目標導向 關注本質 才能使課堂變得簡約而厚重
———浙教版6.2節(jié)“線段、射線、直線”課例研究

●吳增生

(仙居教育局教研室 浙江仙居 317300)

浙教版教材把線段、射線、直線的內容安排在6.1節(jié)“幾何圖形”之后，是在學生經(jīng)歷了幾何圖形以及點、線、面、體等概念學習，初步從整體上認識幾何圖形后，在小學學習線段、射線、直線的基礎上，進一步學習構成幾何圖形的一類基本要素——線段、射線和直線及其表示法.

1 課例再現(xiàn)

1.1 回顧舊知，引入新課

師:上一節(jié)課，我們學習了什么內容？

生1:幾何圖形.

師:幾何圖形是怎樣來的?

生2：點、線、面、體(教師的提問學生無法回答，出現(xiàn)答非所問的情況).

師:我們知道，幾何圖形是從實際生活(更準確地講是“實物”)中抽象出來的，那么線是怎樣來的？

生(齊):點動成線.

師：對，線可以看成是由點組成的，生活中有各種各樣的線(PPT展示生活中各種線的形象:直線形、曲線形),大家能把它們分分類嗎？

(學生把這些線分成直線和曲線.)

師:小學階段，我們學過什么線？

生(齊)：直線、射線、線段.

師:今天，我們將在小學學習的基礎上進一步學習線段、射線和直線.

(板書課題.)

1.2 新課教學

(1)線段、射線、直線的辨析.

師:說說下面生活景象中的線段、射線和直線的形象(展示圖片)：①筷子；②光柱；③筆直的鐵軌.

(在學生說出后，教師追問為什么.)

生3：①線段，因為它不能無限延伸；②射線，因為它可以向一個方向無限延伸；③直線，因為它可以向2個方向無限延伸.

師:生活中還有哪些可以看作直線、射線和線段呢？

生4：課桌的邊緣可以看作線段，光(應該是燈發(fā)出的光線)是射線，燈光向2個相反的方向射出可以看作直線.

師:你會畫線段、射線和直線嗎？

圖1

(學生在黑板上畫出如圖1所示的3條線，教師對學生標注不清的地方進行說明.)

師:這3條線有什么區(qū)別？

教師引導學生列表比較,如表1.

表1 線段、射線、直線的區(qū)別

師:總結：線段有始有終，射線有始無終，直線無始無終，那么線段、射線、直線有什么關系呢？也就是說，線段怎樣才能變成射線？怎樣變成直線？

生5：線段去掉一個端點就變成了一條射線，線段去掉2個端點就變成了直線.

師:用粉筆為模型折掉一個端點,線段去掉一個端點就變成了射線嗎？

生6：線段向1個方向無限延長就構成了射線、向2個方向無限延長就構成了直線.

(2)線段、直線、射線的表示.

圖2

師:我們知道，可以用一個大寫字母表示點(如圖2)，也可以用這種方法對線段、射線、直線進行描述.因為線段的2個端點很特殊，有始有終，所以可以用2個大寫字母表示.類似地，我們也可以用大寫字母表示射線和直線，大家會嗎？

請用文字語言和符號語言表示如圖3所示的圖形：

圖3

師:為了交流方便，有時也用一個小寫字母表示(如圖4).

圖4

師:在用2個字母表示線段、射線和直線時，要注意什么？它們有什么不同？請小組討論.

生7(小組討論2分鐘后)：射線有次序，而表示線段和直線的2個字母的位置可以互換.

師:用大寫字母表示時，有幾個字母？

生(齊)：2個.

師:用小寫字母表示時，有幾個字母？

生(齊)：1個.

師(總結)：為了更好地交流，我們可以用圖形、文字和符號表示線段、射線和直線(如表2).

表2 線段、射線和直線的3種語言表示

1.3 練一練

(1)請你表示圖5中的線段.

圖5 圖6

生8:線段AB,BC,AC.

師(教師補充后面的“線段”2個字后)：能用一個小寫字母表示嗎？

生9:線段AB叫線段a,線段BC叫線段b，線段AC叫線段c.

(教師重新按照三角形對邊與對角對應習慣讓學生說出線段BC叫線段a，線段AC叫線段b，線段AB叫線段c.)

(2)在第(1)小題中，在AB上找一個點D，聯(lián)結AD，則出現(xiàn)了哪幾條新的線段(如圖6)？

生10:線段AD,線段BD,線段CD.

(3)請用2種方法表示圖7中的直線.

生11：直線OA,直線OB;或直線m和直線n.

圖7 圖8

(4)請你表示圖8中以O為端點的射線.

生12:射線OA,OB,OC.

(教師提示學生在字母前要說明是線段、射線，還是直線.)

