背得不錯，做起題來咋就錯了？

浦陳霞+嚴育洪

“望”：病例觀察

“乘法分配律”是蘇教版教材四年級下冊的內容。課一開始，教師出示如下兩組題目，男女生各做一組，比一比誰算得快。教師意在通過做第一組題的女生獲勝引出新授內容。

第一組 第二組

（4+6）×2 4×2+6×2

（9+11）×15 9×15+11×15

（23+17）×40 23×40+17×40

（45+55）×9 45×9+55×9

結果，意外的是一位男生得了第一名。他在說獲獎感言時說：“我就做了第一組好算的題……”話沒說完，就有同學大喊：“做錯題啦！”他急忙解釋：“我發現兩組題結果是一樣的?！苯處燇@訝地追問他是怎么發現的，他說出了自己的看法：“第一個算式，以前在計算長方形周長時，就已經知道它們是相等的了，于是我就猜想這兩組題結果是一樣的?！?/p>

……

全課總結時，教師例行公事地問：“乘法分配律大家學會了嗎？”學生眾口一詞：“學會了！”見此情景，教師追查：“哦？背得出了？你來背一下?！北稽c名的學生背得很流利，教師表揚道：“你果然學會了，真棒！”課后，教師要求學生熟記乘法分配律，并到小組長那里過關。

……

第二天，在教“利用乘法分配律進行簡便計算”時，又抽查了幾位學生，表現讓教師很滿意。接下來做書上的簡算題，學生應對自如。看來，前面的功夫沒有白費。

課后，教師給學生另外出了一些檢測題，結果學生出現了這樣一些錯誤：（33+4）×25=33+4×25；12×97+3=12×（97+3）；25×（4×8）=25×4+25×8。學生前后判若兩人的表現，讓教師感到很奇怪：“明明背得不錯，做起題來咋就錯了呢？”

“問”：病歷記錄

過后，教師對出錯學生進行了重點訪談。

錯例1：（33+4）×25=33+4×25

師：你是怎么想到這樣算的？

生：25和4是好朋友嘛，可以用乘法分配律簡算呀。

師：乘法分配律，你用對了嗎？

生（等式前后對照了一下）：對啊，數字和符號都不差。

師：你再對照一下乘法分配律的字母式。

生（終于發現了問題）：哦，33忘記乘25了。（頓了一會，一臉疑惑）咦，這樣計算，好像也不是特別簡便喲。

……

錯例2：12×97+3=12×（97+3）

師：乘法分配律你會背嗎？

生：會啊。

師：乘法分配律你會用嗎？

生：會啊。

師：這題能用乘法分配律嗎？

生（感到很奇怪）：哦，不能簡算嗎？哦——我以為也要簡便計算呢，就把97和3湊整了。（頓了一下，弱弱地說）老師，這題不會是您出錯了吧？

……

錯例3：25×（4×8）=25×4+25×8

師：你為什么要用25分別去乘4和8？

生（一臉疑惑）：用乘法分配律?。。戳艘粫海├蠋煟俏义e了，沒注意符號，應該用乘法結合律簡算的。

……

接著，在與執教教師針對“背得出與做不對”這種背離現象的訪談中，聽到了這樣的反思：學生之所以出現這些錯誤，一是由于學生對乘法分配律缺乏生活經驗及知識基礎，沒能夠真正理解其內涵，只是在機械地背誦和純粹地模仿；二是課后學生對乘法分配律的遺忘速度更是非?？?。

“切”：病理診治

經過課上觀察和課后訪談，教師發現學生說得比做得好的癥結在于流于“形式”，一是教學流于形式，二是知識流于形式，集中表現在只重乘法分配律的發現而不重乘法分配律的原理。

