借助直觀 建構概念

陳新華+于萍

【教學內容】人教版五年級下冊“認識因數”。

【教學目標】

1.借助直觀，建立因數的概念，學會找出全部因數的方法，發現因數的特點。

2.能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果。

3.初步養成樂于思考、勇于質疑、言必有據的良好品質。

【教學過程與評析】

一、引入課題，初步感知因數是“表示1份”的數

（一）借助數球，找出12的因數

師：這有一串小球，如果請你這樣數：1份1份地數，數到最后1份恰好數完，每份幾個？

生：每份1個。

生：每份1個最保險，無論這串小球有多少個，都可以恰好數完。（教師協助學生1個1個地數小球，發現小球共12個）

師：現在知道一共有12個小球了，每份是幾個也可以恰好數完呢？

生：每份2個。

生：每份可以是3個。

……

教師將學生答出的每份數按順序板書到黑板上。

（評析：陳老師設計的“數球”活動是學生認識因數、建立概念的重要經歷，這個富有創造性的活動使學生形成了對因數形象的、整體的、結構性的認識，由此初步感受到因數就是“一個整數的單位”。）

（二）初步建立因數的概念

師：看來只有1、2、3、4、6、12這幾個整數，以它們為1份，可以恰好湊成12。這些數與12有著不一般的關系，它們是12的因數。因數這個詞雖然并不生疏，但今天要研究的是一個數的因數，特別要指出的是只有整數才能有因數，而且作為因數的數也必須是整數。這節課我們就來認識因數。（教師板書課題：認識因數）

（評析：通過“數球”活動，學生將“球的總數”就是要研究的“數”，“以幾個為一份”就是“這個數的因數”，“能否1份1份地恰好數完”是判斷“每份數”是否為“這個數”的因數的標準，“這樣的每份數”能找到幾個，“這個數”的“因數”就有幾個……這種讓概念與“數球”活動建立起對應關系的過程，是學生舊經驗與新認知對接的過程，也是逐步認識概念、理解概念的過程。）

二、教學新知

（一）了解因數與乘除法有關

1.判斷并說明理由。

（1） 7是14的因數。

生：對，因為14÷7=2。

生：我也認為是對的，好比你有14個小球，7個、7個地數，數2次正好數完。

（2） 5×6=30，5是30的因數。

生：我認為是對的。5×6=30，說明6個5是30，也就是30個小球，每份5個，數6次正好數完。

（3） 5×6=30，6是30的因數。

生：當然也是對的。5是，6也一定是。

生：我同意，因為5×6=30，30÷5=6，30÷6=5。

生：（30個小球）5個、5個地數，數6次；6個、6個地數，數5次。

（評析：學生主動用“小球”來理解、分析和解釋新問題，直觀的模型成為了學生認識抽象概念的重要支撐，這正是直觀的價值。）

2.根據算式找因數。

師：根據“5×6=30”這個算式，能找出30的兩個因數。誰能再說一個算式，讓大家也能找到某個數的兩個因數。（一個學生說算式，大家根據算式找出某個數的兩個因數）

3.歸納因數的概念。

師：這樣舉下去，例子太多了，能不能概括一下什么情況下我們就說a和b都是c的因數了。

生：當c÷a=b時，a和b都是c的因數。

生：或者用乘法，當a×b=c時也行。

師：“數球”讓我們形象地認識了因數就是可以作為整體中1份的那些整數，字母則概括出根據這種都是整數的乘法或者除法算式，一下可以找到一個數的兩個因數，因數總是成對出現的。那12的因數是不是一對一對的？（根據學生的回答，教師將12的因數一對一對地畫上線）

（評析：“因數”刻畫的是整數之間的一種特殊關系，這種“關系”是隱形的，不容易被學生察覺、認識和理解，而“數球”活動讓這種關系外顯，易于感知，同時調動了已有的認知經驗，使其“易于理解”。）

（二）研究找因數的方法

1.嘗試盡可能多地找出28的因數。

學生先獨立嘗試盡可能多地找出28的因數，之后進行小組交流：28是不是只有剛才同學們找到的這些因數，然后教師組織學生匯報找因數的方法，并將28的因數按從小到大的順序寫在黑板上。

