讓數學學習成為學生再創造的過程

丁楊華

最近，在朋友的空間里看到一篇轉載的博文《可怕的哈佛，可敬的哈佛》，文中指出：“美國小學是知識的吝嗇鬼，嚴格限制孩子得到知識的數量，一個月只允許孩子得到一個知識，孩子每得到一個知識都需要付出很多的汗水和辛苦。在這個過程中，動手、思考和感悟比知識本身更重要，孩子對知識總是有渴望的感覺。”雖然說法略有夸張，但與我們課題研究中所理解的學生的數學學習不謀而合，孩子的數學學習應該是一種數學活動，是學生自主探索的“再創造”的過程。“再創造”是荷蘭數學教育家弗賴登塔爾提出的，他要求我們一線的數學教育工作者，不要將數學當作一個現成的體系來教，而是讓學生在實踐的過程中自己去發現，用自己的思維方式重新創造出數學知識。為此，我們在課題研究中，力求教師只給學生提供數學活動的機會，適當啟發，引導學生反思、感悟，讓學生的創造活動由不自覺的狀態發展為有意識的活動。下面簡要談談我在實踐中的一些粗淺體會。

一、創設合理情境，提供再創造的時空

我們目前的小學數學教學，教師關注得較多的可能是教學任務和大量的習題訓練，很多新知都是照本宣科，忽略了新知的發現過程和學生學習的情感體驗，以致獲取新知這樣一個生動活潑的過程被無情地抹殺。新知從本質上來說并不是書本給我們的現成結論，而是發現。因此在教學中，教師要為學生創設合理的情境，營造自由的環境，要給學生更多的時間和空間，讓他們感知、思考、想象、思維，理解和把握新知，引導和幫助學生對新知進行“再創造”，從而獲取“有價值的數學”。

例如，在五年級《公頃的認識》一課的教學中，教師先引領學生回憶已學過的面積單位有哪些。然后提問：如果要測量一塊橡皮正面的面積、測量課桌面的面積、我們教室的面積，你準備分別選用什么面積單位呢？追問：邊長是多少的正方形面積是1平方厘米、1平方分米、1平方米呢？你能用手勢比劃一下嗎？（再出示人民公園的圖片）要測量人民公園的占地面積該選用什么面積單位呢？你發現用平方米來測量人民公園的占地面積怎么樣？生1：不太合適。生2：平方米這個單位太小了。師：那你有什么建議？生3：應該選一個比平方米更大的單位。師：好，我們下面就創造比平方米更大的面積單位。出示表格，學生觀察，然后嘗試創造。

學生試著創造并填表、匯報。生1：邊長10米，1平方十米。生2：邊長100米，面積1平方百米。生3：邊長1000米，面積1平方千米。生4：邊長10000米，面積1平方萬米……教師在學生自行創造的基礎上引出“公頃”這一概念，一切水到渠成。

這里教師精心設計、創設了合理的情境，引領學生回顧，再現1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小，極好地調動了學生已有的“數學現實”，讓其感受到隨著物體表面的增大，測量時選擇的面積單位也隨之增大，最后由測量人民公園的面積，讓學生感受到用“平方米”作單位顯得偏小，從而產生了需要創造出一個更大面積單位的愿望，然后放手給予再創造的時空，學生自然將“公頃”這個新的面積單位納入其已有的知識結構中。

二、制造認知沖突，促進再創造的達成

認知沖突是學生學習的主要動力，其一般策略就是在學習內容和學生求知心理之間制造一種不平衡，把學生引入一種與新問題有關的探究過程中，以促進其再創造。皮亞杰認為，兒童認知發展的過程是“平衡—不平衡—新的平衡”，這與我們數學“再創造”的過程是一致的。心理學研究也表明：當感性輸入的信息與兒童已有認知結構不相匹配時，人的興趣最大，創造欲望最強。因此，教師要合理地設疑立障，制造認知沖突，為學生營造不平衡的學習氛圍，讓學生在認知失調時通過收集信息和探索調節來降低不和諧，以實現認知的發展，促進再創造的順利達成。

