略談數學概念教學中學生思維能力的培養

劉耀兵

“概念”是反映事物本質屬性的思維產物，數學教材中反映數和形本質屬性的數字、圖形、符號、定義、法則等都是數學概念。許多老師認為，在進行概念教學時只要簡單“告訴”，讓學生記住，并能運用就可以了。殊不知，這樣會造成學生只會依樣畫葫蘆地用概念而不能靈活理解、掌握概念。筆者認為，教師在教學中要讓學生深刻領悟概念的內涵，注重學生思維能力的培養。

一、數形結合，開闊思維的廣度

所謂思維的廣度，是指某些知識縱向和橫向聯系的范圍。在概念教學中，教師要解放學生的眼睛，鼓勵學生敢于觀察、善于觀察，不能讓學生局限于教材，學一知一，而應當引導學生善于分析、總結、比較，找出學習的規律，做到觸類旁通。另一方面，兒童思維正處于以直觀形象為主向抽象思維為主的過渡階段，他們要有所感才能有所思，然后才有所知。

【案例1】《認識假分數》

（1）每個分數各表示什么意思？

（2）上面的三個分數在這條直線上用點該怎么表示呢？

（3）結合上圖想一想，與剛才所認識的真分數相比，這些分數有什么不同？

我發現：

（4）像這樣的分數，我們把它叫作（ ）。

（5）想一想，這些分數比1大，還是比1小？

（6）你還能任意寫出幾個這樣的分數并在數軸上表示出來嗎？試試看。

學生的概念學習總是基于對學習材料的思考而建構的，而這種數學建構活動離不開學生已有的經驗背景和直觀材料。案例中，教師精細地組織好感知過程，不是簡單地出示幾個分數，比較分子與分母的大小即得出假分數的意義，而是始終讓學生依憑對圖形的觀察，對分子、分母的觀察，對各分數與1的大小觀察和比較，在對假分數的感性經驗十分豐滿后實現知識的自主建構。

二、動手操作，挖掘思維深度

思維的深度是指考慮問題時，要深入到客觀事物的內部，抓住問題的關鍵、核心進行由遠到近、由表及里、層層遞進、步步深入的思考。陶行知認為：要解放學生的雙手，就要鼓勵學生敢干、善干，敢于動手，善于動手，在實踐操作中獲知、明理、頓悟。

