數(shù)形結合巧解題

張澤霞

摘 要： 數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，在數(shù)學教學中，它主要表現(xiàn)在把抽象的數(shù)量關系轉化為適當?shù)膸缀螆D形，從圖形的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，達到化難為易，化繁為簡，化隱為顯的目的，使問題簡捷地得以解決.本文從培養(yǎng)數(shù)學數(shù)形結合思想的重要性入手，結合幾個具體實例，從借助數(shù)軸、借助圖像、借助單位圓、借助復平面和借助幾何構建這五個方面談談如何運用數(shù)形結合的思想方法解決數(shù)學問題.

關鍵詞： 數(shù)形結合 思維能力 解題應用 中學數(shù)學教學

數(shù)學是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關系的科學.數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，華羅庚教授說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休.”數(shù)形結合的思想就是充分運用數(shù)的嚴謹和形的直觀，將抽象數(shù)學語言與直觀的圖形語言結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過圖形的描述，代數(shù)的論證研究和解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想方法.

一、培養(yǎng)“數(shù)形結合”思維能力的重要意義

數(shù)形結合是中學數(shù)學解題中常用的、重要的一種思想方法.數(shù)形結合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質.數(shù)形結合的思想包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面.它可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達到優(yōu)化解題過程的目的，由于使用了數(shù)形結合方法，很多問題便迎刃而解.

縱觀多年來的中、高考考題，巧妙運用數(shù)形結合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可收到事半功倍的效果.不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化解題過程，這在解選擇題、填空題中優(yōu)勢更明顯.因此，在數(shù)學教學中，應培養(yǎng)運用“數(shù)形結合”的思想引導學生思考，運用“數(shù)形結合”的技巧訓練學生解題，有利于學生分析題中數(shù)量之間的關系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.注重數(shù)形結合思想的教學，不僅能夠提高學生學習數(shù)學的興趣，而且能夠提高學生數(shù)形轉化能力和遷移思維能力，具有重大的意義.

二、“數(shù)形結合”思想方法的解題應用

（一）借助數(shù)軸，直觀深刻.

實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，從數(shù)形結合的觀點出發(fā)，借助用數(shù)軸的思想使抽象的數(shù)及其運算方法，讓人們易于理解和接受.這樣充分運用數(shù)形結合思想，能使繁、難的問題變得簡單、明了.

例如用數(shù)軸上的點表示實數(shù)就是數(shù)形結合思想的基石，這樣把數(shù)（實數(shù)）與形（數(shù)軸上的點），建立起了一種轉化對應關系，用點表示數(shù)，形象直觀用數(shù)描述形，科學準確，二者相輔相成.

例1.已知a>0，b<0，|a|>|b|，試比較a，-a，b，-b的大小.

【解析】本題中a，b的具體數(shù)值沒有確定，但能依據(jù)數(shù)軸形象地表示它們在數(shù)軸上的大致位置.如圖1，a>0，表示數(shù)a的點在原點右側，b<0表示數(shù)b的點在原點左側，由絕對值的幾何意義知，|a|>|b|表示數(shù)a的點離原點的距離比表示數(shù)b的點離原點的距離大，從而確定數(shù)a數(shù)b在數(shù)軸上的大致位置.又由表示互為相反數(shù)的點分居在原點兩側，且離原點的距離相等的性質找到數(shù)軸上表示-a，-b的點.觀察圖1，根據(jù)數(shù)軸上的點表示的數(shù)，右邊總比左邊的大，知-a

圖1

例2.設集合A={x—x∈Z，且-10≤x≤-1}，B={x—x∈Z，且|x|≤5}，則A∪B中的元素個數(shù)是（ ）

A.11 B.10 C.15 D.16

【解析】這是求并集中的元素個數(shù)，A、B中的元素在數(shù)軸上易于表示，從數(shù)形結合的思想方法來解簡單明了，如圖2所示，A∪B中含有整數(shù)點16個，因此答案為D.

圖2

（二）借助圖像，直觀易懂.

一般地，不等式的解集，函數(shù)的性質等進行討論時，可以借助函數(shù)圖像直觀解決，簡單明了.

例3.一次函數(shù)y =a x+b 的圖像交x軸于點（1，0），一次函數(shù)y =a x+b 的圖像交x軸于點（7，0），且兩圖像交于點P（5，3），根據(jù)圖形3，指出當x為何值時，y >y ？

【解析】這道題體現(xiàn)了圖像的直觀性，函數(shù)圖像就是直觀的數(shù)學語言，用數(shù)形結合的思維方法，可以看到y(tǒng) 的值，當x>5時，y 的值遞減；當x>5時，y 的值遞增.所以當x>5時y >y .

圖3

例4.設對于任意實數(shù)x∈[-2，2]，函數(shù)f（x）=lg（3a-ax-x ）總有意義，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】函數(shù)f（x）有意義，則3a-ax-x >0，即x +ax-3a<0在x∈[-2，2]上總成立.