例如，在六年級《長方體和正方體的體積》的練習課中，我設計了這樣一道題：如下圖，有一個密封的長方體油箱，從里面量長5分米，高4分米，現在箱里油的高度是2分米。如果把油箱豎起來放，這時油箱里油的高度會是多少分米？

題目剛出示完，生1：“不對呀，缺了一個條件，不知道寬是多少分米，不好做啊！”班上同學紛紛點頭附和。我認真看了看題目，點點頭，添上了一個條件“寬3分米”。不一會兒，小手紛紛舉起。生2：“先算出油的體積532=30（立方分米），接下來用油的體積除以豎過來的底面積（高度與寬的積）就能算出豎起來后油的高度，即30÷（4×3）=2.5（分米）。”同學們點頭稱是。一會兒，生3站起來說道：“其實這道題原來就不缺少條件，油箱的寬不知道，我們可以假設寬為x，那么油的體積就是5×x×2=10x（立方分米），然后除以豎起的底面，也就是高與寬的積，就能算出豎起來后油的高度，即10x÷（4×x）=2.5（分米），這里的x正好互相抵消，所以我們也可以假設寬為任何符合實際情況的數。”生4：“哦，我明白了！從圖上看，兩次不同的擺放，油的體積是不變的，油箱的寬度也是不變的，可以推算出兩次擺放中雖是不同形狀的長方形，但面積是相等的，所以豎起來后油的高度可以直接用5×2÷4=2.5（分米），不需要再添加‘寬3分米這一條件了。”“原來是這樣啊！”同學們恍然大悟。“我還有新的發現！”生5突然站起來，“密封的長方體油箱的高是4分米，油的高度是2分米，說明油箱里裝了半箱油；油箱豎起來放，也應該是這時高度5分米的一半，也就是2.5分米。”教室里立刻響起了經久不息的掌聲。

精巧的練習設計，巧妙地制造了認知沖突，引領學生經歷了“缺少條件—補充條件—去除條件”三個階段，讓學生歷經多維度、多層次解決問題的探求過程，促進多種不同思維層次再創造的順利達成，實現了知識技能目標和發展性目標的和諧發展。

三、借助合情推理，開辟再創造的途徑

數學中的很多創造常借助合情推理來實現；數學學習中，新結論得出前，合情推理常為我們提供解題的思路與方向；在我們數學再創造的過程中，合情推理也有著重要的作用，但傳統的數學教學經常忽視這一點，片面強調演繹的作用，偏向于培養學生的邏輯思維能力，這對學生創造能力的培養是極為不利的。為此，我們常為學生提供數學原型，引領學生展開合情推理，開辟“再創造”的新途徑。endprint

例如，五年級教學了《圓的周長》后，我在復習課上設計了這樣一道拓展題：如下圖，一個底面直徑為1.5米的油桶，在距離為20.34米的兩墻之間滾動，油桶從一側墻滾到另一側墻要滾多少圈？

全班42名學生均列式為：20.34÷（3.14×1.5）≈4.3（圈）。課后，我反思：要求油桶從一側墻滾到另一側墻要滾多少圈，從數量關系上應用油桶滾過的路程除以油桶的底面周長，這學生都理解。學生難以理解的是油桶實際滾過的路程，都認為是兩墻間的距離。基于以上思考，我精心做了準備，第二天上課時首先向學生出示了四年級數學活動課上曾研究過的“火車過橋”的問題。在學生充分回答的基礎上，我用課件演示了過橋的過程，幫助學生進一步理解：火車過橋所行的路程是橋長加火車自身的長度。接著，我再出示昨天的拓展題，讓學生小組合作探究：油桶實際滾過的路程是多少？在“火車過橋”的啟示下，各小組陸續“再創造”出結論：油桶滾過的路程與火車過橋恰好相反，油桶滾過的路程比兩墻間的距離少一條直徑的長度1.5米。因為油桶要是滾過20.34米，就會滾到墻里面去，這是不可能實現的。所以列式為：（20.34-1.5）÷（3.14×1.5）=4（圈）。最后，我用課件動態演示了油桶滾過的實際路線，學生徹底明白了。

