“積型”不等式的幾種求解策略

摘 要：解決“積型不等式”（即連乘積型不等式）一直是一個(gè)棘手問題. 項(xiàng)數(shù)較少的積型不等式，我們可以考慮“暴力”方式，即將乘積項(xiàng)打開處理，但項(xiàng)數(shù)較多時(shí)這種方式操作實(shí)難進(jìn)行. 本文通過實(shí)例對這一類不等式的解決提供幾種解決策略.

關(guān)鍵詞：積型不等式；重要不等式；局部不等式；導(dǎo)數(shù)；調(diào)整法

利用重要不等式處理

與大多數(shù)不等式問題一樣，積型不等式的處理首選依然是重要不等式. 在諸多重要不等式中存在著連乘積的結(jié)構(gòu)，比如：平均值不等式、赫爾德不等式、卡爾松不等式等等. 基于不等式結(jié)構(gòu)特征，我們可以將這類不等式問題通過適當(dāng)變形直接借用重要不等式處理.

例1 （2014年北約自招試題）已知x1，x2，…，xn是滿足x1x2…xn=1的正數(shù)，

求證：（+x1）（+x2）…（+xn）≥（+1）n.

證明：由平均值不等式得：

++…+≥（1）

++…+≥（2）

由（1）+（2）即可得證.

注：本題可推廣為：設(shè)ai，bi>0，則（a+b）（a+b）…（a+b）≥（a1a2…an+b1b2…bn）n，其中當(dāng)且僅當(dāng)==…=時(shí)取等.

例2 已知ai>0，i=1，2，·…，n，且a1+a2+…+an=1，對任意正整數(shù)k，求證：

a+

·

a+

…

a+

≥

nk+

.

證明：構(gòu)造矩陣a

a

…a

，則由卡爾松不等式可得：

a+

a+

…

a+

≥（a1a2…an）

+ [1][（a1a2…an）]n. （1）

又由a1+a2+…+an=1及n元均值不等式可得：≤<1. （2）

故由（1）（2）可得：

a+

a+

…

a+

≥

nk+

.

利用導(dǎo)數(shù)處理

利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是處理函數(shù)極值問題的強(qiáng)有力的“武器”，積型不等式可以通過取對數(shù)的方式“化積為和”，適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)尋找極值便于解決問題.

例3 設(shè)ai>0，ai=1（n∈N*，n≥2），求證：≥

. （Klamkin不等式）

證明：原不等式?ln≥nln.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln

-

x-

（0

當(dāng)00，則f（x）≥f

=ln，

故當(dāng)0

-

x-

≥ln恒成立，當(dāng)x=時(shí)，“=”成立.

又ai=1，從而有l(wèi)n≥nln成立，因此原不等式成立.

利用局部不等式處理

局部不等式是處理和式不等式的一種常用手段，這種由局部推整體的思想亦可在積型不等式中使用.

例4 （第53屆IMO試題）設(shè)正整數(shù)n≥3，正實(shí)……