談數學解題的途徑

薄三德

數學習題類型繁多、技巧靈活，不可能總結出一套普遍適用的解題法則，可它畢竟還是存在著某些規律，現就中學數學中常見的解題方法做一歸納。

1.用觀察法解題

解任何數學題的第一步都是審題。而有些題目經全面觀察之后，就可發現其特點，一旦抓住了這些特點，就可以使問題大大簡化或納入一種熟悉的模式，再不必去做繁雜的計算或論證。

例1：解方程（2+3+2-3）x=

6。

分析：我們注意到（2+3+

2-3）2=6，所以就想到了兩邊同時

平方的解法。這樣就避免了采用兩邊取對數解題所帶來的困難。

解：原方程兩邊平方，得[（2+3

+2-3）2]x=62，即6x=62，所以x=2。

2.將已知的條件變形以利于解題

在有些題目中，給定的條件不便于直接應用，而當留意到結論時將已知條件做某種變形后，就會使問題迎刃而解。

例2：設x2+x+1=0，求x14+x-14的值。

分析：方程x2+x+1=0無實根，估計求出x后再計算x14也不容易。但容易看出

（x-1）（x2+x+1）=x3-1=0，即x3=1，應用這一條件去計算或者容易一些。

解：x14+x-14=（x3）4x2+（x3）-5+x=x2+x=-1.

3.將結論或欲求解的對象變形以便于解題

有些題目從表面上看來，似乎難以一下子用上已知條件，而當把結論或欲求解的對象做適當變形后，就可以明顯看到結論或欲求的對象與已知條件之間的關系，從而使問題獲解。分析法就屬于此類。

例3：如果A、B都是銳角且（1+tan A）（1+tan B）=2，全角求證：A+B=

π4。

分析：聯系到已知條件，發現需將結論變形，證明tan（A+B）=1即可。

證明：tan（A+B）=tan A+tan B1-tan Atan B，

由（1+tan A）（1+tan B）=2，求得tan A=

1-tan B1+tan B，代入上式即得tan（A+B）=

1。證畢。

4.把已知條件和結論或欲求解的對象都進行變形

有些題目既不容易從已知條件推證到結論，也不容易從結論倒推至已知條件。但卻可以把兩者都進行變形，變至一個共同相關的形勢，使之發生聯系，促成問題解決。

例4：已知x≠0，x+1x=1，證明：x4+1x4=-1。

分析：由x+1x=1中解出再去證明，估計比較繁瑣。已知條件相當于x2-x+1=0，而所求證者可變為x8+x4+1=0。然后加以證明。

證明：通過已知條件得x2-x+1=0，欲證x4+1x4=-1，只需證x8+x4+1=0。

而x8+x4+1=（x8+2x4+1）-x4=（x4+1）2-x4=（x4+x2+1）（x4-x2+1）=

[（x4+2x2+1）-x2]（x4-x2+1）=（x2-x+1）（x2+x+1）（x4-x2+1）=0。證畢。

5.用“一般”指導“特殊”

按理來說，當問題在一般情形下的解答已經掌握，那么，特殊情形下的解答就應該是很容易的了。然而有時一個問題擺在面前，若不注意觀察和思考，并不容易發現它是什么定理或公式的特殊情形，致使頭緒茫然，無從下筆。如果經過分析發現是某一般原理的特殊情形，問題就迎刃而解了。

例5：求（x+3y）（3x+y）（x+y）2展開式中各項系數之和。

分析：實際將式子展開后再把各項系數相加，計算量較大。如果相乘的因式再多一些，這一方法將會遇到很大的困難。設想已將原式展開，系數是A、B、…E，而A+B+…+E只不過是當取值為1時原式的一個特殊值。

解：所求系數之和是（1+3）（3+1）（1+1）2=64。

6.從“特殊”中發現“一般”

當一個問題無從下手時，我們不妨先考察一下這個問題的特殊情況。當特殊情況獲得了解決辦法時，往往會對一般情況下的解決有所啟示。一般屬于特殊之中，這種做法是符合認識過程的。

例6：七人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人要相鄰，該有多少種排法？

分析：甲、乙、丙三人要相鄰，不妨先把甲、乙、丙作為一個人來考慮，就是先不考慮他們三人的站位順序，把這種特殊情況解決后再考慮一般情況。

解：若不計甲、乙、丙三人的站位順序，即相當于五人照相共有5！=120種排法。而甲、乙、丙三人又有3！=6種排法，所以共有120×6=720種排法。

一個問題擺在面前，不一定非要把它認定為代數問題、幾何問題或三角問題，這里沒有嚴格的界限，有時也是分不清的。幾何問題不必限定用純幾何的辦法去解決，代數問題不必非要用代數方法解決不可。要從實際出發采用簡便可行的解法，把所學過的知識作為一個大的系統，各部分之間的配合就可以產生新的功能。endprint

