數學解題的發現美與策略美

摘 要：本文從一道不等式例題出發，得出“以退求進 ”策略是發現數學類比題的重要工具，并在此基礎上探討了數學解題的發現美與策略美.

關鍵詞：以退求進；策略美；發現美；柯西不等式

數學美就是數學的優美感，龐加菜說：“數學的優美感，不過就是問題的解答適合我們心靈需要而產生的一種滿足感，正因為這種適應性，這個解答可能成為我們的一種工具，所以這種美學上的滿足感是和思維、結構緊密相關的.” 發現美與策略美都是數學美的基本表現形式.

“以退求進”策略是發現數學類比題的重要工具

例1 a，b，c，d，e均為正數，

求證：++++≥a+b+c+d+e.

分析：若讀者不會證明它，可以“以退求進” 地構造其簡化類比題，以求得發現新的解題方法. 華羅庚教授說過：“要善于退，足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方是學好數學的一個訣竅.”

例2 a，b，c均為正數，求證：++≥a+b+c.

求證式的左邊三個分式都是輪換對稱式， 左邊每一個分式， 還有什么特點？對照左邊， 右邊需要學生有豐富的想象力，愛因斯坦說：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉，嚴格地說，想象力是科學研究中的實在因素.” 左邊每一個分式，只含兩個字母， 而與第三個字母無關. 為了用“局部激活整體” 的策略， 可將不等式的右邊分解為三個同型項：a+b+c=++， 觀察不等式的兩邊， 只需證明一個不等式≥?2（a2+b2）≥（a+b）2. 這可追溯到均值不等式的最簡單情形，a2+b2≥2ab?（a-b）2≥0， 這一證明“非同小……