直觀模型，帶給學生的是什么？

孫佳威+付春紅

一、設計理念

“兩位數乘兩位數的筆算乘法”屬于“數與代數”這一領域中“數的運算”這個板塊。對于這個板塊的內容，《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確指出要培養學生的運算能力。運算能力主要指能夠根據法則和運算律進行正確運算的能力，培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理、簡潔的運算途徑解決問題。由此可以看出，運算能力的培養決不僅僅是算法的掌握，更需要對算理的理解與運用。

數學教學的復雜性在于怎樣滿足不同發展水平的兒童的學習需要，適應兒童個體認知發展反復循環的階段（直觀與抽象反復循環、交替進行）。因此，在數學計算教學中，我們有必要為學生提供便于觀察、轉化的直觀模型，引導學生借助不同語言的相互轉換理解抽象的算理，從而使抽象的算理具體化、形象化，幫助學生在溝通轉化中掌握算法。在此過程中，轉化和數形結合的思想也必將形象地植入學生的頭腦，最終為學生運算能力的培養鋪路搭橋。

二、教學背景分析

（一）教材分析

1.對教材的整體分析。

人教版教材在計算教學的編排中是怎樣幫助學生理解算理、掌握算法的呢？我們可以做以下的梳理：①百以內加減法：借助小棒模型；②萬以內加減法：沒有借助直觀模型；③多位數乘、除以一位數：借助小棒模型；④多位數乘兩位數：沒有借助直觀模型（多位數乘一位數的計算，雖然沒有直接呈現小棒，但是通過粉筆圖的呈現，依然顯示出了與小棒圖相同的結構，目的依然是要借助直觀模型理解算理）；⑤多位數除以兩位數：借助直觀模型到不借助直觀模型；⑥小數乘、除法：借助人民幣和長度單位作為模型；⑦分數乘、除法：借助面積模型。

隨著年級及知識的增長，學生的抽象、遷移能力也越來越強。教材的編寫關注到了這一點，對于容易理解的內容，教材就提倡運用知識的遷移、轉化來進行計算的學習。對于較難理解的內容，教材就提倡借助直觀模型來進行計算的學習。

2.對本課內容的理解。

與以往計算教學相同的是：注重理解算理和掌握算法。但是，“兩位數乘兩位數的筆算乘法”這節課對算理的理解沒有借助直觀模型，只是試圖通過口算與豎式的溝通，讓學生把舊知轉化為新知來理解算理，掌握算法。

本節課前位知識和后續內容的學習，大多使用直觀模型幫助學生理解算理，本節課不使用直觀模型的教學內容，是基于對學生能力的考量，但是其他版本教材中類似內容的編排還是強調了直觀模型的使用。

（二）學情分析

調研目的：人教版教材不再呈現直觀模型，對于算理的理解、算法的掌握完全借助于知識的轉化和遷移來完成，但這樣的教學過程是否符合學生的認知規律呢？口算與豎式的簡單溝通能否為學生理解算理提供形象的支撐？省去了以操作輔助形象理解的環節，在“真”節約時間的背后，是否有“真”增效？這些都成了我們的疑惑。正值學校校本教研，同年級組的兩位教師采用同課異構的方式進行了教學，課下我們針對兩個班的學生進行了調研，并對調研數據進行了對比分析。

數據來源一：遵循教材呈現方式進行教學。

調研對象：三（1）班34人。

調研問題一：請你試著計算14×12。

調研結果： 學習了一節課，還有59%的學生沒有充分掌握算法。這說明缺少形象支撐的教學，僅僅依靠溝通豎式與口算的聯系，來理解算理、掌握算法是非常淺薄的，因為大部分學生不僅算理不明，算法也是混亂的。

調研問題二：這道題是讓你進行乘法計算，你為什么還要加呀？

調研對象： 會做的人只有14人，其中只有2人能明確說明這樣計算的道理，其他12個人雖然能夠正確計算，但卻不明白算理。這也同樣說明憑借口算與豎式計算過程進行轉化的方法來理解算理、形成算法，是缺少實效性的教學。

