合理設計，有效組織，讓學生在活動中自主探究

羅銳

數學教學是數學活動的教學，因此教師在課堂上要讓學生經歷數學知識的形成過程，讓學生通過參與一定的數學活動，聯系與運用自己已有的知識、經驗和熟悉的生活情景，通過操作、觀察、猜測、比較、嘗試、計算、畫圖、推理、抽象、交流等活動，把課堂中的數學現象和事實不斷地進行數學化，從而掌握一定的數學知識，形成一定的數學能力，獲得一定的數學思想方法，積累一定的數學活動經驗，進而提升數學思維。小學數學教材中的綜合實踐活動就是為了鞏固數學知識、豐富數學學習、積累數學活動經驗而安排的，本文擬以數學實踐活動《釘子板上的多邊形》為例，談談數學活動的設計與組織。

一、讓學生在有趣而扎實的感知活動中明確學習目標

小學數學課堂活動應圍繞明確的教學任務和目標展開。一節課要解決什么問題，達成什么目標，應該讓學生在課堂學習的開始階段就有明確的感知，有了學習目標學生才能有的放失地投入到學習活動中，學習效果才能更有效。教學中可以通過創設一定的教學情境，提出一些數學問題和一系列學習任務，讓學生在情境中發現問題、在分析問題的過程中明確目標任務，引起學生探究的興趣和積極性。

1.提供對比素材，讓學生在觀察活動中感悟學習

內容

教師出示下面一組釘子板上圍成的多邊形，引導學生觀察思考：你覺得釘子板上圍成的多邊形的面積可能與什么有關系？

根據老師提供的學習素材，學生可能會有三種體會：①面積與圖形的底和高有關系；②面積與空格有關系；③面積與點有關系。在組織學生觀察思考的過程中，當學生說出第1種情況后教師要引導學生明白，釘子板上圍成的圖形底和高的長短是由點之間的距離確定的，我們研究的這些釘子板上的點之間的距離都是1厘米，然后讓學生數出底和高，并用計算公式算出這兩個圖形的面積。當學生說出第2種情況時，讓學生觀察釘子板上每格面積是多少？體會釘子板上的圖形面積還可以看它占幾格，占幾格就是幾平方厘米。當學生說出第3種情況時，引導學生觀察釘子板上圍成的多邊形，看看每個多邊形把釘子板上的釘子分成幾部分，體會多邊形內的釘子、多邊形外的釘子和邊上的釘子，再讓學生數一數①②這兩個多邊形內有幾個點，邊上有幾個點。

2.動態呈現素材，引導學生在對比活動中發現學習任務

繼續觀察①②兩個多邊形，引導學生猜想，這些多邊形的面積可能與哪些釘子數有關？讓學生算出它們的面積，體驗并發現，邊上的釘子數多面積就大，然后增加一個圖形，讓學生對比第③個多邊形與第②個多邊形有什么相同和不同，再算出第③個多邊形的面積，體會并發現當邊上的釘子數一樣多時，多邊形內的釘子數多面積就大。

分步、動態地呈現教學內容和學習素材，引導學生抓住關鍵觀察，把握重點分析，可打開學生思路，能引發學生的思維，有助于學生思考和解決數學問題。

3.創設認知沖突，讓學生在問題解決活動中明確學習目標

（1）基本計算，收集需要的數據。出示釘子板上圍成的中間只有一個點的多邊形。

引導學生先觀察，發現它們的共同點。讓學生找出圍成的多邊形內都有一個釘子，接著思考：它們邊上的釘子數一樣多嗎？然后讓學生自由計算出每個多邊形的面積，再匯報整理計算結果（老師把每個多邊形的面積記錄在圖形下面），在這個學習活動中還相機復習了基本圖形的面積計算方法，重點指導交流第⑥個多邊形面積計算的方法，幫助學生梳理出：釘子板上多邊形的面積可用“面積計算公式”“數方格”和“轉化成規則圖形”等方法來獲得。

（2）設置沖突，發現研究的關鍵。在上圖中再出示第⑦個多邊形，讓學生說說它的面積，當學生用上面的基本方法無法快速解決時，教師引導學生思考：剛才大家就猜想過釘子板上的多邊形的面積可能與多邊形邊上的釘子數有關系。那么，它們之間有什么樣的規律呢？我們來深入研究這方面的知識——揭示課題，明確學習目標。