師:圖8中射線AO與射線AC是同一條射線嗎?

生13:不是.

生14：是.

(教師評價略).

師:以B為端點的射線有幾條？

生15：2條.

1.4 探究基本事實

師:請畫一畫：過一點A能畫幾條直線？過點A,點B能畫幾條直線？由此有什么猜想？

生16：經(jīng)過2個點只有1條直線.

師:對于直線，有以下基本事實：經(jīng)過2個點有1條而且只有1條直線，或者說，2個點確定1條直線.能用這一事實解決一些問題嗎？

(1)怎樣種出一排筆直的樹？

(2)要固定一根木條，至少需要幾枚釘子，為什么？

1.5 課堂小結

師:今天我們學習了什么？

生17:線段、射線、直線；2個點確定一條直線.

師:怎樣表示線段、射線和直線？表示時要注意什么？

生18:可以用2個大寫字母表示，也可以用1個小寫字母表示，用大寫字母表示射線時要注意端點字母應寫在前面.

2 課例的特點

2.1 通過豐富多彩的圖形，讓學生辨別線段、射線和直線的特點

在辨別曲線與直線中，在線段、射線、直線的舉例說明中，教師都發(fā)揮了實物圖片的作用，讓學生直觀地感受圖形的特征；在區(qū)別線段、射線、直線的活動中，教師引導學生畫出圖形，結合圖形思考它們的區(qū)別和聯(lián)系.

2.2 重視3種語言的教學

數(shù)學具有自己獨特的語言符號體系.文字語言、圖形語言和符號語言是3種基本的語言，文字語言具有通俗性特點，圖形語言具有直觀性特點，符號語言具有準確性和簡約性特點.課堂教學中，教師在引導學生明確線段、射線、直線的特點后重點進行了用3種語言表示線段、射線、直線的活動；通過列表比較用3種語言分別表示獨立的點、線段、射線、直線等特點，幫助學生體會用大小寫字母表示線段、射線、直線的方法和注意點;通過針對具體圖形的表示練習，進一步鞏固線段、射線、直線的表示方法，而且對其難點(用2個字母表示射線)和易錯點(只寫字母、忽略名稱)進行了特別強調.不過,在本課，還是不要出現(xiàn)“文字語言、圖形語言、符號語言”這幾個詞為好，因為學生不理解.

2.3 重視動手操作

在介紹線段、直線、射線的概念后，教師讓學生自己畫線段、射線和直線，從實踐中體會這3種線的區(qū)別與聯(lián)系；在探索“兩點確定一條直線”這一基本事實活動中，引導學生經(jīng)過1個點、2個點分別畫直線,讓學生充分體會經(jīng)過1個點畫直線能畫出無數(shù)條，經(jīng)過2個點畫直線只能畫出1條而且只能畫出1條，為理解基本事實提供操作經(jīng)驗的支撐.

3 值得商榷的地方

縱觀本課，整體感覺容量偏大，學生思考不夠深入和從容,也就是說，課堂教學活動的設計不夠簡約，又因為缺乏基于數(shù)學內在邏輯的思考而顯得不夠厚重.

(1)學生在小學階段已經(jīng)初步學習過線段、射線和直線，知道線段、射線、直線的端點個數(shù)分別為2,1,0；射線可以向一端無限延伸，直線可以向2端無限延伸；線段可以量出長度，而射線、直線不能，但沒有涉及到這3種線之間的關系.初中階段學習線段、射線和直線與小學的主要區(qū)別是:初中階段要讓學生掌握基本事實“兩點確定一條直線”,2種表示方法“用2個大寫字母(或1個小寫字母)表示線段、直線、射線”，理解射線和線段是直線的一部分.課例從回顧點、線、面、體以及點動成線出發(fā)，引導學生詳細回顧了上一節(jié)課的相關知識，花了很多時間通過教師PPT展示、學生舉例、畫圖操作等活動辨別線段、射線、直線，而真正用到重點內容“一個基本事實”、“2種表示方法”的學習時間(除去練習)不到15分鐘.具體表現(xiàn)是引入新內容學習的“引子”太長，從開始到表1總結，大概用了10分鐘，再加上在線段、射線、直線的聯(lián)系教學中，出現(xiàn)了學生認識偏差(認為線段去掉1個端點就變成了射線、去掉2個端點就變成了直線)，教師進行矯正教學又花去了2分鐘左右.很顯然，前面的回顧與復習教學時間太長，占用了課內寶貴的時間(學生注意力最集中的時間)，使重點學習內容延遲到學生注意力消退期，課堂前半部分變得臃腫低效.