數據來源二：嘗試使用直觀模型進行的教學。

調研對象：三（2）班37人。

調研問題一：請你試著計算14×12，并借助旁邊的點子圖說明你的想法。

調研結果：從他們的表達方式上看，有94.5%的學生不僅知道怎樣進行計算，而且非常清楚地知道為什么這樣算。雖然有2人計算結果是錯誤的，但是通過觀察發現他們的錯誤原因一個是因為馬虎出錯，另一人是因為計算方法混亂造成錯誤。

調研問題二：這道題是讓你進行乘法計算，你為什么還要加呀？

學生回答如下：100%的學生明確地說出了道理。因為他們把計算的每一步與點子圖建立了聯系，清晰地分辨出了前面的“分”和后面的“合”，乘法分配律這個計算的道理已經清晰地蘊含在學生并不流暢的語言當中。

數據對比一：在第一種方式下只有5.8%的學生能夠明確說出算理；在第二種方式下，100%的學生明確算理。

數據對比二：在第一種方式下，只有41%的人熟練掌握了算法；在第二種方式下，計算的正確率達到了94.5%。

兩種不同的學習方式，兩次不同的數據，形成了鮮明的對比。可見直觀模型在計算教學中的重要性。三年級學生的運算能力遠沒有我們想象的那么強。他們的學習仍要借助直觀的支撐，尤其是在算理的理解上。只有堅實地走好現在的每一小步，才能在運算能力的發展上邁出一大步。

因此，在教學中要借助直觀模型，把抽象的算理形象化，從而幫助學生理解算理、掌握算法。以直觀形象為支撐，幫助學生理解“乘法分配律“在計算過程中的運用，并借助圖形語言的形象作用，幫助學生牢固掌握計算方法，與此同時，滲透遷移、轉化的思想，從而為學生運算能力的培養添磚加瓦。

三、教學目標

1.在觀察、操作的活動過程中，借助直觀模型幫助學生理解兩位數乘兩位數的算理，在遷移、轉化的過程中掌握計算方法。

2.在探究與交流過程中，培養學生觀察、概括、溝通、轉化知識的能力，從而初步培養學生的運算能力。endprint

3.在理解筆算算理的基礎上感受遷移、轉化的數學思想對知識學習的重要性。

四、教學過程

（一）出示信息，引入計算教學的研究

1.出示信息： 植樹節，同學們參加植樹活動，一共植樹多少棵？

2.仔細觀察，你知道了什么？

3.要想知道“一共有多少棵樹”，怎么辦？（23×12 12×23）

4.計算可以幫我們解決這個問題，你怎么想到用乘法計算啊？

小結：每行有23棵樹，就是一個23，有這樣的12行，就是有12個23。

（設計意圖：在現實生活情境中研究計算問題，能夠使學生深刻感受到學習計算的價值。同時，借助直觀的樹林圖，幫助學生再次回顧乘法的意義。為理解拆成幾個幾的學習奠定基礎。）