認知沖突是指認知主體已有認知結構與新知識或新情境之間不能包容。孔子曾說“不憤不啟，不悱不發”，老師就應該在學生知與不知之間為學生的進一步學習活動啟發點撥、解疑釋難、鋪路架橋。課堂上用學生已有的知識基礎、活動經驗和生活實際選擇和呈現教學內容，創設學生已識與未知之間的沖突，引起學生對新知識的注意，激發學生對新學內容的興趣，使學生產生自主探究的動機，從而促使學生積極主動地投入到新知學習活動的全過程。

二、讓學生在有效而豐富的探究活動中構建學習內容

1.扶——老師指導下的自主探究活動，引導學生發現多邊形內有一個釘子的多邊形的面積與邊上釘子數的關系

（1）填表、分析數據，發現規律。讓學生把上圖中前4個多邊形的面積和邊上的釘子數填寫在規律探究表1內。

規律探究1

我的發現是：多邊形的面積是（ ）釘子數的（ ）。

然后教師引導學生觀察，找出兩組數據之間的關系，小組同學合作探究，在小組內說說自己的發現，找出規律“多邊形的面積是邊上釘子數的一半”，師生合作，寫出公式：S=n÷2。

（2）自由構圖，驗證規律。你們發現的這個規律對不對呢？我們可以驗證一下，請你在釘子板上圍一個這樣的多邊形，算一算，數一數，驗證這個規律“S=n÷2”是不是正確的。

（3）運用規律，解決疑問。請你用這個規律算出第⑦個多邊形的面積。

“從問題中來，到問題中去”，探索起源于疑問，結論服務于問題的解決，這個學習活動符合科學探究的規律，符合知識形成的規律，也符合學生的認知規律，能讓學生體會探索成功的樂趣，強化學生的學習信心，激發進一步探究的動力。

2.放——同伴合作的自主探究活動，學生獨立研究多邊形內有兩個釘子的面積與邊上釘子數的關系

（1）創設矛盾，再次產生疑問。先出示？輥？輯？訛？輥？輰？訛兩個多邊形。

請你用剛才發現的規律，說出？輥？輯？訛？輥？輰？訛兩個多邊形的面積，再用以前學過的面積計算公式算出它們的面積，讓學生發現剛才的規律不能用于這兩個多邊形，引導學生辨析：為什么規律在這里又不適用了呢？用課件動態出示⑧—⑩讓學生觀察對比兩組圖，得出：S=n÷2是圖內有1個釘子的規律，結合板書形成完整的規律“當a=1時，S=n÷2”。endprint

（2）同伴合作，共同研究。老師提出能激發學生思考的問題：“大家通過剛才的研究發現，當a=1時，釘子板上的多邊形面積正好是邊上釘子數的一半；那么當a=2時，多邊形的面積又是什么呢？”請每小組4名同學合作研究，其中3人在釘子板上圍一個多邊形內有2個釘子的圖形，算出面積，數數邊上釘子數，組長觀察每一人的操作過程，幫助他們核查，然后把得到的數據報給組長填寫在規律探究表2內，共同研究，發現規律。

規律探究表2

我的發現是：多邊形的面積是（ ）釘子數的（ ）。

（3）展示交流，師生共同研討。讓小組代表展示他們圍成的圖形和表中數據，交流他們發現的規律，師生共同總結得出：

當a=2時，S=n÷2+1。

（4）驗證規律。你發現的這個規律可以求釘子板上哪一類多邊形的面積，請你快速算出？輥？輯？訛？輥？輰？訛兩個多邊形的面積。

這個教學活動，教師應充分相信學生的學習潛能，完全放手讓學生自己構圖，用自己創造的素材進行相關的研究，把學生置于學習的主體地位，增強他們自主探索的信心，也增強新知獲得的認同感，并提高小組合作的效率。小組合作如何有效，不是小組四名同伴重復做一樣的事，而是讓每一位成員分工協作，搜集不同的素材，提供有用的數據，然后匯總進行合作研究，這也符合科學研究的方法。

