對(duì)“導(dǎo)數(shù)”演繹創(chuàng)新題的探究

曹新

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；導(dǎo)數(shù)；創(chuàng)新題

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6

〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）

08—0091—01

縱觀近五年高考數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)”章節(jié)的試題，不難發(fā)現(xiàn)試題立意樸實(shí)又不失新穎，選材源于教材而又高于教材，著重考查考生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，寬角度、多視點(diǎn)、有層次地考查了數(shù)學(xué)理性思維.例如，抽象函數(shù)的圖象與x軸及交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，抽象函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)問題.下面，筆者就對(duì)這個(gè)考點(diǎn)演繹的創(chuàng)新題進(jìn)行探究.

一、問題的基本圖解

■

圖4 直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)

由上述圖組不難得出，曲線y=f（x）與x軸（或直線）是否有交點(diǎn)或有幾個(gè)交點(diǎn)，都與曲線的極值有著緊密的聯(lián)系.

探究1（全國卷）已知函數(shù)f（x）=x3-x .

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，

f（t））處的切線方程；

（2）設(shè)a>0.如果過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：

-a

探究：（1）易知切線方程為：y=（3t2-1）x-2t3.

（2）如果有一條切線過點(diǎn)（a，b），則存在t，使得b=（3t2-1）a-2t3.于是，若過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=

f（x）的三條切線，則方程2t3-3at2+a+b=0 有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

令g（t）=2t3-3at2+a+b，則g′（t）=6t2-6at=6t（t-a）.

當(dāng)t∈（-∞，0） 和（a，+∞）時(shí)，

g′（t）>0，即g（x）單調(diào)遞增； 當(dāng)t∈（0，a）時(shí)，g′（t）<0，即g（t）單調(diào)遞減.

則g（t）極大值=a+b，而g（t）極小值=b-f（a）.要使g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，由上述圖1可得：g（x）極大值=a+b>0g（x）極小值=b-f（a）<0成立.

化簡整理得：-a

二、得出的重要結(jié)論

結(jié)論1：若曲線y=f（x）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，則曲線y=f（x）滿足條件：f（x）極大值>0f（x）極小值<0.

結(jié)論2：若曲線y=f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則曲線y=f（x）滿足條件：f（x）極大值>0f（x）極小值=0

或f（x）極大值=0f（x）極小值<0

結(jié)論3：若曲線y=f（x）的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則曲線y=f（x）滿足條件：f（x）極大值<0或f（x）極小值>0

探究2：已知函數(shù)f（x）=lnx，

g（x）=x.

（1）若x>1，求證：f（x）>2g（■）；

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程■g（x2）-f（1+x2）=k有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.

點(diǎn)評(píng)：（1）令F（x）=f（x）-2

g（■）=lnx-■，則F′（x）=■.

當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)′（x）=■>0.

∴F（x）在x∈[1，+∞）上是單調(diào)遞增的，故F（x）>F（1）=0.

∴f（x）>2g（■）.

（2）令h（x）=■g（x2）-f（1+x2）=■x2-ln（1+x2） .

則由h′（x）=■=■=0，得x1=-1，x2=0，x3=1.

當(dāng)x∈（-∞，-1）和（0，1）時(shí)，

h′（x）<0，即h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（-1，0）和（1，+∞）時(shí)，h′（x）>0，即h（x）單調(diào)遞增.

故h（x）極小值=h（-1）=h（1）=■-ln2，h（x）極大值=h（0）=0.

結(jié)合圖4，當(dāng)kh（x）極小值=■-1n2成立時(shí)，方程■g（x2）-f（1+x2）=k有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即k∈（■-ln2，0）.

？笙 編輯：謝穎麗

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；導(dǎo)數(shù)；創(chuàng)新題

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6

〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）

08—0091—01

縱觀近五年高考數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)”章節(jié)的試題，不難發(fā)現(xiàn)試題立意樸實(shí)又不失新穎，選材源于教材而又高于教材，著重考查考生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，寬角度、多視點(diǎn)、有層次地考查了數(shù)學(xué)理性思維.例如，抽象函數(shù)的圖象與x軸及交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，抽象函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)問題.下面，筆者就對(duì)這個(gè)考點(diǎn)演繹的創(chuàng)新題進(jìn)行探究.

一、問題的基本圖解

■

圖4 直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)

由上述圖組不難得出，曲線y=f（x）與x軸（或直線）是否有交點(diǎn)或有幾個(gè)交點(diǎn)，都與曲線的極值有著緊密的聯(lián)系.

探究1（全國卷）已知函數(shù)f（x）=x3-x .

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，

f（t））處的切線方程；

（2）設(shè)a>0.如果過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：

-a

探究：（1）易知切線方程為：y=（3t2-1）x-2t3.

（2）如果有一條切線過點(diǎn)（a，b），則存在t，使得b=（3t2-1）a-2t3.于是，若過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=

f（x）的三條切線，則方程2t3-3at2+a+b=0 有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

令g（t）=2t3-3at2+a+b，則g′（t）=6t2-6at=6t（t-a）.

當(dāng)t∈（-∞，0） 和（a，+∞）時(shí)，

g′（t）>0，即g（x）單調(diào)遞增； 當(dāng)t∈（0，a）時(shí)，g′（t）<0，即g（t）單調(diào)遞減.