(2)課堂教學活動缺乏邏輯聯(lián)系，缺乏基于數(shù)學內在邏輯的思考.本課教學很明顯可以分成以下3個階段：①復習舊知，引入新課階段.這一階段主要復習點、線、面、體,點動成線，線段、射線、直線的區(qū)別.②介紹線段、直線、射線的表示方法階段.③探究“兩點確定一條直線”基本事實階段.復習舊知活動雖然松散冗長，但還是引入了線段、射線、直線這些研究對象，起著邏輯鋪墊作用.“兩點確定一條直線”這一事實是用2個大寫字母表示一條直線的邏輯基礎.因為點可以用一個大寫字母表示，“兩點確定一條直線”保證了經(jīng)過2個點的直線的存在性和唯一性，是可以用2個大寫字母表示直線的邏輯基礎.數(shù)學中用一種符號表示某一對象，首先要保證符號所指的對象是存在的而且是唯一的.因此，把“兩點確定一條直線”放到最后進行獨立探究，就破壞了數(shù)學思考的內在邏輯性，課堂結構就變得像“水果拼盤”.

(3)缺乏能讓學生理解概念本質的教學設計.在線段、射線、直線之間聯(lián)系的教學中，當教師完成線段、射線、直線的辨別后，總結出“線段有始有終；射線有始無終；直線無始無終”，提出問題：線段、射線、直線有什么關系呢？也就是說，線段怎樣變成射線？怎樣變成直線？學生的回答是：把線段去掉1個端點后變成射線，把線段去掉2個端點后變成直線.學生的這一回答出乎教師的意外，教師用粉筆為教具，在掐掉端點后，指出還是線段，不是射線和直線.萬一學生說教師掐去了一個點還有一個端點，教師怎么解釋？其實，這個學生的思考是富有數(shù)學想象能力的，是根據(jù)教師給出的概念“射線是向1個方向無限延伸”、“直線向2個方向無限延伸”作出的判斷.從點集的觀點看，線段[a,b]去掉一個端點b后變成[a,b)，意味著線段可以無限接近端點b但始終不能到達b，從這一點看，是符合向1個方向無限延伸這一條件的.同樣，線段去掉2個端點后，也具有向2個方向無限延伸的特點.可惜的是，教師沒有認真傾聽和理解學生的本意，沒有發(fā)掘學生思維的閃光點，沒有把握住極好的教育契機.事實上，問題出在學生對“無限延伸”意義理解的偏差，在線段、射線、直線中，所謂的“無限延伸”指的是向1個方向可以不斷延長，要多長有多長；而學生的理解是“無限逼近”.當學生出現(xiàn)理解偏差時，教師用“掐去粉筆端點”演示說明不了任何問題，而應該先讓學生說出自己的理解，問學生“你是怎樣理解無限延伸的？”“從線段到射線和直線的無限延伸是什么意思？”通過引導學生正確理解從線段到射線和直線的“無限延伸”的本質含義，才能讓學生在欣賞自己的數(shù)學想象力的同時對錯誤觀念進行自我矯正.如果要回避出現(xiàn)這種理解偏差，只要采用先整體再部分的提問方式“線段、射線、直線有什么聯(lián)系？給你一條直線，能得到射線和線段嗎？這說明它們之間有什么關系”即可.

4 改進建議

從初中幾何內容學習考慮，線段、射線、直線是在認識點、線、面、體的基礎上對一類基本幾何對象的研究.從學生的學習經(jīng)驗看，是在小學初步認識線段、射線、直線基礎上的進一步研究，而本課內容的重點應該是基本事實和基本表示方法.基于此，本課教學應該是在引導學生回顧小學學習經(jīng)驗(線段、射線、直線的區(qū)別)基礎上，學習基本事實和表示方法.“兩點確定一條直線”是直線表示方法的基礎；類似地，“2個端點確定一條線段”是線段表示法的基礎，“端點和任意一點確定一條射線”是射線表示方法的基礎.由于線段、射線是直線的一部分，并與直線相類似，因此，可以不必單獨研究線段和射線的確定條件，只要讓學生類比直線的表示方法，結合它們的區(qū)別即可.這樣，就可以得到以下本課教學的基本思路.

4.1 回顧知識，提出問題

引言：點、面、體是幾何的基本圖形，在平面圖形中，點和線是最基本的圖形，是構成其他圖形的基礎.地圖上的2個城市可以看作2個點，連接2個點之間的路徑叫做線，線有曲直之分.本節(jié)課，主要學習線段、射線、直線及其表示方法.

問題1 在平面上畫2個點，用字母表示它們，并用線段聯(lián)結它們.

師生活動 教師引導學生先畫出點，用字母表示(如點A,點B)，再用線段連接.