盡管課上學生都知道并會背乘法分配律，但對知識本質的掌握，根基不牢也不深。例如，上述錯例1和錯例2，就經不住“考驗”，原形畢露。

上述錯例，固然與數的誘惑有關，但與教師的教也有著一定的關系。從第一課時的比賽，到課尾的練習，教師過多地采用了可以簡便計算的題目，加上在第二課時簡便計算的強化，極易造成運用乘法分配律是為了簡便計算的錯覺，學生的第一反應就是能否簡算，于是4和25、97和3等數的“搗亂”也就能夠生效，無怪乎學生會發出“咦，這樣計算，好像也不是特別簡便”“老師，這題不會是您出錯了吧”等疑惑。鑒于此，第一課時的第一印象很重要，教師應淡化簡算的痕跡，而突出乘法分配律的兩個算式體現著兩種思考問題的方式。在舉例時，也應該少用一些特殊的數，避免過早地把學生的視線引向簡便計算。

不管如何，學生的不熟“練”，說明對乘法分配律的意義建構和形式建構并不充分。而要讓學生少一些死記硬背，就要讓他們知道“乘法分配律為何是這樣的”，知其然而知其所以然，才不會輕易地犯糊涂、被誤導。由此，在教學中，教師應該積極尋求讓學生易理解、易記憶、易掌握的方法。

一是強化乘法分配律的內在意義，讓學生有聯系地記憶。乘法分配律不只是為簡算而存在，它還有著廣泛的生活意義。當學生知道了知識的生活意義，也就會覺得學習有意思。所以，第一課時一開始的導入，教師不妨讓知識“回到”生活：（1）一套服裝，上衣58元，褲子42元，買這樣的3套應付多少錢？（2）兩車同時從兩地相對開出，4小時后相遇。甲車每小時行70千米，乙車每小時行50千米，兩地相距多少千米？（3）鋪地磚，左面每排鋪6塊，鋪9排；右面每排鋪4塊，鋪9排。一共鋪多少塊地磚？……熟悉的生活，熟悉的舊知，能讓學生感到新知不“新”。由此看來，訪談中執教教師所說的“學生缺乏生活經驗及知識基礎”理由不成立。

當然，有意義的教學不能止步于揭示乘法分配律的生活意義，還應該揭示乘法分配律的數學意義，這是知識的根本。

首先，教師可以采用數形結合的方式，幫助學生形象化理解乘法分配律。上述課中，那位男生發現了“（4+6）×2 ”與“4×2+6×2”形似長方形周長的兩種計算方法“（a+b）×2 ”與“a×2+b×2”，由此推測，如此結構的兩組算式結果相等，這是一種直覺思維，也是一種直觀思維。這也說明，學生在以往的學習中已或隱或顯接觸到了乘法分配律的身影。又如，在數的領域，“兩位數乘一位數的口算”以及乘法豎式計算中也或多或少蘊含著乘法分配律的基因。endprint

用長方形周長來形象化乘法分配律有一定的局限性，教師一般用長方形面積來“畫”出乘法分配律（如圖1），這樣的圖例可以從上述“鋪地磚”的生活情境中抽象出來。當然，教師也可以先把“鋪地磚”半抽象成格子圖（如圖2），作為乘法分配律從數到形之間的過渡，于是，教師可以進行如下教學鋪墊。

圖1

1.一排排地出示綠色小正方形，計算總個數，得到算式5×3。

2.出示算式4×3，你想到了怎樣的畫面？一排排地出示藍色小正方形。

圖2

3.問：小正方形一共有多少個？引導學生列出綜合算式5×3+4×3和（5+4）×3。對于（5+4）×3，教師可動態演示兩個圖形的合并過程。

接著，根據上述教學過程，可以把上面的合并圖去除格子線，就進一步抽象成前述“（a+b）×c=a×c+b×c”所表示的長方形面積圖。

最后，教師還應該回到知識的源頭來理解乘法分配律。順著上述圖形示意，逐步從“幾個小正方形”抽象到“幾個幾”，也就是最終用乘法意義來解釋乘法分配律。

總之，對于乘法分配律的教學，教師不能僅僅滿足于讓學生采用不完全歸納法發現規律，還應該注重乘法分配律從生活表征到圖形表征到數學表征的抽象過程，知道了乘法分配律的意義，也就能夠實現有意義的建構，乘法分配律的特征也就能夠銘記于心。至此，訪談中執教教師的困惑——“沒能夠真正理解其內涵，只是在機械地背誦和純粹地模仿”也就會煙消云散。