【案例2】《長方形、正方形的特征》

（1）師：剛才，我們認識了長方形、正方形的特征，你能在方格紙上畫出一個長方形和一個正方形嗎？

生上臺展示：

師：為什么畫出的長方形、正方形大小不一樣呢？

生1：因為是任意畫的，有的大，有的小。

生2：沒有規定大小，畫出的圖形只要是長方形或是正方形就行了。

師：看來，沒有一定的條件限制，得到的長方形、正方形會不一樣。

師：現在給你一條邊，再試著畫一畫。

（2）根據下面的線段（略），分別畫一個長方形和正方形。（學生在作業紙上畫）

生畫圖，師行間巡視，收集孩子的不同作品。

師：你們畫出的長方形還是有大有小，但正方形卻驚人的一致，這是一種巧合嗎？

生1：不是，因為題目告訴我們一條邊是4厘米，那么正方形的其他三條邊也都是4厘米，所以畫出的正方形是一樣大的。

生2：因為正方形的四條邊都相等，知道一條邊是4厘米，那么這個正方形就是唯一的了。

師：說得好，正方形的四條邊都相等，一條邊的長度就決定了正方形的大小，我們把其中一條邊的長度叫作“邊長”。這個正方形的邊長是多少厘米？

生（齊）：4厘米。

師：同樣給你一條邊，長方形的大小為什么還不一樣？

生1：你只告訴我們一條邊，但左邊還不知道。

生2：長方形是對邊相等，上邊和下邊我們知道了，是4厘米，但還有一組對邊不知道，我就畫了2厘米。

生3：我也是這樣想的，上邊和下邊是4厘米，左邊和右邊我畫了5厘米。

師：看來，只知道一條邊的長度還不能確定長方形的大小，你們認為要知道幾條邊才行？

生：2條。

師：2條，是這樣的兩條嗎？（師指上下兩條或左右兩條）

生：不是的，應該是相鄰的兩條。（生迫不及待地上臺指）

師：我們把這相鄰兩條中較長的一條叫作長方形的長，較短的叫作寬。

師：說一說，你們所畫的長方形長是幾厘米？寬是幾厘米？

（3）師：接下來請同學們畫一個長5厘米、寬2厘米的長方形和邊長為3厘米的正方形。

心理學家皮亞杰指出：“活動是認識的基礎，智慧從動作開始。”陶行知先生的“學、教、做合一”思想也認為：學生的“學”和老師的“教”是統一的，都是以“做”為中心。書本上“長”“寬”“邊長”這些概念是平面的，若老師只是照本宣科，自然無法成為學生數學學習的堅固基石。上述案例中，教者別出心裁地設計了三次畫圖。第一次任意畫，在畫圖中進一步認識和鞏固長方形和正方形的特征，第二次根據一條邊來畫，學生在畫的過程中驚奇地發現，所畫的正方形大小一致，而長方形有大有小，進而引發沖突：為什么會這樣？學生在揣度、思忖中感悟到正方形只要知道一條邊就能確定它的形狀和大小，而長方形卻不行，需要知道兩條相鄰的邊才能確定。此時，邊長、長、寬的揭示水到渠成。最后，再讓孩子畫指定長度的長方形和正方形。這樣的教學過程讓平面的書本知識變得多維、立體，充分調動了孩子的多種感官參與學習，讓感覺和思維同步，在簡單的概念教學中不斷提升孩子思維的深度。

三、爭辯質疑，提升思維高度

思維的高度是在思維廣度和深度的基礎上，根據具體目的，綜合一般性認識，達到兩種境界，一是高度綜合一般性認識，形成凝練的核心知識，二是超越一般認識，形成創新認識。

【案例3】《平移與旋轉》

學生研究了纜車、小火車、旋轉木馬、摩天輪、滑滑梯、風車的運動方式，初步了解了平移與旋轉的特點。（出示下圖）endprint

師：仔細觀察，邊看邊做動作，說說哪些是平移，哪些是旋轉。

生快樂地做著動作，很快得出答案。

生1：撥珠子是平移，方向盤是旋轉，時針、分針的轉動是旋轉。

生2：我同意他的觀點，但我要補充一下，第三幅圖的鐘擺是平移。

生3：我反對，我認為鐘擺也是旋轉。

師：看來，我們對撥珠、方向盤、時針、分針的運動方式沒有疑問，焦點在鐘擺上。現在有兩個觀點，請各派一些代表上臺辯論。

生1：我認為鐘擺是平移，你看，旋轉它要轉起來，可鐘擺沒有轉。

生2：反對，平移要沿著直線離開原來的位置，可鐘擺它繞著一個點，還會回到原來的位置上的。

教室里有人附和，更多的人在緊鎖眉頭思考著……

生1：（指著屏幕上的一段）你看，它不是在左右移動嗎？

生2：平移是直直地行動，可鐘擺動的時候劃出的是一條弧線。

（兩個人爭得面紅耳赤）生3：可像風車、時針等要轉圈圈才是旋轉啊！鐘擺沒有轉圈。

生4：（迫不及待，手中拿著一根橡皮筋，下面掛著一個筆套）老師，我有辦法反駁他的觀點了。如果我們讓鐘擺擺動的幅度大一些，你們看（學生邊說邊演示），它是不是旋轉？（教室里響起了熱烈的掌聲……）

