例談抽象函數在函數性質中的應用

黃洪英

抽象函數問題是指沒有明確給出具體函數表達式的函數問題，它是中學數學的一個難點，但這類問題對發展學生思維能力，進行教學方法滲透，有著較好作用。因為抽象，大多數學生遇到這類問題往往束手無策，解題時思維常常受阻，思路難以展開，教師對教材也難以處理。近年來抽象函數問題又頻頻出現于各類考試題中。本文試圖通過實例作分類解析，供學習參考。

一、抽象函數的定義域

例1：已知函數f(x)的定義域為[-1,5]，求f(3x-5)的定義域．

分析：該函數是由μ=3x-5和f(μ)構成的復合函數，其中x是自變量，μ是中間變量，由于f(x)與f(μ)是同一個函數，因此這里是已知-1≤μ≤5，即-1≤3x-5≤5，求x的取值范圍．

解：∵f(x)的定義域為[-1,5]，∴-1≤3x-5≤5，∴4-3≤x≤10-3 ，故函數f(3x-5)的定義域為[4-3,10-3 ]，這類問題的解法是：若f(x)的定義域為a≤x≤b，則在f[g(x)]中，a≤g(x)≤b，從中解得x的取值范圍即為f[g(x)]的定義域．

例2：已知函數f(x2-2x+2)的定義域為[0,3]，求函數f(x)的定義域。

分析：令μ=x2-2x+2，則f(x2-2x+2)=f(μ)，由于f(μ)與f(x)是同一函數，因此μ的取值范圍即為f(x)的定義域．

解：由0≤x≤3，得1≤x2-2x+2≤5，令μ=x2-2x+2，則f(x2-2x+2)=f(μ)，1≤μ≤5，故f(x)的定義域為[1,5]。

這類問題的解法是：若f[g(x)]的定義域為m≤x≤n，則由m≤x≤n確定的g(x)的范圍即為f(x)的定義域．

二、抽象函數的解析式

例3：若等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)對x∈R都成立，且f(0)=1，求f(x)。

解：由題意知令x=y，f(0)=f(x)-x(2x-x+1)，f(0)=f(x)-x2-x，∴f(x)=x2+x+1，這類問題主要是通過具體化來解決。

三、抽象函數的奇偶性

例4：已知f(x)的定義域為R，且對任意實數x，y滿足f(xy)=f(x)+f(y)，求證：f(x)是偶函數。

分析：在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1， 得f(1)=f(1)+f(1)?f(1)=0

令x=y=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)?f(-1)=0

于是f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)故f(x)是偶函數。

這類問題主要是通過特殊化來推測結論的方法來解決，以定義進行賦值，首先必須出現f(x)、f(-x)字樣，出現f(x)、f(-x)后會產生新的式子，視情況再賦值。值得引起重視的是：零賦值a=b=0；等賦值a=b=x；相反賦值a=x，b=-x；倒數賦值a=x，b= 1-x等是常用的賦值方法。

四、抽象函數的單調性

例5：已知：f(x)在[-3,+∞)為減函數，求f(1-x2)的增區間。

解：1-x2的增區間為(-∞,0]，減區間為[0,+∞)，同時1-x2≥-3?-2≤x≤2由復合函數單調性知，其增區間為[0,2]。

單調區間主要是通過圖象法來解決。

例6：定義域為實數集Ｒ上的奇函數f(x)單調遞減，若f(a2-4)+f(2+a)>0，求a的范圍。

解：∵f(x)為奇函數，∴f(2+a)=-f(-2-a)，從而由條件f(a2-4)>-f(2+a)得f(a2-4)>f(-2-a)∴a2-4<-2-a，a2+a-2<0，-2

利用單調性“脫去”記號，轉化為有理不等式來解決。

五、抽象函數的周期性

例7：設函數f(x)的定義域為R，且對任意的x，y有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，并存在正實數c，使f( c-2 )=0。試問f(x)是否為周期函數？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由。

分析：仔細觀察分析條件，聯想三角公式，就會發現：y=cosx滿足題設條件，且cosπ-2 =0，猜測f(x)是以2c為周期的周期函數。

∵f[(x+ c-2 )+ c-2 ]+f[(x+ c-2 )- c-2 ]=2f(x+ c-2 )f( c-2 )=0

∴f(x+c)=-f(x) ∴f(x+2c)=-f(x+c)=f(x)

故f(x)是周期函數，2c是它的一個周期。

例8：設函數f(x)的定義域關于原點對稱，且滿足①f(x1+x2)=，②存在正常數a，使f(x)＝1。求證①f(x)是奇函數；②f(x)是周期函數并且有一個周期是4a。

證明：①不妨令x=x1-x2，則f(-x)=f(x2-x1)

=∴f(x)為奇函數。

②要證：f(x+4a)=f(x)可先計算f(x+a)、f(x+2a)，

∵f(x+a)=f[x-(-a)]=

∴f(x+2a)=f[(x+a)+a]=

==-

∴f(x)是一個周期為4a的周期函數。

這類問題主要是利用周期函數定義通過轉換來解決。

六、求函數值

例9：已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足：f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，

f(1)=1997，求f(2001)的值。

分析：緊扣已知條件，并多次使用，發現f(x)是周期函數，顯然f(x)≠1，于是

，

所以

故f(x)是以8為周期的周期函數，從而 f(2001)=f(8×250+1)=f(1)=1997

這類問題主要是緊扣已知條件進行迭代變換，經有限次迭代可直接求出結果，或者在迭代過程中發現函數具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。

七、求抽象函數的最值

例10：已知函數f(x)對任意x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)且x>0時f(x)<0，f(1)=-2。

⑴求證：f(x)為奇函數；⑵f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值。

解：⑴令y=-x，則f(0)=f(x)+f(-x)，令y=x=0，則f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0，∴f(x)+f(-x)=0，∴f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函數。

⑵設x1>x2，則x1-x2>0∴f(x1-x2)<0，而f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)

∴函數為減函數，∵f(1)=-2，∴最大值為f(-3)=6，最小值為f(3)=-6。

這類問題主要是通過判斷函數單調性來解決。

八、研究抽象函數的圖象

例11：若函數y=f(x+2)是偶函數，則y=f(x)的圖象關于直線_______對稱。

分析：y=f(x)的圖象y=f(x+2)的圖象，而y=f(x+2)是偶函數，對稱軸是x=0，故y=f(x)的對稱軸是x=2。

例12：求證：函數y=f(a-x)與y=f(a-x)圖象關于對稱。

證：設(x0,y0)為y=f(x)圖象上任意一點，則(a-x0,y0)在y=f(a-x)的圖像上；(b+x0,y0)在y=f(x-b)的圖像上。又(a-x0,y0)與(b+x0,y0)關于對稱。

∴y=f(a-x)與y=f(a-x)圖像關于對稱。

這類問題主要是通過圖像變換特點及規律來解決。