設g（x）=x +ax-3a，即當x∈[-2，2]時，g（x）<0總成立.

∴依拋物線y=g（x）的特征，將其定位，

有g（2）<0g（2）<0，如圖4所示∴4-5a<04-a<0，解得a>4.

圖4

因此，借助函數(shù)圖像的直觀性可使很難或很繁的問題變得容易和簡單.

（三）借助單位圓，直觀又簡捷.

例5.如圖，極坐標方程ρ=2sin（θ+π/4）的圖形是（ ）

A B C D

【解析】題目是由“數(shù)”的解析關系找“形”的位置，數(shù)形結合，由特殊的“數(shù)”否一般的“形”，當θ=0時，ρ= ，點（ ，0）在極軸上，否“形”B、D，當θ= 時，ρ=2，點（2， ）在極軸上半部，否A，所以應選C.

此題用轉化的思想方法化極軸坐標方程為直角坐標方程，也可以確定圖形圓的位置，但較麻煩.

例6.求函數(shù)y= 的最值.

【解析】y可看成兩點P（cosx，sinx）與A（2，1）連線的斜率，其中A是定點，動點P在圓x +y =1上，過點A作⊙О的切線AB、AC，如圖5，則y =k ，y =k ，易求得k =0，k = .

∴y =0，y = .

圖5

（四）借助復平面，幾何意義明顯.

例7.設|z |=5，|z |=2，|z - |= ，求 的值.

【分析】利用復數(shù)模、四則運算的幾何意義，將復數(shù)問題用幾何圖形幫助求解.

【解】設z = ，z = 后，則z = ，z = ，

如圖6所示.由圖可知，| |= ，∠AOD=∠BOC，

圖6

由余弦定理得：

cos∠AOD= =

∴ = （ ± i）=2± i

此題運用“數(shù)形結合”思想，把共軛復數(shù)的性質與復平面上的向量表示代數(shù)運算的幾何意義等都表達得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結合的生動活潑，從而使復雜問題簡單化.

例8.如果復數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2，|z+i+1|的最小值是（ ）

A.1 B. C.2 D.

圖7

【解析】設復數(shù)-i，i，-（1+i）在復平面上對應的點分別為z ，z ，z ，因為|z+i|+|z-i|=2，|z z |=2，所以點z的集合為線段z z ，則問題轉化為：動點z在線段z z 上移動，求|zz |的最小值，因為z z ⊥z z ，所以當z與z 重合時，|zz |取最小值，|z z |=1，其幾何意義見圖7，故選A.

假如此題運用代數(shù)法，轉化為普通函數(shù)求最值，則運算相當麻煩.

（五）借助幾何構建，以形助數(shù).

例9.已知a、b均為正數(shù)，且a+b=2，求 + 的最小值.

【解析】如圖8，作線段AB=2，在AB上截取AE=a，EB=b，過A作AC⊥AB，且AC=2，過B作BD⊥AB，且BD=1.由勾股定理得：CE= ，BD= ，原題即求CE+ED的最小值.如圖8，延長CA至G，使AG=AC，連接GE，由三角形兩邊之和大于第三邊，則G、E、D三點共線時，GE+ED=DG最短.作出圖形，延長DB至F，使BF∥AG且BF=AG，連接GF.則在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2

∴DG= = =

∴CE+DE的最小值是

即 + 的最小值是 .

小結：此題由式子特點聯(lián)想勾股定理，構造圖形解決問題.

圖8

例10.設f（x）=1+ ，a，b∈R且a≠b，求證：|f（a）-f（b）|<|a-b|

【解析】本題直接證明較繁.如能由f（x）= 的結構形式，聯(lián)想到兩點間的距離公式，數(shù)形結合，以形助數(shù)，則抓住了知識間的內在聯(lián)系，解法新穎，巧妙簡潔.

圖9

∵a≠b不妨設a>b，構建如圖9的Rt△OAP，

其中OP=1，OA=a，OB=b

則PA= =f（a），PB= =f（b），AB=a-b

在Rt△OAP中，有|PA-PB|

∴|f（a）-f（b）|<|a-b|

從以上解題過程可以看出，借助數(shù)軸、圖像、單位圓、復平面和幾何構建運用數(shù)形結合的思想方法解決數(shù)學問題可收到事半功倍的效果.數(shù)形結合的思想方法所表現(xiàn)出來的思路上的靈活，過程上的簡便，方法上的多樣化是一目了然的，它可以巧妙地解決很多抽象的數(shù)學問題.

可見，數(shù)形結合思想是很重要的思想，在中學數(shù)學教學中具有舉足輕重的作用，同時也是分析問題、解決問題的有力工具.正確運用數(shù)形結合這一思想思考問題，學生能夠提高解題能力和創(chuàng)新能力.

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