（二）借助直觀模型，理解算理，掌握算法

第一層次：理解算理。

1.出示研究問題：23×12得多少？同學們可以畫一畫、寫一寫自己的想法，也可以借助手中的學具圈一圈自己的想法，并把想法用算式表達出來。

2.反饋學生的想法：說說你們是怎么想的？

（1）反饋用口算解決的方法。

[方法一]分-乘：如23×3×4

監控：他是怎樣解決問題的？

評價：能夠把算式轉化為學習過的兩位數乘一位數的形式，解決問題。

[方法二]分-乘-合

第一類：拆成任意兩數，如：23×3=69 23×9=

207 69+207=276

監控：誰聽清楚了他的3和9是怎么來的？為什么后面還要加起來？這個學生也是拆，把新知識轉化為舊知識，他的計算和前面的有什么不一樣？

第二類：拆成整十數和一位數，如：23×10=230 23×2=46 230+46=276

監控：這個也是拆成兩個數以后再加，又和前面的同學有什么不一樣？

歸納方法：同學們借助點子圖不僅說清了自己口算的過程和方法，而且說明了計算的道理。這幾種方法有什么相同的地方？

小結：沒錯，他們都借助舊知識，嘗試利用“拆”的辦法把新知識轉化為舊知識來解決問題，這種方法在數學學習中很重要。

（設計意圖：借助直觀模型，理解不同算法的道理，與此同時滲透轉化的思想。）

（2）反饋用豎式計算的辦法。

預設：

重點問題監控：

①結合上圖說說你的算式是什么意思？

②算式中的每個數在圖中的什么位置，誰讀懂了，能來指指嗎？

③算式中的“+”在圖中的哪兒呢？它的任務是什么？

3.溝通聯系。

（1）就這個過程，你能否在前面見到的方法中找到它的“影子”？

（2）仔細觀察，你能把相應的算式和點子圖用線連起來嗎？

（3）觀察這3種表達方式，它們有著共同的過程，你發現了嗎？

小結：通過分的方式把12分成10和2，分別去乘23，最后把積加起來，就是最后的結果。（板書：分—乘—合）

（設計意圖：借助直觀模型，幫助學生理解乘法分配律在乘法豎式中的運用過程，通過圖形與符號的溝通和轉化，使學生充分理解兩位數乘兩位數的筆算道理，初步感受筆算的過程和方法，滲透轉化和數形結合的思想。）

第二層次：初步感知計算方法。

1.出示：你能說說你的計算過程是怎樣的嗎？

問題監控：

（1）先算的是什么？怎么算的？又算的是什么？怎么算的？

（2）3寫在哪位上？為什么？2呢？

（3）最后一步干什么？

2.誰能完整地說說計算過程。

3.出示右邊豎式：

他怎么和大家說的不太一樣？你覺得 這樣行嗎？

小結：為了書寫的簡潔，十位上的數

乘23，數位對齊后，0可以省略。

第三層次：鞏固算理，抽象算法。

1.求一共有多少棵樹，我們列出了12×23，除了可以分12，還可以分哪個數？

你能先在點子圖上分一分，再嘗試列豎式計算嗎？

2.展示學生的算式及圖。

預設圖一 預設圖二

（1）對照圖說一說每一步計算與圖的關系是什么。

（2）誰能完整地說說計算過程？

3.出示學生的錯例。

預設1： 預設2：

監控：

（1）你能結合上面的點子圖說說他們錯在哪里嗎？

（2）應該怎樣改正？

4.嘗試計算32×22。

小結：結合上面幾道題的計算，說一說，你是怎樣計算兩位數乘兩位數的？（學生敘述方法，教師用紅色筆和藍色筆標出箭頭）

（三）鞏固練習，拓展延伸

1.練習計算：22×34 42×21

2.快速判斷第二個因數是多少？

3.全課總結：這節課我們學習

了兩位數乘兩位數的筆算乘法，通過點子圖，我們不僅學會了計算的方法，更了解了這樣計算的道理，這對于我們今后的學習將起到重要的作用。

五、教學效果評價設計

把意思相同的算式和圖連起來。

（設計意圖：通過讓學生把豎式計算過程與點子圖連線的方式，再次檢驗學生對于算理的理解及算法的掌握。）

六、教學設計特色說明

（一）充分借助點子圖，幫助學生理解算理，掌握算法

在進行學情分析的過程中，發現直觀模型對于學生理解算理的作用，因此在進行教學設計時，突破了教材的局限，首先把情景圖變為樹林圖，目的就是幫助學生輕松地把生活問題轉換成點子圖，并充分利用點子圖，幫助學生理解算理，掌握算法。在這個過程中，點子圖這個直觀模型成為了學生理解算理的橋梁，更成為學生思維受阻時思考的媒介、解決問題的工具，從而為學生后續的計算學習奠定了基礎。

（二）借助直觀模型，滲透轉化和數形結合的思想

兩位數乘兩位數的計算算理就是“乘法分配律”，基于這個算理基礎上的計算方法就是“分—乘—合”，這樣的一個過程，把舊知識就轉化為了新知識，這種轉化思想的滲透，因為直觀模型的介入顯得更加可以觸摸。與此同時，這個過程也是一個數形結合的過程，正因為對算理的理解輔以了圖形語言的支撐，數形結合的思想也就蘊含于其中。對這些思想和方法的感悟都將成為學生運算能力發展的重要基石。