3.引——大膽猜想的自主探索活動，師生共同完善知識的整體建構

（1）老師結合下面兩個已知結論，指導學生思考：

當a=1時，S=n÷2，當a=2時，S=n÷2+1。

那么，請你大膽猜一猜，當a=3時，S= ；當a=4時，S= 。請男生猜想a=3的規律，女生猜想a=4的規律，然后把你們的猜想寫在規律探究表3上，再想辦法驗證自己的猜想。

規律探究表3

我圍成的多邊形內有（ ）個釘子，邊上有（ ）個釘子。用猜想的規律算出的面積是S=（ ）÷2+（ ），用面積計算公式算：S= 。兩次算的面積 （相等，不等），規律是 （正確，錯誤）。

（2）展示交流，形成共同的認識。讓男、女生代表分別展示自己圍成的多邊形、面積等相關數據，分別得出：

當a=3時，S=n÷2+2；當a=4時，S=n÷2+3。

引導學生觀察已經發現的4道公式，接著追問：a=5呢？a=8呢？a=100呢？

最后思考：當a不確定時，多邊形的面積S等于什么？得出：S=n÷2+a-1。接著教師引導學生思考：“這些規律這樣寫顯然有些復雜，請你從中選一個簡單地表示這個規律，并說說它的意思。”

（3）用公式解釋前面的發現，促進對知識的深入理解和整體把握。為什么當a=1時，S=n÷2，其實就是當a=1時，S=n÷2+1-1=n÷2；接著讓學生推導當a=0時，S=n÷2=0-1=n÷2-1。

這一教學過程，學生在老師的引導下，通過猜想、討論、整理探究成果、回顧學習過程，對獲得的知識進行總結與梳理。學生在猜想中模仿，在模仿中應用，在應用中認知，不斷推進和深化學習過程。

三、讓學生在有效而實用的實踐中提升數學素養

知識要在應用中才能得到鞏固與深化，技能要在應用中才能形成與熟練，思想方法要在應用中才能得到理解和升華，活動經驗要在應用中才能得到積累與豐富，思維水平要在應用中才能得到激發與提升。數學課堂教學既要重視學生數學知識的獲得過程，也要重視數學練習的訓練過程，讓學生在練習中提高數學能力。

（1）應用公式解決問題，出示不規則圖形，算出它的面積。

本組練習只能用本節課學習的規律解決問題，既鞏固新知，也讓學生體會到新知的作用，體驗探索成功的價值，品味學習的樂趣。

（2）在點子圖中畫兩個形狀不同、面積相等的不規則圖形，讓學生在實踐中進一步積累實踐經驗、培養創造意識。

（3）介紹皮克定理，讓學生體會自己在課堂上的研究與發現和數學家的偉大發現是如此相似，激發學生數學學習的積極性和主動性。

（4）介紹數學科普讀物《格點和面積》，引導學生課后深入學習。

學生的數學素養不僅包括數學知識、數學技能、數學思想方法、數學活動經驗，還應該包括數學史與文化等背景知識，課堂上我們不但要讓學生獲得知識，形成能力，還應該結合教學內容有機地進行數學文化素養的滲透，從而豐富學生的數學素養，提升學生的數學思維水平。

這節課在設計與組織活動過程中始終不忘“我是誰”“依靠誰”和“為了誰”的理念，努力提升課堂效率。

課堂教學中“我是誰”應從兩個層面落實：一是教師層面，教師是課堂教學的組織者、引導者、合作者。在課堂上，教師要創造性地用好教材，整合優化教學資源；在學生認知的關鍵點，為學生提供豐富多彩而有價值的學習材料；在學生認知的疑惑處，為學生指引點撥；在學生成功時，給學生鼓勵與表揚，給學生學習不斷地輸送“助推劑”。二是學生層面，學生才是學習的主人，教師要引導學生全程參與學習，在操作、思考、觀察、實驗、交流等活動中獲得知識。

課堂教學“依靠誰”？課堂教學的主人既然是學生，學習過程中各種活動的設計就要考慮學生的情，教學活動的組織與實施要依靠學生。本課教學中，疑問讓學生自己產生和提出，問題讓學生自己分析解決，學習素材讓學生自己收集，數據讓學生自己整理，規律讓學生自己發現、驗證和理解，小組活動讓學生自己參與、自己分工、自己完成，充分體現學生學習的主體地位。