這里，借助“火車過橋”的模型，喚醒了學生的潛能，學生們展開合情推理，經過觀察、聯想、比較、類比、歸納，從而完成對所學內容的再創造，順利攻克了“油桶實際滾過的路程”這一難點。

四、經歷數學化過程，感悟再創造價值

弗賴登塔爾指出：與其讓學生學習數學，還不如讓學生經歷數學化。所謂“數學化”就是人們運用數學的方法觀察世界，分析研究各種具體現象，并加以組織、整理、應用的過程。在數學學習中，引導學生在“數學化”過程中感悟再創造的價值，領略數學的思想方法是其精髓之所在。讓學生在解決問題時體驗、概括數學的思想方法，實質上就是讓學生用自己的方式“再創造”相關的思想方法。

比如，在教學《除數是整數的小數除法》時，在復習環節，教者設計了65÷5和12÷5讓學生筆算，展示后，教者提問：像“12÷5=2……2”這樣的題，想想能不能繼續往下除？學生試做，實物投影展示做得較好的學生的豎式。教者講解：生活中也有許多這樣的情況，如測量一個物體時，用米尺量，多了一些，想到分米，仍多一點，又想到了厘米。所以當除下來商是整數，還有余數時，我們就可以用到小數。板書課題：小數除法。新課環節，出示媽媽購買水果的主題圖，提問：從圖中知道了哪些信息？你能求出什么？板書算式：5.2÷4，12.4÷5，5.7÷6。提問：你們用除法計算的依據是什么？生：總價÷數量=單價。學生估算每道算式的結果，教師依次板書：1.（ ），2.（ ），0.（ ）。接下來，探究算法。學生試做5.2÷4后，提問：同學們發現整數除法與小數除法相比怎樣？生：差不多，有一樣的地方，計算方法相同；也有不一樣的地方，小數除法的商有小數點。師：你們商中的小數點都點對了，是怎么點的？生：5除以4，商1余1，余數1和2個0.1合起來就是12個0.1，12個0.1除以4，每份是3個0.1，是0.3，所以商是1與0.3的和1.3，所以商1的后面要點上小數點。接著，教師依次用長方形圖、圓形圖、人民幣、千米四種不同的原型演示幫助學生理解意義。經歷了這一過程，后面的“12.4÷5、5.7÷6”學生們就能順利解決。

“除數是整數的小數除法”，其算法具有一定的抽象性，與學生慣用的形象思維有一定的反差，教者巧妙溝通其與整數除法的內在聯系，喚起已有的生活經驗，讓學生經歷生活問題數學化的過程，促使學生再創造出小數除法的計算法則，并在高密度的思維中提高問題解決能力，發展學生的數學思維能力，感受再創造的魅力。

總之，在數學學習中，學生的創造性思維無處不在，關鍵在于我們教師的誘導與激發。我們每位數學教師要刪減過滿的課堂容量，留給學生充足的“再創造”時間；要改變單一的機械訓練，留給孩子再創造的操作平臺；要摒棄繁多的課外作業，留給孩子再創造的探究空間……讓我們的孩子放慢腳步，在親歷再創造的過程中展現自我、發展自我、成就自我！endprint

例如，五年級教學了《圓的周長》后，我在復習課上設計了這樣一道拓展題：如下圖，一個底面直徑為1.5米的油桶，在距離為20.34米的兩墻之間滾動，油桶從一側墻滾到另一側墻要滾多少圈？

全班42名學生均列式為：20.34÷（3.14×1.5）≈4.3（圈）。課后，我反思：要求油桶從一側墻滾到另一側墻要滾多少圈，從數量關系上應用油桶滾過的路程除以油桶的底面周長，這學生都理解。學生難以理解的是油桶實際滾過的路程，都認為是兩墻間的距離。基于以上思考，我精心做了準備，第二天上課時首先向學生出示了四年級數學活動課上曾研究過的“火車過橋”的問題。在學生充分回答的基礎上，我用課件演示了過橋的過程，幫助學生進一步理解：火車過橋所行的路程是橋長加火車自身的長度。接著，我再出示昨天的拓展題，讓學生小組合作探究：油桶實際滾過的路程是多少？在“火車過橋”的啟示下，各小組陸續“再創造”出結論：油桶滾過的路程與火車過橋恰好相反，油桶滾過的路程比兩墻間的距離少一條直徑的長度1.5米。因為油桶要是滾過20.34米，就會滾到墻里面去，這是不可能實現的。所以列式為：（20.34-1.5）÷（3.14×1.5）=4（圈）。最后，我用課件動態演示了油桶滾過的實際路線，學生徹底明白了。