2.借助數軸，感悟找全因數的方法。

師：28的因數中有最小的嗎？最大的呢？

生：28最小的因數是1，最大的因數是28。（課件演示：出現數軸，數軸上出現1和28）

師：如果還有因數應該在1和28這對因數之間，在這個范圍內，最小的是幾，最大的呢？

生：最小的是2，最大的應該是14。（課件演示：數軸上出現2和14）

師：最小的好說，最大的為什么就是14呢？

生：最小的如果是2，2×14=28，最大的就應該是28。

生：15～27都不可能，它們乘1比28小，乘2就比28大了。

師：如果還有因數就應該在2和14之間，在這個范圍內，最小的是幾，最大的呢？

生：最小的是4，最大的是7。（課件演示：數軸上出現4和7）

生：本來最小的應該是3，但3不是28的因數，就可以試試4，4×7=28。

師：如果還有因數就應該在4和7之間了？

生：但是5和6都不是。

師：借助數軸，我們可以看到，如果按順序1和幾，2是嗎；2和幾，3是嗎；3和幾……一對一對地找因數，實際上是在不斷地縮小范圍，自然就可以找出全部的因數了。endprint

（評析：借助數軸找一個數的因數，使得學生在探尋找因數的方法時能夠更“有感覺”地找，這種感覺來自于數軸上點與點之間的位置關系，它使得學生對“因數”的認識更富有位置感和聯系感，進而更好地理解并掌握找因數的方法。）

3.練習：找出33和36的全部因數。

學生分別找出33和36的全部因數，教師組織學生進行匯報、訂正并板書。

（三）歸納因數的特點

師：觀察黑板上12、28、33和36的因數，有什么共同點？

生：它們的因數中都有1。

生：它們的因數中最大的都是自己。

師：想一想，其他數的因數也具備這個特點嗎，為什么？

生：最小的因數一定是1，無論多少個小球，肯定都能1個、1個地數。

生：任何數都能寫成1乘它本身，1是最小的，對應著它本身就應該是最大的。

（評析：此時分析一個數的因數特征，學生已經有了豐富的認知基礎，“數球”活動和數軸，讓“因數”這一概念變得更容易理解，更容易學會。）

三、練習

教師課件出示問題：用12個小正方形擺長方形，能擺出哪幾種不同的長方形？（學生讀題后，嘗試完成，教師巡視）

師：這道題與因數有關系嗎？

生：有關系，長方形的長、寬都是12的因數。

師：12的因數一共有6個，應該能擺出六種吧？

生：對，1×12、2×6、3×4、4×3、6×2、12×1，六種。

生：不對，應該是三種，3×4和4×3是一種。

生：（拿著自己畫的圖）這個長方形，這么看是4×3，轉一下就是3×4了，其實還是同一個長方形。

師：這樣畫一畫，大家一下子就明白了3×4、4×3是同一個長方形。以后在給別人講道理或者自己解決問題時，也可以采取這樣畫圖的方式。（結合課件演示）我們將圖畫得規范些會看到，一對一對的因數就是長方形的長、寬，我們在數軸上看到一對一對的因數距離越來越接近，畫成的長方形就越來越像正方形。

（評析：“擺長方形”的活動也是幫助學生認識因數的直觀形式，它與數軸相呼應，幫助學生感受到因數是“一對一對地出現”，只要有序地找，“一對一對”的因數就會越來越接近。這一活動讓“找因數”“用因數”的過程變得更形象、更容易。同時，教師還注重點撥學生，當遇到想不清、說不明的問題時，選個直觀的方式就能夠很好地解決問題。讓學生感受到了“直觀”不僅僅是一種方法，也是一種表達方式。）

四、總結質疑

師：關于因數，你還有什么不明白或者想知道的嗎？

生：更大的數也是這樣一對一對地找因數嗎？

生：為什么只有整數才有因數呢？

……

【總評】

通常“因數”與“倍數”兩個概念是安排在一起教學的，重在揭示兩個數之間因數和倍數的關系。而本課將“認識因數”單獨作為一課時進行教學，主要原因在于學生真正理解“因數”是存在一定困難的，主要表現在兩方面。第一，難在從“關系”的視角研究數，在教學本課之前學生都是獨立地研究整數，而“因數”是對兩個或幾個整數之間“特殊”關系的研究，這種研究視角的改變造成了學生認知的困難；第二，難在形成對“方法”的結構化認識，雖然學生“找到因數”并不難，但有序、全面地找因數，并理解這樣做的道理是存在困難的。然而這種理解又是非常有必要的，能為學生今后的學習奠定堅實基礎。陳老師通過深入分析學生的認知需求，立足于對教材內容的活化與開發，將“認識因數”單獨進行教學，這便可以有更充分的時間和空間，讓學生經歷感悟的過程，突破認知難點，進而建立概念，掌握方法。