課堂教學“為了誰”？課堂教學是為了學生的發展。課堂上的活動應始終圍繞學生開展，提供機會讓學生在操作中獲得研究素材，在觀察對比中抽象概括，在展示交流中表達自己的發現，說明自己的觀點，解釋自己的認知，在討論中驗證自己的猜想，質疑別人的想法，在師生合作中不斷糾正自己的認識偏差，實現自覺發展。endprint

（2）同伴合作，共同研究。老師提出能激發學生思考的問題：“大家通過剛才的研究發現，當a=1時，釘子板上的多邊形面積正好是邊上釘子數的一半；那么當a=2時，多邊形的面積又是什么呢？”請每小組4名同學合作研究，其中3人在釘子板上圍一個多邊形內有2個釘子的圖形，算出面積，數數邊上釘子數，組長觀察每一人的操作過程，幫助他們核查，然后把得到的數據報給組長填寫在規律探究表2內，共同研究，發現規律。

規律探究表2

我的發現是：多邊形的面積是（ ）釘子數的（ ）。

（3）展示交流，師生共同研討。讓小組代表展示他們圍成的圖形和表中數據，交流他們發現的規律，師生共同總結得出：

當a=2時，S=n÷2+1。

（4）驗證規律。你發現的這個規律可以求釘子板上哪一類多邊形的面積，請你快速算出？輥？輯？訛？輥？輰？訛兩個多邊形的面積。

這個教學活動，教師應充分相信學生的學習潛能，完全放手讓學生自己構圖，用自己創造的素材進行相關的研究，把學生置于學習的主體地位，增強他們自主探索的信心，也增強新知獲得的認同感，并提高小組合作的效率。小組合作如何有效，不是小組四名同伴重復做一樣的事，而是讓每一位成員分工協作，搜集不同的素材，提供有用的數據，然后匯總進行合作研究，這也符合科學研究的方法。

3.引——大膽猜想的自主探索活動，師生共同完善知識的整體建構

（1）老師結合下面兩個已知結論，指導學生思考：

當a=1時，S=n÷2，當a=2時，S=n÷2+1。

那么，請你大膽猜一猜，當a=3時，S= ；當a=4時，S= 。請男生猜想a=3的規律，女生猜想a=4的規律，然后把你們的猜想寫在規律探究表3上，再想辦法驗證自己的猜想。

規律探究表3

我圍成的多邊形內有（ ）個釘子，邊上有（ ）個釘子。用猜想的規律算出的面積是S=（ ）÷2+（ ），用面積計算公式算：S= 。兩次算的面積 （相等，不等），規律是 （正確，錯誤）。

（2）展示交流，形成共同的認識。讓男、女生代表分別展示自己圍成的多邊形、面積等相關數據，分別得出：

當a=3時，S=n÷2+2；當a=4時，S=n÷2+3。

引導學生觀察已經發現的4道公式，接著追問：a=5呢？a=8呢？a=100呢？

最后思考：當a不確定時，多邊形的面積S等于什么？得出：S=n÷2+a-1。接著教師引導學生思考：“這些規律這樣寫顯然有些復雜，請你從中選一個簡單地表示這個規律，并說說它的意思。”

（3）用公式解釋前面的發現，促進對知識的深入理解和整體把握。為什么當a=1時，S=n÷2，其實就是當a=1時，S=n÷2+1-1=n÷2；接著讓學生推導當a=0時，S=n÷2=0-1=n÷2-1。

這一教學過程，學生在老師的引導下，通過猜想、討論、整理探究成果、回顧學習過程，對獲得的知識進行總結與梳理。學生在猜想中模仿，在模仿中應用，在應用中認知，不斷推進和深化學習過程。

三、讓學生在有效而實用的實踐中提升數學素養

知識要在應用中才能得到鞏固與深化，技能要在應用中才能形成與熟練，思想方法要在應用中才能得到理解和升華，活動經驗要在應用中才能得到積累與豐富，思維水平要在應用中才能得到激發與提升。數學課堂教學既要重視學生數學知識的獲得過程，也要重視數學練習的訓練過程，讓學生在練習中提高數學能力。