這里，借助“火車過橋”的模型，喚醒了學生的潛能，學生們展開合情推理，經過觀察、聯想、比較、類比、歸納，從而完成對所學內容的再創造，順利攻克了“油桶實際滾過的路程”這一難點。

四、經歷數學化過程，感悟再創造價值

弗賴登塔爾指出：與其讓學生學習數學，還不如讓學生經歷數學化。所謂“數學化”就是人們運用數學的方法觀察世界，分析研究各種具體現象，并加以組織、整理、應用的過程。在數學學習中，引導學生在“數學化”過程中感悟再創造的價值，領略數學的思想方法是其精髓之所在。讓學生在解決問題時體驗、概括數學的思想方法，實質上就是讓學生用自己的方式“再創造”相關的思想方法。

比如，在教學《除數是整數的小數除法》時，在復習環節，教者設計了65÷5和12÷5讓學生筆算，展示后，教者提問：像“12÷5=2……2”這樣的題，想想能不能繼續往下除？學生試做，實物投影展示做得較好的學生的豎式。教者講解：生活中也有許多這樣的情況，如測量一個物體時，用米尺量，多了一些，想到分米，仍多一點，又想到了厘米。所以當除下來商是整數，還有余數時，我們就可以用到小數。板書課題：小數除法。新課環節，出示媽媽購買水果的主題圖，提問：從圖中知道了哪些信息？你能求出什么？板書算式：5.2÷4，12.4÷5，5.7÷6。提問：你們用除法計算的依據是什么？生：總價÷數量=單價。學生估算每道算式的結果，教師依次板書：1.（ ），2.（ ），0.（ ）。接下來，探究算法。學生試做5.2÷4后，提問：同學們發現整數除法與小數除法相比怎樣？生：差不多，有一樣的地方，計算方法相同；也有不一樣的地方，小數除法的商有小數點。師：你們商中的小數點都點對了，是怎么點的？生：5除以4，商1余1，余數1和2個0.1合起來就是12個0.1，12個0.1除以4，每份是3個0.1，是0.3，所以商是1與0.3的和1.3，所以商1的后面要點上小數點。接著，教師依次用長方形圖、圓形圖、人民幣、千米四種不同的原型演示幫助學生理解意義。經歷了這一過程，后面的“12.4÷5、5.7÷6”學生們就能順利解決。

“除數是整數的小數除法”，其算法具有一定的抽象性，與學生慣用的形象思維有一定的反差，教者巧妙溝通其與整數除法的內在聯系，喚起已有的生活經驗，讓學生經歷生活問題數學化的過程，促使學生再創造出小數除法的計算法則，并在高密度的思維中提高問題解決能力，發展學生的數學思維能力，感受再創造的魅力。

總之，在數學學習中，學生的創造性思維無處不在，關鍵在于我們教師的誘導與激發。我們每位數學教師要刪減過滿的課堂容量，留給學生充足的“再創造”時間；要改變單一的機械訓練，留給孩子再創造的操作平臺；要摒棄繁多的課外作業，留給孩子再創造的探究空間……讓我們的孩子放慢腳步，在親歷再創造的過程中展現自我、發展自我、成就自我！endprint

例如，五年級教學了《圓的周長》后，我在復習課上設計了這樣一道拓展題：如下圖，一個底面直徑為1.5米的油桶，在距離為20.34米的兩墻之間滾動，油桶從一側墻滾到另一側墻要滾多少圈？

