按照布魯納的認知學習理論，學生的學習經歷“直觀行動思維—具體形象思維—抽象邏輯思維”3個階段，每個年齡階段有與之相適應的認知特點.小學階段通過操作、實驗等直觀行動獲取知識，思維也以直觀行動為主逐漸過渡到具體形象思維；初中階段以具體實物的表象為依托，獲取知識；高中階段以抽象邏輯思維為主，輔以形象思維獲取知識.高中數學教學的價值和功能在于培養和完善學生的抽象思維.數學課堂教學的核心問題是幫助學生完成在現有學習能力下向高認知難度的學習任務攀升，而不是降低.當然課堂教學必須符合量力性的原則(這是正確的)，但是量力性要求教師應充分考慮到學生思維發展的水平、理解的程度和接受能力來組織教學，既不可要求過高，也不能要求過低，要使所授的知識可以讓學生接受，但又不是輕而易舉便可獲得.因此，“遷就”學生理解力的教學是無效的教學，教師應不斷設置適合學生的數學任務水平，給學生的思維和推理搭“腳手架”，促進學生對數學的理解，促進學生發揮最大的潛能.

(3)輕思維深度的過程教學影響了對數學本質的理解.

在高中數學課堂教學中,折疊作為學生的外部操作活動，適時、適度地使用是無可厚非的，通過折疊使學生經歷了知識形成的背景，有助于學生理解抽象的數學知識，但是這些活動如果僅停留于實踐操作的表層，缺少或者沒有“如此操作的分析”，以及“操作過程中所體現的數學思維方法”等這些深層次的問題，這種活動對高中學生而言是不適宜的.從數學的推理類型看，把“操作”作為猜想結論或列舉結論的實用性是可行的，而作為證明數學事實的方法是不行的.如果鑒于學生的思維能力和理解力只能把“操作”作為獲得結論的手段和方法，那么操作活動過程中應重視學生深層思維的參與、開啟和發展，通過設計一系列“問題串”引導學生大腦進行火熱思考，從而實現培養學生理性思維的教學目標，而不應該僅停留于外部的、表層的、機械的操作.單墫教授特別指出:我們并不反對學生動手,但動手能力主要依靠理化生物實驗科學來培養,而數學應側重培養“動腦”，培養“智慧”[1].思維內在活動的重構和內化過程直接影響了學生對數學本質的理解，有效揭示數學對象的本質.本課例中，課堂教學既沒有表面上的“熱鬧”，更談不上對學生思維活動的激活和知識的真正理解，有的只是學生的“異議”和“茫然”，這種重外部、表層和形式的操作過程而輕內部、深層次的思維過程是無意義的.

3 基于學生理解力和感悟數學思維價值的教學設計的改進

3.1 定理的引入

導入語 根據定義需要證明已知直線與平面內的所有直線垂直，顯然不方便.因此，我們嘗試減少條件.

設計意圖 推動數學發展有內部和外部2條途徑.本案例的外部因素很明顯，主要體現在數學的實際應用中；而內部因素比較隱性，任何一個數學定理的條件都必須滿足簡潔性，即條件越少越好.因此，本環節充分發揮了數學的內在力量，不僅讓學生體會到了數學的簡潔美，更培養了學生的理性思維.

問題1 如果已知直線與平面內的1條直線垂直，則這條直線與此平面垂直嗎？請舉出例子并畫出圖形.

問題2 如果已知直線與平面內的2條直線垂直，則這條直線與此平面垂直嗎？請舉出例子并畫出圖形.

問題3 如果一條直線與平面內的2條相交直線垂直，則這條直線垂直于這個平面嗎？請說明理由.

問題4 請抽象出幾何圖形.

設計意圖 培養學生的空間想象能力和數學理性思維是幾何教學的首要任務，因此在操作過程中增加了把實際問題抽象為數學圖形的環節：一方面糾正了學生的錯誤，規范立體幾何的作圖；另一方面使數學課堂具有了數學味.因為4個問題環環相扣，層層遞進,不斷激活了學生的思維活動，使學生的大腦經過了思考，從而培養了學生思維的深刻性.