二是強化乘法分配律的外在特征，讓學生有聯想地記憶。有意義記憶可以延長知識的保存時間，但也不是一勞永逸，還取決于學生是否對知識的外形了然于心，所以，形式上的記憶也很重要，學生只要想到乘法分配律，腦中就能夠自動跳出它的模型。

然而，單調的背記會讓學生生厭。對此，有一位教師采用比喻的方式幫助學生記憶“a×（b+c）=a×b + a×c”的形式：a喜歡交朋友，先與b乘一乘，再與c乘一乘，最后一起手拉手。

還有一位教師則講得更有意思：a媽媽有兩個兒子，一個是b，一個是c。b和c先住在一起，后來b和c長大要分家了，a媽媽既要拉b的手又要拉c的手。為什么？因為a既是b的媽媽又是c的媽媽。少拉了一個兒子的手，另外一個兒子會認為媽媽太偏心，會傷心的。

這樣的比喻雖然不十分科學，但足以達到趣味化輔助記憶的目的。正因為是輔助，所以這樣的“幽默一記”應該放在規范化記憶之后。調查表明：如果在敘述一個概念時，緊接著舉一個幽默的例子解釋概念，可以幫助學生理解。以幽默的方法點撥知識，特別對一些抽象的數學內容和深奧的數學道理，可以使其通俗化，從而降低知識難度，提高理解效度。

當然，教師還可以抓住乘法分配律中的“分配”兩字，幫助學生記憶和運用：先把“（b+c）”分成兩部分，然后把b和c分別配給a相乘，最后合起來。

有意義的知識建構加上有意思的知識建“構”，可以最大程度地防止或延緩訪談中執教教師所擔心的——“課后學生對乘法分配律的遺忘速度更是非?？臁薄?/p>

從上述錯例3可以知道，學生對于乘法分配律，最容易與乘法結合律發生混淆。另外還可以知道，比較也是強化知識特征的有效方法。除了從結構上比較之外，教師還可以從意義上比較。當然，受制于學生的學習內容，教師還不能把乘法結合律表征為長方體的體積，但可以借助生活情境來幫助學生理解兩者意義的不同。例如，有一位教師這樣設計乘法分配律與乘法結合律的比較教學。

1.出示28×（4×2），問：如果28表示每壺油28元，那么這個算式的每一步計算可能表示什么？結合學生的解釋畫出示意圖：

那么，28×4×2這個算式每一步表示什么？

2.將28×（4×2）改成28×（4+2），它們表示的含義一樣嗎？

3.如果28×（4+2）去掉括號——28×4+2，又會發生什么變化呢？那么25×（4+2）去掉括號應寫成什么樣呢？

4.討論：同樣是去括號，為什么28×（4+2）=28×4+28×2中28出現了兩次，而28×（4×2）=28×4×2中28只用了一次？

上述教例，運用了多種比較和多次比較：縱向上，乘法分配律與乘法結合律進行比較；橫向上，乘法分配律左右兩個算式進行比較。每一種、每一次形式上的比較，其實都歸結于意義上的比較。表面上，與乘法結合律的比較花費了教學時間，實質上卻在反作用于乘法分配律的理解和記憶，比較常常能夠達到一舉兩得的功效。為此，在練習中，教師可以用25×44大做文章，如果變成25×（4×11），則用乘法結合律簡算，如果變成25×（40+4），則用乘法分配律簡算（其實也就是豎式乘法的算法），一題兩法，對比強烈。

比較可以強記，由此，教師在教學中不妨插入一些如錯例2這樣的反例，一方面可以讓學生在對比中清晰地認識并掌握乘法分配律的結構特征，另一方面可以克服學生“凡是這節課教的都可以用乘法分配律”的思維定勢，再一方面可以使學生領教審題的重要性。