全班42名學生均列式為：20.34÷（3.14×1.5）≈4.3（圈）。課后，我反思：要求油桶從一側墻滾到另一側墻要滾多少圈，從數量關系上應用油桶滾過的路程除以油桶的底面周長，這學生都理解。學生難以理解的是油桶實際滾過的路程，都認為是兩墻間的距離。基于以上思考，我精心做了準備，第二天上課時首先向學生出示了四年級數學活動課上曾研究過的“火車過橋”的問題。在學生充分回答的基礎上，我用課件演示了過橋的過程，幫助學生進一步理解：火車過橋所行的路程是橋長加火車自身的長度。接著，我再出示昨天的拓展題，讓學生小組合作探究：油桶實際滾過的路程是多少？在“火車過橋”的啟示下，各小組陸續“再創造”出結論：油桶滾過的路程與火車過橋恰好相反，油桶滾過的路程比兩墻間的距離少一條直徑的長度1.5米。因為油桶要是滾過20.34米，就會滾到墻里面去，這是不可能實現的。所以列式為：（20.34-1.5）÷（3.14×1.5）=4（圈）。最后，我用課件動態演示了油桶滾過的實際路線，學生徹底明白了。

這里，借助“火車過橋”的模型，喚醒了學生的潛能，學生們展開合情推理，經過觀察、聯想、比較、類比、歸納，從而完成對所學內容的再創造，順利攻克了“油桶實際滾過的路程”這一難點。

四、經歷數學化過程，感悟再創造價值

弗賴登塔爾指出：與其讓學生學習數學，還不如讓學生經歷數學化。所謂“數學化”就是人們運用數學的方法觀察世界，分析研究各種具體現象，并加以組織、整理、應用的過程。在數學學習中，引導學生在“數學化”過程中感悟再創造的價值，領略數學的思想方法是其精髓之所在。讓學生在解決問題時體驗、概括數學的思想方法，實質上就是讓學生用自己的方式“再創造”相關的思想方法。

比如，在教學《除數是整數的小數除法》時，在復習環節，教者設計了65÷5和12÷5讓學生筆算，展示后，教者提問：像“12÷5=2……2”這樣的題，想想能不能繼續往下除？學生試做，實物投影展示做得較好的學生的豎式。教者講解：生活中也有許多這樣的情況，如測量一個物體時，用米尺量，多了一些，想到分米，仍多一點，又想到了厘米。所以當除下來商是整數，還有余數時，我們就可以用到小數。板書課題：小數除法。新課環節，出示媽媽購買水果的主題圖，提問：從圖中知道了哪些信息？你能求出什么？板書算式：5.2÷4，12.4÷5，5.7÷6。提問：你們用除法計算的依據是什么？生：總價÷數量=單價。學生估算每道算式的結果，教師依次板書：1.（ ），2.（ ），0.（ ）。接下來，探究算法。學生試做5.2÷4后，提問：同學們發現整數除法與小數除法相比怎樣？生：差不多，有一樣的地方，計算方法相同；也有不一樣的地方，小數除法的商有小數點。師：你們商中的小數點都點對了，是怎么點的？生：5除以4，商1余1，余數1和2個0.1合起來就是12個0.1，12個0.1除以4，每份是3個0.1，是0.3，所以商是1與0.3的和1.3，所以商1的后面要點上小數點。接著，教師依次用長方形圖、圓形圖、人民幣、千米四種不同的原型演示幫助學生理解意義。經歷了這一過程，后面的“12.4÷5、5.7÷6”學生們就能順利解決。

“除數是整數的小數除法”，其算法具有一定的抽象性，與學生慣用的形象思維有一定的反差，教者巧妙溝通其與整數除法的內在聯系，喚起已有的生活經驗，讓學生經歷生活問題數學化的過程，促使學生再創造出小數除法的計算法則，并在高密度的思維中提高問題解決能力，發展學生的數學思維能力，感受再創造的魅力。

總之，在數學學習中，學生的創造性思維無處不在，關鍵在于我們教師的誘導與激發。我們每位數學教師要刪減過滿的課堂容量，留給學生充足的“再創造”時間；要改變單一的機械訓練，留給孩子再創造的操作平臺；要摒棄繁多的課外作業，留給孩子再創造的探究空間……讓我們的孩子放慢腳步，在親歷再創造的過程中展現自我、發展自我、成就自我！endprint