（北京市朝陽區教育教學研究中心 100028

北京市朝陽區望京南湖東園小學 100102）endprint

3.在理解筆算算理的基礎上感受遷移、轉化的數學思想對知識學習的重要性。

四、教學過程

（一）出示信息，引入計算教學的研究

1.出示信息： 植樹節，同學們參加植樹活動，一共植樹多少棵？

2.仔細觀察，你知道了什么？

3.要想知道“一共有多少棵樹”，怎么辦？（23×12 12×23）

4.計算可以幫我們解決這個問題，你怎么想到用乘法計算啊？

小結：每行有23棵樹，就是一個23，有這樣的12行，就是有12個23。

（設計意圖：在現實生活情境中研究計算問題，能夠使學生深刻感受到學習計算的價值。同時，借助直觀的樹林圖，幫助學生再次回顧乘法的意義。為理解拆成幾個幾的學習奠定基礎。）

（二）借助直觀模型，理解算理，掌握算法

第一層次：理解算理。

1.出示研究問題：23×12得多少？同學們可以畫一畫、寫一寫自己的想法，也可以借助手中的學具圈一圈自己的想法，并把想法用算式表達出來。

2.反饋學生的想法：說說你們是怎么想的？

（1）反饋用口算解決的方法。

[方法一]分-乘：如23×3×4

監控：他是怎樣解決問題的？

評價：能夠把算式轉化為學習過的兩位數乘一位數的形式，解決問題。

[方法二]分-乘-合

第一類：拆成任意兩數，如：23×3=69 23×9=

207 69+207=276

監控：誰聽清楚了他的3和9是怎么來的？為什么后面還要加起來？這個學生也是拆，把新知識轉化為舊知識，他的計算和前面的有什么不一樣？

第二類：拆成整十數和一位數，如：23×10=230 23×2=46 230+46=276

監控：這個也是拆成兩個數以后再加，又和前面的同學有什么不一樣？

歸納方法：同學們借助點子圖不僅說清了自己口算的過程和方法，而且說明了計算的道理。這幾種方法有什么相同的地方？

小結：沒錯，他們都借助舊知識，嘗試利用“拆”的辦法把新知識轉化為舊知識來解決問題，這種方法在數學學習中很重要。

（設計意圖：借助直觀模型，理解不同算法的道理，與此同時滲透轉化的思想。）

（2）反饋用豎式計算的辦法。

預設：

重點問題監控：

①結合上圖說說你的算式是什么意思？

②算式中的每個數在圖中的什么位置，誰讀懂了，能來指指嗎？

③算式中的“+”在圖中的哪兒呢？它的任務是什么？

3.溝通聯系。

（1）就這個過程，你能否在前面見到的方法中找到它的“影子”？

（2）仔細觀察，你能把相應的算式和點子圖用線連起來嗎？

（3）觀察這3種表達方式，它們有著共同的過程，你發現了嗎？

小結：通過分的方式把12分成10和2，分別去乘23，最后把積加起來，就是最后的結果。（板書：分—乘—合）

（設計意圖：借助直觀模型，幫助學生理解乘法分配律在乘法豎式中的運用過程，通過圖形與符號的溝通和轉化，使學生充分理解兩位數乘兩位數的筆算道理，初步感受筆算的過程和方法，滲透轉化和數形結合的思想。）