綜上所述，學生背得出，并不表示就學會了，學生背得熟練，并不表示就能夠熟“練”。要能夠熟“練”，反復操練固然必不可少，但若能明明白白地操練無疑是上上之策，首先能“知其理”，然后能“識其貌”，如此的“知”“識”學習，才能讓學生更好地掌握知識。

（江蘇省無錫市錫山區東亭實驗小學 214101

江蘇省無錫市錫山教師進修學校 214101）endprint

用長方形周長來形象化乘法分配律有一定的局限性，教師一般用長方形面積來“畫”出乘法分配律（如圖1），這樣的圖例可以從上述“鋪地磚”的生活情境中抽象出來。當然，教師也可以先把“鋪地磚”半抽象成格子圖（如圖2），作為乘法分配律從數到形之間的過渡，于是，教師可以進行如下教學鋪墊。

圖1

1.一排排地出示綠色小正方形，計算總個數，得到算式5×3。

2.出示算式4×3，你想到了怎樣的畫面？一排排地出示藍色小正方形。

圖2

3.問：小正方形一共有多少個？引導學生列出綜合算式5×3+4×3和（5+4）×3。對于（5+4）×3，教師可動態演示兩個圖形的合并過程。

接著，根據上述教學過程，可以把上面的合并圖去除格子線，就進一步抽象成前述“（a+b）×c=a×c+b×c”所表示的長方形面積圖。

最后，教師還應該回到知識的源頭來理解乘法分配律。順著上述圖形示意，逐步從“幾個小正方形”抽象到“幾個幾”，也就是最終用乘法意義來解釋乘法分配律。

總之，對于乘法分配律的教學，教師不能僅僅滿足于讓學生采用不完全歸納法發現規律，還應該注重乘法分配律從生活表征到圖形表征到數學表征的抽象過程，知道了乘法分配律的意義，也就能夠實現有意義的建構，乘法分配律的特征也就能夠銘記于心。至此，訪談中執教教師的困惑——“沒能夠真正理解其內涵，只是在機械地背誦和純粹地模仿”也就會煙消云散。

二是強化乘法分配律的外在特征，讓學生有聯想地記憶。有意義記憶可以延長知識的保存時間，但也不是一勞永逸，還取決于學生是否對知識的外形了然于心，所以，形式上的記憶也很重要，學生只要想到乘法分配律，腦中就能夠自動跳出它的模型。

然而，單調的背記會讓學生生厭。對此，有一位教師采用比喻的方式幫助學生記憶“a×（b+c）=a×b + a×c”的形式：a喜歡交朋友，先與b乘一乘，再與c乘一乘，最后一起手拉手。

還有一位教師則講得更有意思：a媽媽有兩個兒子，一個是b，一個是c。b和c先住在一起，后來b和c長大要分家了，a媽媽既要拉b的手又要拉c的手。為什么？因為a既是b的媽媽又是c的媽媽。少拉了一個兒子的手，另外一個兒子會認為媽媽太偏心，會傷心的。

這樣的比喻雖然不十分科學，但足以達到趣味化輔助記憶的目的。正因為是輔助，所以這樣的“幽默一記”應該放在規范化記憶之后。調查表明：如果在敘述一個概念時，緊接著舉一個幽默的例子解釋概念，可以幫助學生理解。以幽默的方法點撥知識，特別對一些抽象的數學內容和深奧的數學道理，可以使其通俗化，從而降低知識難度，提高理解效度。

當然，教師還可以抓住乘法分配律中的“分配”兩字，幫助學生記憶和運用：先把“（b+c）”分成兩部分，然后把b和c分別配給a相乘，最后合起來。

有意義的知識建構加上有意思的知識建“構”，可以最大程度地防止或延緩訪談中執教教師所擔心的——“課后學生對乘法分配律的遺忘速度更是非常快”。

從上述錯例3可以知道，學生對于乘法分配律，最容易與乘法結合律發生混淆。另外還可以知道，比較也是強化知識特征的有效方法。除了從結構上比較之外，教師還可以從意義上比較。當然，受制于學生的學習內容，教師還不能把乘法結合律表征為長方體的體積，但可以借助生活情境來幫助學生理解兩者意義的不同。例如，有一位教師這樣設計乘法分配律與乘法結合律的比較教學。