課堂上，學生在教師的引導下，借助多種直觀材料，層層深入地認識并理解數學概念、并在主動思考的過程中探尋方法。“直觀”起到了積極的促進作用，讓數學概念“更易于理解”，讓數學思考“更有方法”，讓數學變得“更容易學”，創造更適合兒童的數學教育。

（北京小學 100053）endprint

（評析：借助數軸找一個數的因數，使得學生在探尋找因數的方法時能夠更“有感覺”地找，這種感覺來自于數軸上點與點之間的位置關系，它使得學生對“因數”的認識更富有位置感和聯系感，進而更好地理解并掌握找因數的方法。）

3.練習：找出33和36的全部因數。

學生分別找出33和36的全部因數，教師組織學生進行匯報、訂正并板書。

（三）歸納因數的特點

師：觀察黑板上12、28、33和36的因數，有什么共同點？

生：它們的因數中都有1。

生：它們的因數中最大的都是自己。

師：想一想，其他數的因數也具備這個特點嗎，為什么？

生：最小的因數一定是1，無論多少個小球，肯定都能1個、1個地數。

生：任何數都能寫成1乘它本身，1是最小的，對應著它本身就應該是最大的。

（評析：此時分析一個數的因數特征，學生已經有了豐富的認知基礎，“數球”活動和數軸，讓“因數”這一概念變得更容易理解，更容易學會。）

三、練習

教師課件出示問題：用12個小正方形擺長方形，能擺出哪幾種不同的長方形？（學生讀題后，嘗試完成，教師巡視）

師：這道題與因數有關系嗎？

生：有關系，長方形的長、寬都是12的因數。

師：12的因數一共有6個，應該能擺出六種吧？

生：對，1×12、2×6、3×4、4×3、6×2、12×1，六種。

生：不對，應該是三種，3×4和4×3是一種。

生：（拿著自己畫的圖）這個長方形，這么看是4×3，轉一下就是3×4了，其實還是同一個長方形。

師：這樣畫一畫，大家一下子就明白了3×4、4×3是同一個長方形。以后在給別人講道理或者自己解決問題時，也可以采取這樣畫圖的方式。（結合課件演示）我們將圖畫得規范些會看到，一對一對的因數就是長方形的長、寬，我們在數軸上看到一對一對的因數距離越來越接近，畫成的長方形就越來越像正方形。

（評析：“擺長方形”的活動也是幫助學生認識因數的直觀形式，它與數軸相呼應，幫助學生感受到因數是“一對一對地出現”，只要有序地找，“一對一對”的因數就會越來越接近。這一活動讓“找因數”“用因數”的過程變得更形象、更容易。同時，教師還注重點撥學生，當遇到想不清、說不明的問題時，選個直觀的方式就能夠很好地解決問題。讓學生感受到了“直觀”不僅僅是一種方法，也是一種表達方式。）

四、總結質疑

師：關于因數，你還有什么不明白或者想知道的嗎？

生：更大的數也是這樣一對一對地找因數嗎？

生：為什么只有整數才有因數呢？

……

【總評】

通常“因數”與“倍數”兩個概念是安排在一起教學的，重在揭示兩個數之間因數和倍數的關系。而本課將“認識因數”單獨作為一課時進行教學，主要原因在于學生真正理解“因數”是存在一定困難的，主要表現在兩方面。第一，難在從“關系”的視角研究數，在教學本課之前學生都是獨立地研究整數，而“因數”是對兩個或幾個整數之間“特殊”關系的研究，這種研究視角的改變造成了學生認知的困難；第二，難在形成對“方法”的結構化認識，雖然學生“找到因數”并不難，但有序、全面地找因數，并理解這樣做的道理是存在困難的。然而這種理解又是非常有必要的，能為學生今后的學習奠定堅實基礎。陳老師通過深入分析學生的認知需求，立足于對教材內容的活化與開發，將“認識因數”單獨進行教學，這便可以有更充分的時間和空間，讓學生經歷感悟的過程，突破認知難點，進而建立概念，掌握方法。