（1）應用公式解決問題，出示不規則圖形，算出它的面積。

本組練習只能用本節課學習的規律解決問題，既鞏固新知，也讓學生體會到新知的作用，體驗探索成功的價值，品味學習的樂趣。

（2）在點子圖中畫兩個形狀不同、面積相等的不規則圖形，讓學生在實踐中進一步積累實踐經驗、培養創造意識。

（3）介紹皮克定理，讓學生體會自己在課堂上的研究與發現和數學家的偉大發現是如此相似，激發學生數學學習的積極性和主動性。

（4）介紹數學科普讀物《格點和面積》，引導學生課后深入學習。

學生的數學素養不僅包括數學知識、數學技能、數學思想方法、數學活動經驗，還應該包括數學史與文化等背景知識，課堂上我們不但要讓學生獲得知識，形成能力，還應該結合教學內容有機地進行數學文化素養的滲透，從而豐富學生的數學素養，提升學生的數學思維水平。

這節課在設計與組織活動過程中始終不忘“我是誰”“依靠誰”和“為了誰”的理念，努力提升課堂效率。

課堂教學中“我是誰”應從兩個層面落實：一是教師層面，教師是課堂教學的組織者、引導者、合作者。在課堂上，教師要創造性地用好教材，整合優化教學資源；在學生認知的關鍵點，為學生提供豐富多彩而有價值的學習材料；在學生認知的疑惑處，為學生指引點撥；在學生成功時，給學生鼓勵與表揚，給學生學習不斷地輸送“助推劑”。二是學生層面，學生才是學習的主人，教師要引導學生全程參與學習，在操作、思考、觀察、實驗、交流等活動中獲得知識。

課堂教學“依靠誰”？課堂教學的主人既然是學生，學習過程中各種活動的設計就要考慮學生的情，教學活動的組織與實施要依靠學生。本課教學中，疑問讓學生自己產生和提出，問題讓學生自己分析解決，學習素材讓學生自己收集，數據讓學生自己整理，規律讓學生自己發現、驗證和理解，小組活動讓學生自己參與、自己分工、自己完成，充分體現學生學習的主體地位。

課堂教學“為了誰”？課堂教學是為了學生的發展。課堂上的活動應始終圍繞學生開展，提供機會讓學生在操作中獲得研究素材，在觀察對比中抽象概括，在展示交流中表達自己的發現，說明自己的觀點，解釋自己的認知，在討論中驗證自己的猜想，質疑別人的想法，在師生合作中不斷糾正自己的認識偏差，實現自覺發展。endprint

（2）同伴合作，共同研究。老師提出能激發學生思考的問題：“大家通過剛才的研究發現，當a=1時，釘子板上的多邊形面積正好是邊上釘子數的一半；那么當a=2時，多邊形的面積又是什么呢？”請每小組4名同學合作研究，其中3人在釘子板上圍一個多邊形內有2個釘子的圖形，算出面積，數數邊上釘子數，組長觀察每一人的操作過程，幫助他們核查，然后把得到的數據報給組長填寫在規律探究表2內，共同研究，發現規律。

規律探究表2

我的發現是：多邊形的面積是（ ）釘子數的（ ）。

（3）展示交流，師生共同研討。讓小組代表展示他們圍成的圖形和表中數據，交流他們發現的規律，師生共同總結得出：

當a=2時，S=n÷2+1。

（4）驗證規律。你發現的這個規律可以求釘子板上哪一類多邊形的面積，請你快速算出？輥？輯？訛？輥？輰？訛兩個多邊形的面積。

這個教學活動，教師應充分相信學生的學習潛能，完全放手讓學生自己構圖，用自己創造的素材進行相關的研究，把學生置于學習的主體地位，增強他們自主探索的信心，也增強新知獲得的認同感，并提高小組合作的效率。小組合作如何有效，不是小組四名同伴重復做一樣的事，而是讓每一位成員分工協作，搜集不同的素材，提供有用的數據，然后匯總進行合作研究，這也符合科學研究的方法。

3.引——大膽猜想的自主探索活動，師生共同完善知識的整體建構

（1）老師結合下面兩個已知結論，指導學生思考：

當a=1時，S=n÷2，當a=2時，S=n÷2+1。

那么，請你大膽猜一猜，當a=3時，S= ；當a=4時，S= 。請男生猜想a=3的規律，女生猜想a=4的規律，然后把你們的猜想寫在規律探究表3上，再想辦法驗證自己的猜想。