1.出示28×（4×2），問：如果28表示每壺油28元，那么這個算式的每一步計算可能表示什么？結合學生的解釋畫出示意圖：

那么，28×4×2這個算式每一步表示什么？

2.將28×（4×2）改成28×（4+2），它們表示的含義一樣嗎？

3.如果28×（4+2）去掉括號——28×4+2，又會發生什么變化呢？那么25×（4+2）去掉括號應寫成什么樣呢？

4.討論：同樣是去括號，為什么28×（4+2）=28×4+28×2中28出現了兩次，而28×（4×2）=28×4×2中28只用了一次？

上述教例，運用了多種比較和多次比較：縱向上，乘法分配律與乘法結合律進行比較；橫向上，乘法分配律左右兩個算式進行比較。每一種、每一次形式上的比較，其實都歸結于意義上的比較。表面上，與乘法結合律的比較花費了教學時間，實質上卻在反作用于乘法分配律的理解和記憶，比較常常能夠達到一舉兩得的功效。為此，在練習中，教師可以用25×44大做文章，如果變成25×（4×11），則用乘法結合律簡算，如果變成25×（40+4），則用乘法分配律簡算（其實也就是豎式乘法的算法），一題兩法，對比強烈。

比較可以強記，由此，教師在教學中不妨插入一些如錯例2這樣的反例，一方面可以讓學生在對比中清晰地認識并掌握乘法分配律的結構特征，另一方面可以克服學生“凡是這節課教的都可以用乘法分配律”的思維定勢，再一方面可以使學生領教審題的重要性。

綜上所述，學生背得出，并不表示就學會了，學生背得熟練，并不表示就能夠熟“練”。要能夠熟“練”，反復操練固然必不可少，但若能明明白白地操練無疑是上上之策，首先能“知其理”，然后能“識其貌”，如此的“知”“識”學習，才能讓學生更好地掌握知識。

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用長方形周長來形象化乘法分配律有一定的局限性，教師一般用長方形面積來“畫”出乘法分配律（如圖1），這樣的圖例可以從上述“鋪地磚”的生活情境中抽象出來。當然，教師也可以先把“鋪地磚”半抽象成格子圖（如圖2），作為乘法分配律從數到形之間的過渡，于是，教師可以進行如下教學鋪墊。

圖1

1.一排排地出示綠色小正方形，計算總個數，得到算式5×3。

2.出示算式4×3，你想到了怎樣的畫面？一排排地出示藍色小正方形。

圖2

3.問：小正方形一共有多少個？引導學生列出綜合算式5×3+4×3和（5+4）×3。對于（5+4）×3，教師可動態演示兩個圖形的合并過程。

接著，根據上述教學過程，可以把上面的合并圖去除格子線，就進一步抽象成前述“（a+b）×c=a×c+b×c”所表示的長方形面積圖。

最后，教師還應該回到知識的源頭來理解乘法分配律。順著上述圖形示意，逐步從“幾個小正方形”抽象到“幾個幾”，也就是最終用乘法意義來解釋乘法分配律。

總之，對于乘法分配律的教學，教師不能僅僅滿足于讓學生采用不完全歸納法發現規律，還應該注重乘法分配律從生活表征到圖形表征到數學表征的抽象過程，知道了乘法分配律的意義，也就能夠實現有意義的建構，乘法分配律的特征也就能夠銘記于心。至此，訪談中執教教師的困惑——“沒能夠真正理解其內涵，只是在機械地背誦和純粹地模仿”也就會煙消云散。

二是強化乘法分配律的外在特征，讓學生有聯想地記憶。有意義記憶可以延長知識的保存時間，但也不是一勞永逸，還取決于學生是否對知識的外形了然于心，所以，形式上的記憶也很重要，學生只要想到乘法分配律，腦中就能夠自動跳出它的模型。