課堂上，學生在教師的引導下，借助多種直觀材料，層層深入地認識并理解數學概念、并在主動思考的過程中探尋方法。“直觀”起到了積極的促進作用，讓數學概念“更易于理解”，讓數學思考“更有方法”，讓數學變得“更容易學”，創造更適合兒童的數學教育。

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（評析：借助數軸找一個數的因數，使得學生在探尋找因數的方法時能夠更“有感覺”地找，這種感覺來自于數軸上點與點之間的位置關系，它使得學生對“因數”的認識更富有位置感和聯系感，進而更好地理解并掌握找因數的方法。）

3.練習：找出33和36的全部因數。

學生分別找出33和36的全部因數，教師組織學生進行匯報、訂正并板書。

（三）歸納因數的特點

師：觀察黑板上12、28、33和36的因數，有什么共同點？

生：它們的因數中都有1。

生：它們的因數中最大的都是自己。

師：想一想，其他數的因數也具備這個特點嗎，為什么？

生：最小的因數一定是1，無論多少個小球，肯定都能1個、1個地數。

生：任何數都能寫成1乘它本身，1是最小的，對應著它本身就應該是最大的。

（評析：此時分析一個數的因數特征，學生已經有了豐富的認知基礎，“數球”活動和數軸，讓“因數”這一概念變得更容易理解，更容易學會。）

三、練習

教師課件出示問題：用12個小正方形擺長方形，能擺出哪幾種不同的長方形？（學生讀題后，嘗試完成，教師巡視）

師：這道題與因數有關系嗎？

生：有關系，長方形的長、寬都是12的因數。

師：12的因數一共有6個，應該能擺出六種吧？

生：對，1×12、2×6、3×4、4×3、6×2、12×1，六種。

生：不對，應該是三種，3×4和4×3是一種。

生：（拿著自己畫的圖）這個長方形，這么看是4×3，轉一下就是3×4了，其實還是同一個長方形。

師：這樣畫一畫，大家一下子就明白了3×4、4×3是同一個長方形。以后在給別人講道理或者自己解決問題時，也可以采取這樣畫圖的方式。（結合課件演示）我們將圖畫得規范些會看到，一對一對的因數就是長方形的長、寬，我們在數軸上看到一對一對的因數距離越來越接近，畫成的長方形就越來越像正方形。

（評析：“擺長方形”的活動也是幫助學生認識因數的直觀形式，它與數軸相呼應，幫助學生感受到因數是“一對一對地出現”，只要有序地找，“一對一對”的因數就會越來越接近。這一活動讓“找因數”“用因數”的過程變得更形象、更容易。同時，教師還注重點撥學生，當遇到想不清、說不明的問題時，選個直觀的方式就能夠很好地解決問題。讓學生感受到了“直觀”不僅僅是一種方法，也是一種表達方式。）

四、總結質疑

師：關于因數，你還有什么不明白或者想知道的嗎？

生：更大的數也是這樣一對一對地找因數嗎？

生：為什么只有整數才有因數呢？

……

【總評】

通常“因數”與“倍數”兩個概念是安排在一起教學的，重在揭示兩個數之間因數和倍數的關系。而本課將“認識因數”單獨作為一課時進行教學，主要原因在于學生真正理解“因數”是存在一定困難的，主要表現在兩方面。第一，難在從“關系”的視角研究數，在教學本課之前學生都是獨立地研究整數，而“因數”是對兩個或幾個整數之間“特殊”關系的研究，這種研究視角的改變造成了學生認知的困難；第二，難在形成對“方法”的結構化認識，雖然學生“找到因數”并不難，但有序、全面地找因數，并理解這樣做的道理是存在困難的。然而這種理解又是非常有必要的，能為學生今后的學習奠定堅實基礎。陳老師通過深入分析學生的認知需求，立足于對教材內容的活化與開發，將“認識因數”單獨進行教學，這便可以有更充分的時間和空間，讓學生經歷感悟的過程，突破認知難點，進而建立概念，掌握方法。

課堂上，學生在教師的引導下，借助多種直觀材料，層層深入地認識并理解數學概念、并在主動思考的過程中探尋方法。“直觀”起到了積極的促進作用，讓數學概念“更易于理解”，讓數學思考“更有方法”，讓數學變得“更容易學”，創造更適合兒童的數學教育。

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