3.2 定理的探究

(1)建立模型：請同學們構造一個模型來驗證問題3猜測的合理性和正確性，并畫出圖形.

師生活動 學生思考、操作，教師巡視指導.

圖2

(2)操作確認：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(邊BD，DC與桌面接觸，如圖2所示)，把你的發現用圖形畫出來.

設計意圖 本教學設計沒有采用教材的編排直接實驗，而是增加了學生自己建立模型的過程.按照教材的處理方式教學，學生的注意力較多地集中在紙片垂直立于桌面的外部操作活動,而削弱了比較、分析、歸納的思維過程，大腦缺少了激烈的思辨,這嚴重影響了學生對數學內容的理解和掌握.數學是一門模式的新科學，荷蘭教育家弗賴登塔爾說過：“與其說讓學生學習數學，還不如讓學生學習數學化.”如果只求外部的操作，而忽視火熱的思考，學生就不能感受到過程對思維的啟迪作用；也很難把物質或物質化的操作活動有效地內化為自己內在心理活動.通過建立模型，讓學生感受到了抽象、建模、推理等數學思想方法在研究過程中對思維的引領和驅動作用，同時也充分展示了教師從思維方法培養的高度理解數學、實施數學，從而使教學內容在師生的思想中自然流淌，數學本質在師生活動的過程中自然揭示.

3.3 定理的證明

問題5 如果已知直線與平面內的2條相交直線垂直，那么這條直線與平面垂直.這個結論是否正確？

已知平面α和平面α外的一條直線l，直線a?α,直線b?α,a∩b=O,且l⊥a,l⊥b,求證：l⊥α.

圖3

證法1 利用中線長的公式[2].

如圖3，在平面α內任取一條直線g，在g上任取點G(異于點O).過點G作a的平行線交b于點B,作b的平行線交a于點A,AB,OG相交于點C,則C為AB的中點，于是OC為△AOB的中線.在直線l上任取點D(異于點O)，于是DC為△DAB的中線.根據中線長公式，可分別得到OC2,DC2的表達式,再根據l⊥a,l⊥b以及勾股定理得

DC2-OC2=OD2,

從而DO⊥OC,即l⊥α.

證法2 利用三角形全等和垂直平分線定理(略).

證法3 反證法[3].

圖4

如圖4，假設直線l不垂直于平面α，取直線l上不同于O的一點P，過點P作平面α的垂線交平面α于點A，聯結OA，則OA不同于直線a,b，否則△POA有2個直角.又直線a,b相交于點O，故直線OA至少與a,b中一條直線的夾角為銳角.不妨設與直線a的夾角為銳角，過點A作直線AB，使AB⊥a于點B,從而△POA,△POB,△AOB,△PAB都是直角三角形,于是因此可推得OB=0,矛盾，故l⊥α.

PA2=PO2-OA2,AB2=OA2-OB2,

PO2+OB2=PB2,PB2=PA2+AB2.

這些證明方法并不需要教師一一展示，也不需要全體學生都掌握，教師要根據教學對象的情況加以甄別和取舍.證法1主要利用的是初中知識，簡捷明快，只要適當分析，學生比較容易理解和掌握;證法2構思獨特，方法巧妙，蘊含著豐富的數學美，在教學中從數學美的角度展現此證法，而不作為嚴格掌握的要求;證法3“反證法”作為一種間接證法，常帶給師生“絕處逢生”的驚喜，思維縝密，邏輯嚴謹，是學生必須要掌握的基本方法.

可見，通過有理有據的邏輯方法證明判定定理是可行的，至少學生有能力理解證明過程，因此判定定理的探索和證明是培養學生的理性思維和科學探究態度的良好時機，而且培養和完善高中生的這種探究精神和理性思維是非常重要的.

3.4 定理的升華

問題6 回顧線面平行和線面垂直判定定理和探究過程，你發現了什么？

師生活動 教師提出問題，并通過分析定理引導學生發現線面平行和線面垂直的判定定理的共同點.

師生共同歸納研究立體幾何的基本方法：(1)把空間問題轉化為平面問題；(2)將無限問題轉化為有限，其中蘊涵了轉化的數學思想方法.