然而，單調的背記會讓學生生厭。對此，有一位教師采用比喻的方式幫助學生記憶“a×（b+c）=a×b + a×c”的形式：a喜歡交朋友，先與b乘一乘，再與c乘一乘，最后一起手拉手。

還有一位教師則講得更有意思：a媽媽有兩個兒子，一個是b，一個是c。b和c先住在一起，后來b和c長大要分家了，a媽媽既要拉b的手又要拉c的手。為什么？因為a既是b的媽媽又是c的媽媽。少拉了一個兒子的手，另外一個兒子會認為媽媽太偏心，會傷心的。

這樣的比喻雖然不十分科學，但足以達到趣味化輔助記憶的目的。正因為是輔助，所以這樣的“幽默一記”應該放在規范化記憶之后。調查表明：如果在敘述一個概念時，緊接著舉一個幽默的例子解釋概念，可以幫助學生理解。以幽默的方法點撥知識，特別對一些抽象的數學內容和深奧的數學道理，可以使其通俗化，從而降低知識難度，提高理解效度。

當然，教師還可以抓住乘法分配律中的“分配”兩字，幫助學生記憶和運用：先把“（b+c）”分成兩部分，然后把b和c分別配給a相乘，最后合起來。

有意義的知識建構加上有意思的知識建“構”，可以最大程度地防止或延緩訪談中執教教師所擔心的——“課后學生對乘法分配律的遺忘速度更是非常快”。

從上述錯例3可以知道，學生對于乘法分配律，最容易與乘法結合律發生混淆。另外還可以知道，比較也是強化知識特征的有效方法。除了從結構上比較之外，教師還可以從意義上比較。當然，受制于學生的學習內容，教師還不能把乘法結合律表征為長方體的體積，但可以借助生活情境來幫助學生理解兩者意義的不同。例如，有一位教師這樣設計乘法分配律與乘法結合律的比較教學。

1.出示28×（4×2），問：如果28表示每壺油28元，那么這個算式的每一步計算可能表示什么？結合學生的解釋畫出示意圖：

那么，28×4×2這個算式每一步表示什么？

2.將28×（4×2）改成28×（4+2），它們表示的含義一樣嗎？

3.如果28×（4+2）去掉括號——28×4+2，又會發生什么變化呢？那么25×（4+2）去掉括號應寫成什么樣呢？

4.討論：同樣是去括號，為什么28×（4+2）=28×4+28×2中28出現了兩次，而28×（4×2）=28×4×2中28只用了一次？

上述教例，運用了多種比較和多次比較：縱向上，乘法分配律與乘法結合律進行比較；橫向上，乘法分配律左右兩個算式進行比較。每一種、每一次形式上的比較，其實都歸結于意義上的比較。表面上，與乘法結合律的比較花費了教學時間，實質上卻在反作用于乘法分配律的理解和記憶，比較常常能夠達到一舉兩得的功效。為此，在練習中，教師可以用25×44大做文章，如果變成25×（4×11），則用乘法結合律簡算，如果變成25×（40+4），則用乘法分配律簡算（其實也就是豎式乘法的算法），一題兩法，對比強烈。

比較可以強記，由此，教師在教學中不妨插入一些如錯例2這樣的反例，一方面可以讓學生在對比中清晰地認識并掌握乘法分配律的結構特征，另一方面可以克服學生“凡是這節課教的都可以用乘法分配律”的思維定勢，再一方面可以使學生領教審題的重要性。

綜上所述，學生背得出，并不表示就學會了，學生背得熟練，并不表示就能夠熟“練”。要能夠熟“練”，反復操練固然必不可少，但若能明明白白地操練無疑是上上之策，首先能“知其理”，然后能“識其貌”，如此的“知”“識”學習，才能讓學生更好地掌握知識。

（江蘇省無錫市錫山區東亭實驗小學 214101

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