第二層次：初步感知計算方法。

1.出示：你能說說你的計算過程是怎樣的嗎？

問題監控：

（1）先算的是什么？怎么算的？又算的是什么？怎么算的？

（2）3寫在哪位上？為什么？2呢？

（3）最后一步干什么？

2.誰能完整地說說計算過程。

3.出示右邊豎式：

他怎么和大家說的不太一樣？你覺得 這樣行嗎？

小結：為了書寫的簡潔，十位上的數

乘23，數位對齊后，0可以省略。

第三層次：鞏固算理，抽象算法。

1.求一共有多少棵樹，我們列出了12×23，除了可以分12，還可以分哪個數？

你能先在點子圖上分一分，再嘗試列豎式計算嗎？

2.展示學生的算式及圖。

預設圖一 預設圖二

（1）對照圖說一說每一步計算與圖的關系是什么。

（2）誰能完整地說說計算過程？

3.出示學生的錯例。

預設1： 預設2：

監控：

（1）你能結合上面的點子圖說說他們錯在哪里嗎？

（2）應該怎樣改正？

4.嘗試計算32×22。

小結：結合上面幾道題的計算，說一說，你是怎樣計算兩位數乘兩位數的？（學生敘述方法，教師用紅色筆和藍色筆標出箭頭）

（三）鞏固練習，拓展延伸

1.練習計算：22×34 42×21

2.快速判斷第二個因數是多少？

3.全課總結：這節課我們學習

了兩位數乘兩位數的筆算乘法，通過點子圖，我們不僅學會了計算的方法，更了解了這樣計算的道理，這對于我們今后的學習將起到重要的作用。

五、教學效果評價設計

把意思相同的算式和圖連起來。

（設計意圖：通過讓學生把豎式計算過程與點子圖連線的方式，再次檢驗學生對于算理的理解及算法的掌握。）

六、教學設計特色說明

（一）充分借助點子圖，幫助學生理解算理，掌握算法

在進行學情分析的過程中，發現直觀模型對于學生理解算理的作用，因此在進行教學設計時，突破了教材的局限，首先把情景圖變為樹林圖，目的就是幫助學生輕松地把生活問題轉換成點子圖，并充分利用點子圖，幫助學生理解算理，掌握算法。在這個過程中，點子圖這個直觀模型成為了學生理解算理的橋梁，更成為學生思維受阻時思考的媒介、解決問題的工具，從而為學生后續的計算學習奠定了基礎。

（二）借助直觀模型，滲透轉化和數形結合的思想

兩位數乘兩位數的計算算理就是“乘法分配律”，基于這個算理基礎上的計算方法就是“分—乘—合”，這樣的一個過程，把舊知識就轉化為了新知識，這種轉化思想的滲透，因為直觀模型的介入顯得更加可以觸摸。與此同時，這個過程也是一個數形結合的過程，正因為對算理的理解輔以了圖形語言的支撐，數形結合的思想也就蘊含于其中。對這些思想和方法的感悟都將成為學生運算能力發展的重要基石。

（北京市朝陽區教育教學研究中心 100028

北京市朝陽區望京南湖東園小學 100102）endprint

3.在理解筆算算理的基礎上感受遷移、轉化的數學思想對知識學習的重要性。

四、教學過程

（一）出示信息，引入計算教學的研究

1.出示信息： 植樹節，同學們參加植樹活動，一共植樹多少棵？

2.仔細觀察，你知道了什么？

3.要想知道“一共有多少棵樹”，怎么辦？（23×12 12×23）

4.計算可以幫我們解決這個問題，你怎么想到用乘法計算啊？

小結：每行有23棵樹，就是一個23，有這樣的12行，就是有12個23。

（設計意圖：在現實生活情境中研究計算問題，能夠使學生深刻感受到學習計算的價值。同時，借助直觀的樹林圖，幫助學生再次回顧乘法的意義。為理解拆成幾個幾的學習奠定基礎。）