學生獲得了概念的共同本質屬性后，從嚴格意義上來講，還沒有真正習得概念，因為概念習得的理想終點是學習者能利用所學的概念去做事，去解決問題，上述案例中，教師解放了學生的嘴巴，鼓勵學生敢說、善說，敢于提問、善于提問，把探索的主動權完全交給學生，讓學生自主建構“旋轉與平移”的理解，這是一個有趣味的思考過程，這個過程充滿了爭執、矛盾、反思、改變、修正……雖然是幾個同學在爭論，但他們帶動了所有同學深入思考，經歷的這個過程，正折射出學生建立概念的艱難過程，排除背景干擾，不斷完善對知識的最初建構，同時也培養了學生思維的深刻性和批判性。

四、思想方法，指引思維遠度

思維的遠度是針對某一事項引入時間概念，從長遠角度去思考發展性、變異性，從而補充和修正目前的認識或結論。

【案例4】《圖形的密鋪》

出示正三角形、平行四邊形、等腰梯形、正五邊形、圓。

師：這是我們熟悉的幾種平面圖形，猜一猜，它們能密鋪嗎？誰來匯報一下你的猜測？還有不同意見嗎？

師：實踐出真知，讓我們通過操作來進行驗證。

生操作，驗證。

師：從特例中形成猜想，并進行驗證，是一種獲取結論的方法。但有時，從已有的結論中通過適當變換、猜想，同樣可以形成新的猜想，進而形成新的結論。比如：“正三角形能密鋪。”那么，

生1：任意三角形都能密鋪嗎？

生2：任意四邊形都能密鋪嗎？

……

師：現在，同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇一個，用合適的方法試著進行驗證。

生驗證、展示。

師：通過猜想、驗證、新猜想、再驗證，數學就是這樣在不斷猜想、質疑、驗證中一路前行。

數學教育家米山國藏認為，對學生而言，作為知識的數學，通常在出校門后不到一兩年，很快就忘記了。然而，不管他們從事什么工作，那些深深銘刻于頭腦中的數學精神、數學思想、研究方法……隨時隨地發生作用，讓他們受益終生。上述案例中，教師在處理圖形密鋪概念時，看到顯性的知識與技能的背后，暗藏著的豐富的數學思想方法。先猜想、后驗證，這是一切發明之道。正如牛頓所說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。”學生通過猜想、驗證、歸納，得出一些圖形能否密鋪后，在新的數學知識和數學方法的基礎上，運用類比的方法，引出新的猜想再進行驗證。在這個過程中，學生獲得的概念，不再是孤立的、片面的、靜止的，而是聯系的、全面的、發展的活知識、活概念。

鄭毓信教授認為，在數學教學中要強調通過數學幫助學生學會思考，即將數學思維的學習與具體數學知識的學習很好地結合起來，用思維方法的分析帶動具體知識的教學。只有將數學思維能力的培養滲透于具體的概念教學中，才能使學生真正看到數學思維的力量，也才能真正做到將數學概念“講活”“講懂”“講透”。endprint

師：仔細觀察，邊看邊做動作，說說哪些是平移，哪些是旋轉。

生快樂地做著動作，很快得出答案。

生1：撥珠子是平移，方向盤是旋轉，時針、分針的轉動是旋轉。

生2：我同意他的觀點，但我要補充一下，第三幅圖的鐘擺是平移。

生3：我反對，我認為鐘擺也是旋轉。

師：看來，我們對撥珠、方向盤、時針、分針的運動方式沒有疑問，焦點在鐘擺上。現在有兩個觀點，請各派一些代表上臺辯論。

生1：我認為鐘擺是平移，你看，旋轉它要轉起來，可鐘擺沒有轉。

生2：反對，平移要沿著直線離開原來的位置，可鐘擺它繞著一個點，還會回到原來的位置上的。

教室里有人附和，更多的人在緊鎖眉頭思考著……

生1：（指著屏幕上的一段）你看，它不是在左右移動嗎？

生2：平移是直直地行動，可鐘擺動的時候劃出的是一條弧線。

（兩個人爭得面紅耳赤）生3：可像風車、時針等要轉圈圈才是旋轉啊！鐘擺沒有轉圈。

生4：（迫不及待，手中拿著一根橡皮筋，下面掛著一個筆套）老師，我有辦法反駁他的觀點了。如果我們讓鐘擺擺動的幅度大一些，你們看（學生邊說邊演示），它是不是旋轉？（教室里響起了熱烈的掌聲……）