追問1 你能畫出以A為端點的射線嗎？你能畫出經(jīng)過點A,B的直線嗎？

設計意圖 通過畫圖引導學生回顧線段、直線和線段.為學習基本事實和線段、射線、直線表示法作鋪墊.

問題2 小學中，已經(jīng)學習過線段、射線、直線，你能說說它們的區(qū)別嗎？

(問題2中的學習活動可以安排學生課前進行.)

師生活動 讓學生獨立回顧并整理相關知識，列表比較，完整說出自己的整理結果.

設計意圖 回顧舊知，引出新知識.

追問1 給你一條線段，你是怎樣畫出射線和直線的？反之，如果給你一條直線，你怎樣得到射線和線段？

追問2 直線、射線、線段有什么聯(lián)系？

設計意圖 讓學生認識到射線、線段是直線的一部分.

4.2 探究事實，表示直線

問題3 想一想，在墻上用一枚釘能固定一根很長的木條嗎？要想固定木條，至少需要幾枚釘子？

畫一畫 在平面上先畫一個點A，再畫經(jīng)過點A的直線，這樣的直線有幾條？

在平面上先畫2個點A,B，再畫經(jīng)過這2個點的直線，這樣能畫出幾條直線？

師生活動 教師引導學生邊想邊畫，想畫結合，體會基本事實.

追問 你能用自己的語言總結得到的結論嗎？

師生活動 教師引導學生得出基本事實.

設計意圖 通過生活經(jīng)驗和動手操作，讓學生充分理解和體會基本事實.

問題4 因為經(jīng)過2個點的直線有且只有1條，因此我們可以用這2個點的字母表示這條直線，把經(jīng)過點A,B的直線叫直線AB.你能畫出經(jīng)過點C,D的直線并用2個字母表示嗎？

師生活動 教師引導學生用2個字母表示直線.在此基礎上介紹用一個小寫字母表示直線的方法.

設計意圖 在基本事實的基礎上給出直線的2種表示法.

4.3 類比思考，表示射線和線段

問題5 我們知道，線段與射線是直線的一部分，與直線有聯(lián)系也有區(qū)別，聯(lián)結點E,F的線段有幾條？你能分別用2個字母和1個字母表示這條線段嗎？

師生活動 教師引導學生類比直線表示法用字母表示線段.

問題6 要確定一條射線，需要確定射線上哪幾個點？你能畫出一條射線并類比直線用字母表示嗎？

師生活動 教師引導學生畫出一條射線并類比直線用字母表示.

追問 射線OA與射線AO是同一條射線嗎？為什么？在用字母表示射線時，與表示直線有什么相同點和不同點？

4.4 辨別應用，鞏固新知

圖9

(1)如圖9，平面上有4個點A,B,C,D.

①過點A,C畫直線；

②以A,B為端點畫線段;

③以A為端點，畫經(jīng)過點D的射線;

④聯(lián)結CD;

⑤請分別用2個字母和1個字母表示①～④得到的線.

(2)線段AB和線段BA,直線AB和直線BA，射線AB和射線BA分別都表示同一條線嗎？

(3)要種出一排筆直的樹林，怎么種？這樣種的依據(jù)是什么？

師生活動 學生獨立完成，教師組織評價和糾錯.

4.5 總結提升，分享收獲

(1)通過本節(jié)課的學習，你對線段、射線和直線有了哪些新的認識？

(2)你會用字母表示線段、射線和直線嗎？它們的表示法有什么特點？

(3)直線的確定條件是什么？

(4)用字母表示線段、射線、直線有什么好處？

5 基于課例的思考

每一堂課都有特定的學習內容及學習目標，課堂教學設計只有基于特定的內容和目標，有側重點地設計教學活動，才能使課堂變得簡約高效.追求簡約是數(shù)學本質的體現(xiàn)，真正有效的教學應該讓學生簡約而深刻地思考問題，突出教學重點.當前的課堂教學中，忽視目標現(xiàn)象并不少見.教師往往對教學內容和目標理解不到位，不能把握重點，把大量的課堂時間花在非核心內容上，顧左右而言他；甚至為了突出某一種理念或模式而忽視課堂教學的本來任務，這是造成課堂臃腫、浪費時間的主要原因.

在簡約的課堂中引導學生自然、合理、深刻地思考，是實現(xiàn)課堂教學高階認知目標的根本要求.這需要教師認真分析教學內容及學習目標，理解內容的數(shù)學本質，理清內容本身的邏輯關系，把握知識形成過程中的核心思維，并據(jù)此重點設計能體現(xiàn)數(shù)學育人價值、與內容和學情相匹配的認知操作活動系列，實現(xiàn)用較少的內容和活動承載更多數(shù)學教育價值，從而使課堂變得簡約而厚重.