在高中數學中合情推理的應用

摘 要： 隨著我國數學教育界對數學基礎教育階段的反思，逐漸認識到合情推理在高中數學學習中的重要性，并意識到在數學教育中，應強調的是合情推理的運用意識.本文主要介紹了合情推理在高中代數數學學習中應用。

關鍵詞： 情推理；高中數學學習；具體應用

中學代數研究的基本課題是初等代數、集合論和組合數學初步。在中學代數中，初等代數主要包括數系、解析式、方程、不等式、函數與數列等內容；集合初步主要指集合的概念和運算；組合初步則包括排列組合、二項式定理。由于我們這里的研究將高中數學分成了代數、幾何、概率與統計和微積分，組合數學初步則是概率與統計學習的基礎知識，從而將組合數學的學習分到概率與統計學習中去。以此可以發現在教材中高中代數內容分布在必修與選修兩類課程中，在必修課程中，代數主要分布在數學1、數學4和數學5中，其中具體包括集合、函數的概念與基本初等函數（指數函數、對數函數、冪函數）、算法的初步、基本初等函數（三角函數）、三角恒等變換、數列、不等式等容；在選修課中，代數主要分布于選修系列1和選修系列2中，具體包括常用邏輯用語、計數原理、數系擴充與復數的引入等。高中代數的學習有幾條主線的學習如集合、函數與方程、數列等，在這里就圍繞著合情推理在這幾條主線學習中的應用進行研究。

一、合情推理在集合學習中的應用

高中代數中集合的學習主要是學習其集合的含義、分類與表示法，集合的三要素，集合間的關系與集合的基本運算。集合的學習是集合語言的學習，集合的含義和三要素的學習只要求學生了解和能夠判斷集合，通過觀察具體的實際例子歸納得到的，在這里可以運用合情推理中歸納推理學習從而加深對集合概念與性質的具體認識。而集合間的關系與集合的基本運算則可以通過類比于數的關系與基本運算進行學習。例1，兩個集合的包含關系的學習。在學習集合學生可以通過類比將集合類比于實數進行學習，在這里兩個集合的包含關系可以類比于實數進行學習。

二、合情推理在函數與方程學習中的應用

函數與方程的學習主要是通過具體實例歸納出函數的本質，從而解決函數是什么，最后總結函數是怎么表示和有什么性質的問題。函數的學習是高中代數學習的重要主線，函數思想是貫穿著整個高中數學課程的重要思想，因此函數的學習是高中數學學習的重點中的重點。函數的概念的理解是最難點，函數概念的學習可以應用合情推理進行學習，類比初中函數的概念進行學習，在后面學習映射可以通過函數概念的類比拓展進行學習，在進行映射學習是也可運用類比于函數進行學習。在教材中其基本初等函數的學習即指數函數，對數函數，冪函數，三角函數，其學習過程均是根據定義，畫出圖像，通過圖像歸納出性質，然后加以應用從而形成完整的知識體系。學生在學習指數函數的概念時可以通過觀察多個函數并根據這些多個函數的共同點從而學習并歸納得到的指數函數的基本概念，其圖像性質的學習是通過具體的例子歸納得到的，是特殊到一般的過程，其整個學習中都可以貫穿合情推理的應用。結合對數與指數的關系，學生可以通過類比推理的方法得出對數的運算及對數函數的圖像性質，而冪函數和三角函數的學習也可以通過類似的學習方法得到。函數的學習是復雜的，難懂的，合情推理的應用可以幫助學生有效地鞏固，條理清晰地去理解所學的知識。通過合情推理的應用從而形成具體到一般，特殊到特殊的數學思想。例2，冪函數概念的學習。①給出一些函數：y=x，y=x2， ，y=x3， 。②觀察和分析這一組例子并發現其共同成分：都是函數；均是以自變量為x底的冪；指數為常數；自變量的系數1。③歸納猜想得出其一般模式：y=xa，a是常數④給出冪函數的定義：一般地，函數y=xa叫做冪函數，其中是x自變量，a是常數。

三、合情推理在數列學習中的應用

數列的學習主要是圍繞著兩個最基本的問題進行學習，即數列的通項公式與前項和的公式，最常見最基本的數列又是等差數列和等差數列。新課程標準對數列的學習要求是要求學生通過具體例子理解等差數列、等比數列的概念中并探索推導出其通項公式和求和公式，并能具體的應用。在這部分內容學習中，歸納推理常常用于數列的通項公式的探索與發現過程，同時類比推理也常常應用于等差數列，等比數列的概念與有關性質的學習。在學習過程中將等差數列與等比數列進行不斷類比從而可以鞏固知識。例3，利用等差數列的性質類比來發現與學習等比數列的性質。下面是等差數列類比推廣猜想等比數列若干性質：①等差數列中的每一項，是它前后距離相等兩項的“等差中項”，即2at=at+5+at-5類比推廣可以得到等比數列的的每一項，是它前后距離相等兩項的“等比中項”，即b2t=bt-5×bt+5②從等差數列中任取間隔相等的項組成的數列：at，at+s，at+2s仍然構成一個公差為sd，此時d是{an}的公差的等差數列，類比猜想可以發現得到從等差數列中任取間隔相等的項組成的數列：bt，bt+s，bt+2s可以構成一個公比為qs，此時q是{bn}的公差的等差數列。③從等差數列中任取項數相等的兩組數，且在兩組數中各項下標和相等，則這兩組之和相等即at1+at2+at3=as1+as2+as3（t1+t2+t3=s1+s2+s3），類比推廣猜想從等比數列中任取項數相等的兩組數，且在兩組數中各項下標和相等，則這兩組之積相等即bt1·bt2·bt3=bs1·bs2·bs3（t1+t2+t3=s1+s2+s3）

例4，公式 = 和 = 的學習。分析上式我們可以類比聯想到前面學習公式后探索出下表：

觀察上表我們發現前五列，每列的第三行的數是第一行的所對應的數的平方，由此我們可以歸納猜想得到第N列的第三行的數是第一行的所對應的數的平方。歸納猜想得到：13+23+33+…= （并且上面的猜想結果可以通過理論上的證明，再此就不做介紹了）

觀察上表我們可以得到下表：

歸納猜想得到

由此

（并且上面的猜想結果可以通過理論上的證明，再此就不做介紹了）

參考文獻

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