中學數學中發散思維能力的培養

王翠蘭

摘 要：數學教學實質上是數學思維的教學，思維能力的培養是數學學科實施素質教育的重要任務，發散思維直接關系到認識水平的提高，是認識深化的源泉，是提高學生素質的重要因素，與創造力培養有著密切關系，并被作為測定創造力的重要標志之一，加強發散思維能力的訓練是培養學生創造性思維的重要環節。

關鍵詞：中學數學；發散思維；轉化思想；變換思想；逆向思維

數學教學實質上是數學思維的教學，思維能力的培養是數學學科實施素質教育的重要任務，而創造性思維能力的培養尤為重要。創造性思維能力是以邏輯思維能力為基礎而又高于邏輯思維能力，是組織和改造先前已經獲得的知識，使之適合當前有關問題，從而解決問題的思維活動能力。創造性思維能力主要體現在發散思維能力和非邏輯思維能力兩個方面，其中發散思維是不依靠常規，尋求變異，從各個方面尋求答案的思維方式，其特征是個人的思維沿著許多不同的道路擴展，將觀念發散到各個有關方面。發散思維直接關系到認識水平的提高，是認識深化的源泉，是提高學生素質的重要因素，與創造力培養有著密切關系，并被作為測定創造力的重要標志之一，因此，加強發散思維能力的訓練是培養學生創造性思維的重要環節。

在中學數學教學中培養學生的發散思維主要從以下幾方面著手：

一、培養學生的轉化思想

轉化思想是數學中的重要思想，它是在探求使已知成立的必要條件和使結論成立的充分條件的過程中，使未知向已知轉化，使復雜向簡單轉化。掌握知識之間的縱向聯系和橫向聯系是完成這種轉化思想的必要的知識基礎。

中學數學的轉化思想主要表現在以下幾個方面：

1.條件的轉化

已知條件必包含著解決問題的要素，發掘隱含，使已知條件朝著有利于結論的方向轉化，促使問題解決。

2.結論的轉化

從結論入手，進行變換，追索結論成立的充分條件B1（X），再由B1（X）追索其成立的充分條件B2（X），如此繼續，直到找到真命題。常用的分析法便是如此。

3.命題形式的轉化

常見的有兩種情況，一是提出與原命題等價的命題，使求解目標變得簡單、明朗。二是提出原命題P的否定形式P，然后論證P為假，從而斷定P為真，這便是反證法。

4.數與形的轉化

具體地可將幾何問題采用代數、三角的方法求解；相反，有些代數問題又可以采用幾何方法，觀察其代數性質。

5.復雜向簡單的轉化

常用的變量代換可將高次函數（方程、不等式）化為低次式，將無理式化為有理式。通過變量的代換，起到媒介或傳遞作用，達到化難為易，化繁為簡的目的。代數中的輔助數列、輔助函數，三角中的輔助角，幾何中的輔助圖形，解析幾何中的坐標代換、參數方程等都是這種思想的產物。

6.空間向平面的轉化

立體幾何中，判定和證明空間的直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關系，計算空間圖形中的幾何量是兩類基本問題。正確揭示空間圖形與平面圖形的關系，并有效地實施空間圖形向平面圖形的轉化是分析和解決這兩類問題的關鍵。

7.各學科之間知識的轉化

將其他各學科問題轉化為數學問題，建立數學模型，采用數學方法解決問題，再將所得結論轉化為其他學科的結論，這正是數學的精髓和魅力之所在。

總之，中學數學研究的一切對象都可以置于“轉化”觀點下加以考查，轉化幾乎充滿了整個數學，中學數學的解題活動，本質上都是使問題向所求方向轉化，直至獲得解決。

二、培養學生的變換思想

培養學生的變換思想就是使學生克服禁止地、孤立地思考問題的習慣，訓練學生對相類似的問題從不同的角度、用不同的方法進行思維。

1.一題多變

對問題的條件進行發散，在問題的結論確定以后，盡可能變化已知條件，進而從不同的角度，用不同的知識來解決問題，這樣不僅可以充分揭示數學問題的層次，而且可以充分暴露學生自身的思維層次。對一道題的條件或結論在原有的基礎上進行變換，使學生能明確條件在推導結論的推理過程中的作用，以及結論是否可以加強、條件是否可以減弱等等，這樣有助于增強學生舉一反三、觸類旁通的解題能力。

2.一題多問

對問題的結論進行發散，在確定了已知條件后，沒有固定的結論，讓學生自己盡可能多地確定未知元素，并去求解這些未知元素。通過一題多問可以使學生在思考問題時逐步遞深，甚至可以使兩個毫無關系的結論統一到同一條件上來，增強學生的思維發散性。

3.一題多解

對解法發散，對同一道題運用不同的知識，從不同的角度，用不同的方法來解決問題。這樣可以增加學生發散思維的廣度，使不同的學科之間融會貫通，使所學知識形成系統，同時學生也受到了從不同角度去觀察思考問題、靈活地運用所學知識去解決問題的訓練。

4.一法多用

對命題的角度發散，對同一種方法運用不同的知識創設問題情境，解決不同學科和不同內容的問題，使這種方法達到熟練的程度，從而起到溝通知識引起多向思維的作用。

5.一圖多畫

對圖形進行發散，對各種條件的圖形用不同的形式把它們表示出來，使圖形中某些元素的位置不斷變化，從而產生一系列新的圖形。了解幾何圖形的演變過程不僅可以舉一反三、觸類旁通，還可以通過演變過程了解它們之間的區別與聯系，找出特殊與一般之間的關系。

6.一式多變

對式子進行發散，對某個式子進行多種變形。例如，在公式教學中，不僅要對公式的正用加以練習，還要對公式的逆用加以練習。這樣在解決具體問題時，才能在“一式多用”中靈活選擇恰當的公式變形，使問題得以解決。

總之，變換思想的價值就在于教會學生從不同角度觀察、思考問題，產生新的聯想，理出解決問題的思路。

三、加強逆向思維的培養

如果解題中順證有困難就考慮逆證，應用綜合法有困難就用分析法，證明可能性有困難就探求不可能性，這樣就可以克服正向思維所造成的解題方法的刻板和僵化。

在訓練學生的逆向思維時，應注意公式、法則、定義逆用教學，反面進行求解。如：采用“逆向填空練習”“倒過來想”“反面推想”等練習形式，培養學生逆用公式、法則、定理的能力。

培養學生的發散思維能力，要適時打破思維定勢，克服負遷移。同時，在思維發散后必須給予恰當的評價，分析各種方法的優缺點，通過比較使大家的思維活動聚斂到最佳路線上來，這一選擇，乃是思維從發散到集中的轉化契機，是創造性思維的關鍵。

編輯 曾彥慧