學生獲得了概念的共同本質屬性后，從嚴格意義上來講，還沒有真正習得概念，因為概念習得的理想終點是學習者能利用所學的概念去做事，去解決問題，上述案例中，教師解放了學生的嘴巴，鼓勵學生敢說、善說，敢于提問、善于提問，把探索的主動權完全交給學生，讓學生自主建構“旋轉與平移”的理解，這是一個有趣味的思考過程，這個過程充滿了爭執、矛盾、反思、改變、修正……雖然是幾個同學在爭論，但他們帶動了所有同學深入思考，經歷的這個過程，正折射出學生建立概念的艱難過程，排除背景干擾，不斷完善對知識的最初建構，同時也培養了學生思維的深刻性和批判性。

四、思想方法，指引思維遠度

思維的遠度是針對某一事項引入時間概念，從長遠角度去思考發展性、變異性，從而補充和修正目前的認識或結論。

【案例4】《圖形的密鋪》

出示正三角形、平行四邊形、等腰梯形、正五邊形、圓。

師：這是我們熟悉的幾種平面圖形，猜一猜，它們能密鋪嗎？誰來匯報一下你的猜測？還有不同意見嗎？

師：實踐出真知，讓我們通過操作來進行驗證。

生操作，驗證。

師：從特例中形成猜想，并進行驗證，是一種獲取結論的方法。但有時，從已有的結論中通過適當變換、猜想，同樣可以形成新的猜想，進而形成新的結論。比如：“正三角形能密鋪。”那么，

生1：任意三角形都能密鋪嗎？

生2：任意四邊形都能密鋪嗎？

……

師：現在，同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇一個，用合適的方法試著進行驗證。

生驗證、展示。

師：通過猜想、驗證、新猜想、再驗證，數學就是這樣在不斷猜想、質疑、驗證中一路前行。

數學教育家米山國藏認為，對學生而言，作為知識的數學，通常在出校門后不到一兩年，很快就忘記了。然而，不管他們從事什么工作，那些深深銘刻于頭腦中的數學精神、數學思想、研究方法……隨時隨地發生作用，讓他們受益終生。上述案例中，教師在處理圖形密鋪概念時，看到顯性的知識與技能的背后，暗藏著的豐富的數學思想方法。先猜想、后驗證，這是一切發明之道。正如牛頓所說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。”學生通過猜想、驗證、歸納，得出一些圖形能否密鋪后，在新的數學知識和數學方法的基礎上，運用類比的方法，引出新的猜想再進行驗證。在這個過程中，學生獲得的概念，不再是孤立的、片面的、靜止的，而是聯系的、全面的、發展的活知識、活概念。

鄭毓信教授認為，在數學教學中要強調通過數學幫助學生學會思考，即將數學思維的學習與具體數學知識的學習很好地結合起來，用思維方法的分析帶動具體知識的教學。只有將數學思維能力的培養滲透于具體的概念教學中，才能使學生真正看到數學思維的力量，也才能真正做到將數學概念“講活”“講懂”“講透”。endprint