則g（t）極大值=a+b，而g（t）極小值=b-f（a）.要使g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，由上述圖1可得：g（x）極大值=a+b>0g（x）極小值=b-f（a）<0成立.

化簡整理得：-a

二、得出的重要結(jié)論

結(jié)論1：若曲線y=f（x）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，則曲線y=f（x）滿足條件：f（x）極大值>0f（x）極小值<0.

結(jié)論2：若曲線y=f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則曲線y=f（x）滿足條件：f（x）極大值>0f（x）極小值=0

或f（x）極大值=0f（x）極小值<0

結(jié)論3：若曲線y=f（x）的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則曲線y=f（x）滿足條件：f（x）極大值<0或f（x）極小值>0

探究2：已知函數(shù)f（x）=lnx，

g（x）=x.

（1）若x>1，求證：f（x）>2g（■）；

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程■g（x2）-f（1+x2）=k有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.

點(diǎn)評(píng)：（1）令F（x）=f（x）-2

g（■）=lnx-■，則F′（x）=■.

當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)′（x）=■>0.

∴F（x）在x∈[1，+∞）上是單調(diào)遞增的，故F（x）>F（1）=0.

∴f（x）>2g（■）.

（2）令h（x）=■g（x2）-f（1+x2）=■x2-ln（1+x2） .

則由h′（x）=■=■=0，得x1=-1，x2=0，x3=1.

當(dāng)x∈（-∞，-1）和（0，1）時(shí)，

h′（x）<0，即h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（-1，0）和（1，+∞）時(shí)，h′（x）>0，即h（x）單調(diào)遞增.

故h（x）極小值=h（-1）=h（1）=■-ln2，h（x）極大值=h（0）=0.

結(jié)合圖4，當(dāng)kh（x）極小值=■-1n2成立時(shí)，方程■g（x2）-f（1+x2）=k有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即k∈（■-ln2，0）.

？笙 編輯：謝穎麗

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；導(dǎo)數(shù)；創(chuàng)新題

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6

〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）

08—0091—01

縱觀近五年高考數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)”章節(jié)的試題，不難發(fā)現(xiàn)試題立意樸實(shí)又不失新穎，選材源于教材而又高于教材，著重考查考生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，寬角度、多視點(diǎn)、有層次地考查了數(shù)學(xué)理性思維.例如，抽象函數(shù)的圖象與x軸及交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，抽象函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)問題.下面，筆者就對(duì)這個(gè)考點(diǎn)演繹的創(chuàng)新題進(jìn)行探究.

一、問題的基本圖解

■

圖4 直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)

由上述圖組不難得出，曲線y=f（x）與x軸（或直線）是否有交點(diǎn)或有幾個(gè)交點(diǎn)，都與曲線的極值有著緊密的聯(lián)系.

探究1（全國卷）已知函數(shù)f（x）=x3-x .

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（t，

f（t））處的切線方程；

（2）設(shè)a>0.如果過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：

-a

探究：（1）易知切線方程為：y=（3t2-1）x-2t3.

（2）如果有一條切線過點(diǎn)（a，b），則存在t，使得b=（3t2-1）a-2t3.于是，若過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=

f（x）的三條切線，則方程2t3-3at2+a+b=0 有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

令g（t）=2t3-3at2+a+b，則g′（t）=6t2-6at=6t（t-a）.

當(dāng)t∈（-∞，0） 和（a，+∞）時(shí)，

g′（t）>0，即g（x）單調(diào)遞增； 當(dāng)t∈（0，a）時(shí)，g′（t）<0，即g（t）單調(diào)遞減.

則g（t）極大值=a+b，而g（t）極小值=b-f（a）.要使g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，由上述圖1可得：g（x）極大值=a+b>0g（x）極小值=b-f（a）<0成立.

化簡整理得：-a

二、得出的重要結(jié)論

結(jié)論1：若曲線y=f（x）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，則曲線y=f（x）滿足條件：f（x）極大值>0f（x）極小值<0.

結(jié)論2：若曲線y=f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則曲線y=f（x）滿足條件：f（x）極大值>0f（x）極小值=0

或f（x）極大值=0f（x）極小值<0

結(jié)論3：若曲線y=f（x）的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則曲線y=f（x）滿足條件：f（x）極大值<0或f（x）極小值>0

探究2：已知函數(shù)f（x）=lnx，

g（x）=x.

（1）若x>1，求證：f（x）>2g（■）；

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程■g（x2）-f（1+x2）=k有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.

點(diǎn)評(píng)：（1）令F（x）=f（x）-2

g（■）=lnx-■，則F′（x）=■.

當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)′（x）=■>0.

∴F（x）在x∈[1，+∞）上是單調(diào)遞增的，故F（x）>F（1）=0.

∴f（x）>2g（■）.

（2）令h（x）=■g（x2）-f（1+x2）=■x2-ln（1+x2） .

則由h′（x）=■=■=0，得x1=-1，x2=0，x3=1.

當(dāng)x∈（-∞，-1）和（0，1）時(shí)，

h′（x）<0，即h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（-1，0）和（1，+∞）時(shí)，h′（x）>0，即h（x）單調(diào)遞增.

故h（x）極小值=h（-1）=h（1）=■-ln2，h（x）極大值=h（0）=0.

結(jié)合圖4，當(dāng)kh（x）極小值=■-1n2成立時(shí)，方程■g（x2）-f（1+x2）=k有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即k∈（■-ln2，0）.

？笙 編輯：謝穎麗