規律探究表3

我圍成的多邊形內有（ ）個釘子，邊上有（ ）個釘子。用猜想的規律算出的面積是S=（ ）÷2+（ ），用面積計算公式算：S= 。兩次算的面積 （相等，不等），規律是 （正確，錯誤）。

（2）展示交流，形成共同的認識。讓男、女生代表分別展示自己圍成的多邊形、面積等相關數據，分別得出：

當a=3時，S=n÷2+2；當a=4時，S=n÷2+3。

引導學生觀察已經發現的4道公式，接著追問：a=5呢？a=8呢？a=100呢？

最后思考：當a不確定時，多邊形的面積S等于什么？得出：S=n÷2+a-1。接著教師引導學生思考：“這些規律這樣寫顯然有些復雜，請你從中選一個簡單地表示這個規律，并說說它的意思。”

（3）用公式解釋前面的發現，促進對知識的深入理解和整體把握。為什么當a=1時，S=n÷2，其實就是當a=1時，S=n÷2+1-1=n÷2；接著讓學生推導當a=0時，S=n÷2=0-1=n÷2-1。

這一教學過程，學生在老師的引導下，通過猜想、討論、整理探究成果、回顧學習過程，對獲得的知識進行總結與梳理。學生在猜想中模仿，在模仿中應用，在應用中認知，不斷推進和深化學習過程。

三、讓學生在有效而實用的實踐中提升數學素養

知識要在應用中才能得到鞏固與深化，技能要在應用中才能形成與熟練，思想方法要在應用中才能得到理解和升華，活動經驗要在應用中才能得到積累與豐富，思維水平要在應用中才能得到激發與提升。數學課堂教學既要重視學生數學知識的獲得過程，也要重視數學練習的訓練過程，讓學生在練習中提高數學能力。

（1）應用公式解決問題，出示不規則圖形，算出它的面積。

本組練習只能用本節課學習的規律解決問題，既鞏固新知，也讓學生體會到新知的作用，體驗探索成功的價值，品味學習的樂趣。

（2）在點子圖中畫兩個形狀不同、面積相等的不規則圖形，讓學生在實踐中進一步積累實踐經驗、培養創造意識。

（3）介紹皮克定理，讓學生體會自己在課堂上的研究與發現和數學家的偉大發現是如此相似，激發學生數學學習的積極性和主動性。

（4）介紹數學科普讀物《格點和面積》，引導學生課后深入學習。

學生的數學素養不僅包括數學知識、數學技能、數學思想方法、數學活動經驗，還應該包括數學史與文化等背景知識，課堂上我們不但要讓學生獲得知識，形成能力，還應該結合教學內容有機地進行數學文化素養的滲透，從而豐富學生的數學素養，提升學生的數學思維水平。

這節課在設計與組織活動過程中始終不忘“我是誰”“依靠誰”和“為了誰”的理念，努力提升課堂效率。

課堂教學中“我是誰”應從兩個層面落實：一是教師層面，教師是課堂教學的組織者、引導者、合作者。在課堂上，教師要創造性地用好教材，整合優化教學資源；在學生認知的關鍵點，為學生提供豐富多彩而有價值的學習材料；在學生認知的疑惑處，為學生指引點撥；在學生成功時，給學生鼓勵與表揚，給學生學習不斷地輸送“助推劑”。二是學生層面，學生才是學習的主人，教師要引導學生全程參與學習，在操作、思考、觀察、實驗、交流等活動中獲得知識。

課堂教學“依靠誰”？課堂教學的主人既然是學生，學習過程中各種活動的設計就要考慮學生的情，教學活動的組織與實施要依靠學生。本課教學中，疑問讓學生自己產生和提出，問題讓學生自己分析解決，學習素材讓學生自己收集，數據讓學生自己整理，規律讓學生自己發現、驗證和理解，小組活動讓學生自己參與、自己分工、自己完成，充分體現學生學習的主體地位。

課堂教學“為了誰”？課堂教學是為了學生的發展。課堂上的活動應始終圍繞學生開展，提供機會讓學生在操作中獲得研究素材，在觀察對比中抽象概括，在展示交流中表達自己的發現，說明自己的觀點，解釋自己的認知，在討論中驗證自己的猜想，質疑別人的想法，在師生合作中不斷糾正自己的認識偏差，實現自覺發展。endprint