（二）借助直觀模型，理解算理，掌握算法

第一層次：理解算理。

1.出示研究問題：23×12得多少？同學們可以畫一畫、寫一寫自己的想法，也可以借助手中的學具圈一圈自己的想法，并把想法用算式表達出來。

2.反饋學生的想法：說說你們是怎么想的？

（1）反饋用口算解決的方法。

[方法一]分-乘：如23×3×4

監控：他是怎樣解決問題的？

評價：能夠把算式轉化為學習過的兩位數乘一位數的形式，解決問題。

[方法二]分-乘-合

第一類：拆成任意兩數，如：23×3=69 23×9=

207 69+207=276

監控：誰聽清楚了他的3和9是怎么來的？為什么后面還要加起來？這個學生也是拆，把新知識轉化為舊知識，他的計算和前面的有什么不一樣？

第二類：拆成整十數和一位數，如：23×10=230 23×2=46 230+46=276

監控：這個也是拆成兩個數以后再加，又和前面的同學有什么不一樣？

歸納方法：同學們借助點子圖不僅說清了自己口算的過程和方法，而且說明了計算的道理。這幾種方法有什么相同的地方？

小結：沒錯，他們都借助舊知識，嘗試利用“拆”的辦法把新知識轉化為舊知識來解決問題，這種方法在數學學習中很重要。

（設計意圖：借助直觀模型，理解不同算法的道理，與此同時滲透轉化的思想。）

（2）反饋用豎式計算的辦法。

預設：

重點問題監控：

①結合上圖說說你的算式是什么意思？

②算式中的每個數在圖中的什么位置，誰讀懂了，能來指指嗎？

③算式中的“+”在圖中的哪兒呢？它的任務是什么？

3.溝通聯系。

（1）就這個過程，你能否在前面見到的方法中找到它的“影子”？

（2）仔細觀察，你能把相應的算式和點子圖用線連起來嗎？

（3）觀察這3種表達方式，它們有著共同的過程，你發現了嗎？

小結：通過分的方式把12分成10和2，分別去乘23，最后把積加起來，就是最后的結果。（板書：分—乘—合）

（設計意圖：借助直觀模型，幫助學生理解乘法分配律在乘法豎式中的運用過程，通過圖形與符號的溝通和轉化，使學生充分理解兩位數乘兩位數的筆算道理，初步感受筆算的過程和方法，滲透轉化和數形結合的思想。）

第二層次：初步感知計算方法。

1.出示：你能說說你的計算過程是怎樣的嗎？

問題監控：

（1）先算的是什么？怎么算的？又算的是什么？怎么算的？

（2）3寫在哪位上？為什么？2呢？

（3）最后一步干什么？

2.誰能完整地說說計算過程。

3.出示右邊豎式：

他怎么和大家說的不太一樣？你覺得 這樣行嗎？

小結：為了書寫的簡潔，十位上的數

乘23，數位對齊后，0可以省略。

第三層次：鞏固算理，抽象算法。

1.求一共有多少棵樹，我們列出了12×23，除了可以分12，還可以分哪個數？

你能先在點子圖上分一分，再嘗試列豎式計算嗎？

2.展示學生的算式及圖。

預設圖一 預設圖二

（1）對照圖說一說每一步計算與圖的關系是什么。

（2）誰能完整地說說計算過程？

3.出示學生的錯例。

預設1： 預設2：

監控：

（1）你能結合上面的點子圖說說他們錯在哪里嗎？

（2）應該怎樣改正？

4.嘗試計算32×22。

小結：結合上面幾道題的計算，說一說，你是怎樣計算兩位數乘兩位數的？（學生敘述方法，教師用紅色筆和藍色筆標出箭頭）

（三）鞏固練習，拓展延伸

1.練習計算：22×34 42×21

2.快速判斷第二個因數是多少？

3.全課總結：這節課我們學習

了兩位數乘兩位數的筆算乘法，通過點子圖，我們不僅學會了計算的方法，更了解了這樣計算的道理，這對于我們今后的學習將起到重要的作用。

五、教學效果評價設計

把意思相同的算式和圖連起來。

（設計意圖：通過讓學生把豎式計算過程與點子圖連線的方式，再次檢驗學生對于算理的理解及算法的掌握。）

六、教學設計特色說明

（一）充分借助點子圖，幫助學生理解算理，掌握算法

在進行學情分析的過程中，發現直觀模型對于學生理解算理的作用，因此在進行教學設計時，突破了教材的局限，首先把情景圖變為樹林圖，目的就是幫助學生輕松地把生活問題轉換成點子圖，并充分利用點子圖，幫助學生理解算理，掌握算法。在這個過程中，點子圖這個直觀模型成為了學生理解算理的橋梁，更成為學生思維受阻時思考的媒介、解決問題的工具，從而為學生后續的計算學習奠定了基礎。

（二）借助直觀模型，滲透轉化和數形結合的思想

兩位數乘兩位數的計算算理就是“乘法分配律”，基于這個算理基礎上的計算方法就是“分—乘—合”，這樣的一個過程，把舊知識就轉化為了新知識，這種轉化思想的滲透，因為直觀模型的介入顯得更加可以觸摸。與此同時，這個過程也是一個數形結合的過程，正因為對算理的理解輔以了圖形語言的支撐，數形結合的思想也就蘊含于其中。對這些思想和方法的感悟都將成為學生運算能力發展的重要基石。

（北京市朝陽區教育教學研究中心 100028

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