數學習題類型繁多、技巧靈活，不可能總結出一套普遍適用的解題法則，可它畢竟還是存在著某些規律，現就中學數學中常見的解題方法做一歸納。

1.用觀察法解題

解任何數學題的第一步都是審題。而有些題目經全面觀察之后，就可發現其特點，一旦抓住了這些特點，就可以使問題大大簡化或納入一種熟悉的模式，再不必去做繁雜的計算或論證。

例1：解方程（2+3+2-3）x=

6。

分析：我們注意到（2+3+

2-3）2=6，所以就想到了兩邊同時

平方的解法。這樣就避免了采用兩邊取對數解題所帶來的困難。

解：原方程兩邊平方，得[（2+3

+2-3）2]x=62，即6x=62，所以x=2。

2.將已知的條件變形以利于解題

在有些題目中，給定的條件不便于直接應用，而當留意到結論時將已知條件做某種變形后，就會使問題迎刃而解。

例2：設x2+x+1=0，求x14+x-14的值。

分析：方程x2+x+1=0無實根，估計求出x后再計算x14也不容易。但容易看出

（x-1）（x2+x+1）=x3-1=0，即x3=1，應用這一條件去計算或者容易一些。

解：x14+x-14=（x3）4x2+（x3）-5+x=x2+x=-1.

3.將結論或欲求解的對象變形以便于解題

有些題目從表面上看來，似乎難以一下子用上已知條件，而當把結論或欲求解的對象做適當變形后，就可以明顯看到結論或欲求的對象與已知條件之間的關系，從而使問題獲解。分析法就屬于此類。

例3：如果A、B都是銳角且（1+tan A）（1+tan B）=2，全角求證：A+B=

π4。

分析：聯系到已知條件，發現需將結論變形，證明tan（A+B）=1即可。

證明：tan（A+B）=tan A+tan B1-tan Atan B，

由（1+tan A）（1+tan B）=2，求得tan A=

1-tan B1+tan B，代入上式即得tan（A+B）=

1。證畢。

4.把已知條件和結論或欲求解的對象都進行變形

有些題目既不容易從已知條件推證到結論，也不容易從結論倒推至已知條件。但卻可以把兩者都進行變形，變至一個共同相關的形勢，使之發生聯系，促成問題解決。

例4：已知x≠0，x+1x=1，證明：x4+1x4=-1。

分析：由x+1x=1中解出再去證明，估計比較繁瑣。已知條件相當于x2-x+1=0，而所求證者可變為x8+x4+1=0。然后加以證明。

證明：通過已知條件得x2-x+1=0，欲證x4+1x4=-1，只需證x8+x4+1=0。

而x8+x4+1=（x8+2x4+1）-x4=（x4+1）2-x4=（x4+x2+1）（x4-x2+1）=

[（x4+2x2+1）-x2]（x4-x2+1）=（x2-x+1）（x2+x+1）（x4-x2+1）=0。證畢。

5.用“一般”指導“特殊”

按理來說，當問題在一般情形下的解答已經掌握，那么，特殊情形下的解答就應該是很容易的了。然而有時一個問題擺在面前，若不注意觀察和思考，并不容易發現它是什么定理或公式的特殊情形，致使頭緒茫然，無從下筆。如果經過分析發現是某一般原理的特殊情形，問題就迎刃而解了。

例5：求（x+3y）（3x+y）（x+y）2展開式中各項系數之和。

分析：實際將式子展開后再把各項系數相加，計算量較大。如果相乘的因式再多一些，這一方法將會遇到很大的困難。設想已將原式展開，系數是A、B、…E，而A+B+…+E只不過是當取值為1時原式的一個特殊值。

解：所求系數之和是（1+3）（3+1）（1+1）2=64。

6.從“特殊”中發現“一般”

當一個問題無從下手時，我們不妨先考察一下這個問題的特殊情況。當特殊情況獲得了解決辦法時，往往會對一般情況下的解決有所啟示。一般屬于特殊之中，這種做法是符合認識過程的。

例6：七人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人要相鄰，該有多少種排法？

分析：甲、乙、丙三人要相鄰，不妨先把甲、乙、丙作為一個人來考慮，就是先不考慮他們三人的站位順序，把這種特殊情況解決后再考慮一般情況。

解：若不計甲、乙、丙三人的站位順序，即相當于五人照相共有5！=120種排法。而甲、乙、丙三人又有3！=6種排法，所以共有120×6=720種排法。

一個問題擺在面前，不一定非要把它認定為代數問題、幾何問題或三角問題，這里沒有嚴格的界限，有時也是分不清的。幾何問題不必限定用純幾何的辦法去解決，代數問題不必非要用代數方法解決不可。要從實際出發采用簡便可行的解法，把所學過的知識作為一個大的系統，各部分之間的配合就可以產生新的功能。endprint