師：仔細觀察，邊看邊做動作，說說哪些是平移，哪些是旋轉。

生快樂地做著動作，很快得出答案。

生1：撥珠子是平移，方向盤是旋轉，時針、分針的轉動是旋轉。

生2：我同意他的觀點，但我要補充一下，第三幅圖的鐘擺是平移。

生3：我反對，我認為鐘擺也是旋轉。

師：看來，我們對撥珠、方向盤、時針、分針的運動方式沒有疑問，焦點在鐘擺上。現在有兩個觀點，請各派一些代表上臺辯論。

生1：我認為鐘擺是平移，你看，旋轉它要轉起來，可鐘擺沒有轉。

生2：反對，平移要沿著直線離開原來的位置，可鐘擺它繞著一個點，還會回到原來的位置上的。

教室里有人附和，更多的人在緊鎖眉頭思考著……

生1：（指著屏幕上的一段）你看，它不是在左右移動嗎？

生2：平移是直直地行動，可鐘擺動的時候劃出的是一條弧線。

（兩個人爭得面紅耳赤）生3：可像風車、時針等要轉圈圈才是旋轉啊！鐘擺沒有轉圈。

生4：（迫不及待，手中拿著一根橡皮筋，下面掛著一個筆套）老師，我有辦法反駁他的觀點了。如果我們讓鐘擺擺動的幅度大一些，你們看（學生邊說邊演示），它是不是旋轉？（教室里響起了熱烈的掌聲……）

學生獲得了概念的共同本質屬性后，從嚴格意義上來講，還沒有真正習得概念，因為概念習得的理想終點是學習者能利用所學的概念去做事，去解決問題，上述案例中，教師解放了學生的嘴巴，鼓勵學生敢說、善說，敢于提問、善于提問，把探索的主動權完全交給學生，讓學生自主建構“旋轉與平移”的理解，這是一個有趣味的思考過程，這個過程充滿了爭執、矛盾、反思、改變、修正……雖然是幾個同學在爭論，但他們帶動了所有同學深入思考，經歷的這個過程，正折射出學生建立概念的艱難過程，排除背景干擾，不斷完善對知識的最初建構，同時也培養了學生思維的深刻性和批判性。

四、思想方法，指引思維遠度

思維的遠度是針對某一事項引入時間概念，從長遠角度去思考發展性、變異性，從而補充和修正目前的認識或結論。

【案例4】《圖形的密鋪》

出示正三角形、平行四邊形、等腰梯形、正五邊形、圓。

師：這是我們熟悉的幾種平面圖形，猜一猜，它們能密鋪嗎？誰來匯報一下你的猜測？還有不同意見嗎？

師：實踐出真知，讓我們通過操作來進行驗證。

生操作，驗證。

師：從特例中形成猜想，并進行驗證，是一種獲取結論的方法。但有時，從已有的結論中通過適當變換、猜想，同樣可以形成新的猜想，進而形成新的結論。比如：“正三角形能密鋪。”那么，

生1：任意三角形都能密鋪嗎？

生2：任意四邊形都能密鋪嗎？

……

師：現在，同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇一個，用合適的方法試著進行驗證。

生驗證、展示。

師：通過猜想、驗證、新猜想、再驗證，數學就是這樣在不斷猜想、質疑、驗證中一路前行。

數學教育家米山國藏認為，對學生而言，作為知識的數學，通常在出校門后不到一兩年，很快就忘記了。然而，不管他們從事什么工作，那些深深銘刻于頭腦中的數學精神、數學思想、研究方法……隨時隨地發生作用，讓他們受益終生。上述案例中，教師在處理圖形密鋪概念時，看到顯性的知識與技能的背后，暗藏著的豐富的數學思想方法。先猜想、后驗證，這是一切發明之道。正如牛頓所說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。”學生通過猜想、驗證、歸納，得出一些圖形能否密鋪后，在新的數學知識和數學方法的基礎上，運用類比的方法，引出新的猜想再進行驗證。在這個過程中，學生獲得的概念，不再是孤立的、片面的、靜止的，而是聯系的、全面的、發展的活知識、活概念。

鄭毓信教授認為，在數學教學中要強調通過數學幫助學生學會思考，即將數學思維的學習與具體數學知識的學習很好地結合起來，用思維方法的分析帶動具體知識的教學。只有將數學思維能力的培養滲透于具體的概念教學中，才能使學生真正看到數學思維的力量，也才能真正做到將數學概念“講活”“講懂”“講透”。endprint