數學習題類型繁多、技巧靈活，不可能總結出一套普遍適用的解題法則，可它畢竟還是存在著某些規律，現就中學數學中常見的解題方法做一歸納。

1.用觀察法解題

解任何數學題的第一步都是審題。而有些題目經全面觀察之后，就可發現其特點，一旦抓住了這些特點，就可以使問題大大簡化或納入一種熟悉的模式，再不必去做繁雜的計算或論證。

例1：解方程（2+3+2-3）x=

6。

分析：我們注意到（2+3+

2-3）2=6，所以就想到了兩邊同時

平方的解法。這樣就避免了采用兩邊取對數解題所帶來的困難。

解：原方程兩邊平方，得[（2+3

+2-3）2]x=62，即6x=62，所以x=2。

2.將已知的條件變形以利于解題

在有些題目中，給定的條件不便于直接應用，而當留意到結論時將已知條件做某種變形后，就會使問題迎刃而解。

例2：設x2+x+1=0，求x14+x-14的值。

分析：方程x2+x+1=0無實根，估計求出x后再計算x14也不容易。但容易看出

（x-1）（x2+x+1）=x3-1=0，即x3=1，應用這一條件去計算或者容易一些。

解：x14+x-14=（x3）4x2+（x3）-5+x=x2+x=-1.

3.將結論或欲求解的對象變形以便于解題

有些題目從表面上看來，似乎難以一下子用上已知條件，而當把結論或欲求解的對象做適當變形后，就可以明顯看到結論或欲求的對象與已知條件之間的關系，從而使問題獲解。分析法就屬于此類。

例3：如果A、B都是銳角且（1+tan A）（1+tan B）=2，全角求證：A+B=

π4。

分析：聯系到已知條件，發現需將結論變形，證明tan（A+B）=1即可。

證明：tan（A+B）=tan A+tan B1-tan Atan B，

由（1+tan A）（1+tan B）=2，求得tan A=

1-tan B1+tan B，代入上式即得tan（A+B）=

1。證畢。

4.把已知條件和結論或欲求解的對象都進行變形

有些題目既不容易從已知條件推證到結論，也不容易從結論倒推至已知條件。但卻可以把兩者都進行變形，變至一個共同相關的形勢，使之發生聯系，促成問題解決。

例4：已知x≠0，x+1x=1，證明：x4+1x4=-1。

分析：由x+1x=1中解出再去證明，估計比較繁瑣。已知條件相當于x2-x+1=0，而所求證者可變為x8+x4+1=0。然后加以證明。

證明：通過已知條件得x2-x+1=0，欲證x4+1x4=-1，只需證x8+x4+1=0。

而x8+x4+1=（x8+2x4+1）-x4=（x4+1）2-x4=（x4+x2+1）（x4-x2+1）=

[（x4+2x2+1）-x2]（x4-x2+1）=（x2-x+1）（x2+x+1）（x4-x2+1）=0。證畢。

5.用“一般”指導“特殊”

按理來說，當問題在一般情形下的解答已經掌握，那么，特殊情形下的解答就應該是很容易的了。然而有時一個問題擺在面前，若不注意觀察和思考，并不容易發現它是什么定理或公式的特殊情形，致使頭緒茫然，無從下筆。如果經過分析發現是某一般原理的特殊情形，問題就迎刃而解了。

例5：求（x+3y）（3x+y）（x+y）2展開式中各項系數之和。

分析：實際將式子展開后再把各項系數相加，計算量較大。如果相乘的因式再多一些，這一方法將會遇到很大的困難。設想已將原式展開，系數是A、B、…E，而A+B+…+E只不過是當取值為1時原式的一個特殊值。

解：所求系數之和是（1+3）（3+1）（1+1）2=64。

6.從“特殊”中發現“一般”

當一個問題無從下手時，我們不妨先考察一下這個問題的特殊情況。當特殊情況獲得了解決辦法時，往往會對一般情況下的解決有所啟示。一般屬于特殊之中，這種做法是符合認識過程的。

例6：七人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人要相鄰，該有多少種排法？

分析：甲、乙、丙三人要相鄰，不妨先把甲、乙、丙作為一個人來考慮，就是先不考慮他們三人的站位順序，把這種特殊情況解決后再考慮一般情況。

解：若不計甲、乙、丙三人的站位順序，即相當于五人照相共有5！=120種排法。而甲、乙、丙三人又有3！=6種排法，所以共有120×6=720種排法。

一個問題擺在面前，不一定非要把它認定為代數問題、幾何問題或三角問題，這里沒有嚴格的界限，有時也是分不清的。幾何問題不必限定用純幾何的辦法去解決，代數問題不必非要用代數方法解決不可。要從實際出發采用簡便可行的解法，把所學過的知識作為一個大的系統，各部分之間的配合就可以產生新的功能。endprint