通過數學模型培養學生解決問題的能力

摘 要：無論是數學研究，還是數學學習，其目的之一是將數學運用于實踐。社會并不只是需要數學家，而是需要大量善于運用數學知識和數學的思維方法來解決實際問題的各種人才，而運用數學知識解決實際問題是通過數學模型這個橋梁來實現的。因此，中學數學教師要了解什么是數學模型，在教學過程中要重視培養學生的模型思想，指導學生利用數學模型解決實際問題以培養適應時代發展的人才。

關鍵詞：問題解決；模型思想；數學教學

當今是數學被廣泛應用的時代。隨著社會的發展和科技的進步，特別是信息時代的到來，數學模型的地位也得到顯著提高，數學模型不僅是數學學科的背景材料，它已成為人們改造自然的一種技術。

一、什么是數學模型

數學模型乃是問題從數學角度的抽象化。一般說來，一個有價值的問題，通過分析、求解、研究，都會抽象成一個數學模型，成為一類問題求解的模式。廣義地理解，一切數學概念、法則、公式、定理、數量關系、數學事實（各種方程、函數式等）都可以稱之為數學模型。

數學思想方法是人們研究數學、應用數學、解決問題的重要策略。而建立數學模型，研究數學模型，正是問題解決的中心環節，是決定問題解決程度的關鍵。當年，瑞士大數學家歐拉面對哥斯尼堡“七橋問題”時，巧妙地將陸地看成點，將橋看成線，把實際問題轉化為點線相連的數學一筆畫問題。通過對所構建的模型的研究，最終解決問題，正是這一過程的絕好例證。

數學模型是數學基礎知識與數學應用之間的橋梁，建立和處理數學模型的過程，就是將數學理論知識應用于實際問題的過程。建立模型更為重要的是，學生能體會到從實際情境中發展數學、獲得再創造數學的絕好機會。在建立模型、形成新的數學知識的過程中，學生更能體會到數學與自然和社會的天然聯系。因而，在數學教學中，讓學生從現實問題情境中學數學、做數學、用數學應該成為我們的一種共識，只有這樣，數學教學中的“問題解決”才能有相應的環境與氛圍。

二、教學中培養學生的模型思想

學生在學習數學知識和應用數學知識的過程中往往無意識地用很多數學模型來解題。比如：在一個小學生的頭腦里，由于他解過許多算術應用題，因此已形成了相當多的數學模型。當教師向他提出一個算術題的時候，他略加思索，會馬上告訴教師，可以如此這般地求解，并列出算式。如果教師的問題超出了他的知識范圍，他從自己的模型庫中找不到相應的模型，而他又學得不夠靈活，他就會說“沒學過”；如果他的思維靈活敏捷，他就會變通自己的模型來求解。中學生的頭腦里儲存了更多的數學模型，如“方程模型”“函數模型”“不等式模型”“全等模型”“相似模型”“面積模型”“幾何圖形模型”等。當他們面對一個問題時，會迅速巡檢自己的模型庫。如果找不到可直接應用的模型，他們會通過式子變化、參數代換、引輔助線、對問題進行等價變換等，將之轉變為已有的模型來求解。

學生既然自己也能無意識地利用數學模型，教師何不加以有意識的指導，以培養學生的模型思想呢？比如：在講解實際問題時，不要只分析解題過程，多講一些解題過程的解題方法及形成解題方法的思路，方法中應用了所學過的哪一數學模型，用這一模型還能去解決什么問題等。

三、培養學生應用自己的數學模型解決實際問題

數學模型不同于一般的模型，它是用數學語言模擬現實的一種模型，即把一個實際問題中某些事物的主要特征、主要關系抽象成數學語言，近似地反映客觀事物的內在聯系與變化過程。建立數學模型的過程就稱為數學建模。數學建模的思維過程可分四個步驟：實際問題—→數學模型—→數學的解—→實際問題的解決。

數學模型呈現的形式是多種多樣的，有的以函數顯示，有的以方程顯示，也有的以圖形顯示，當然還有其他各種形式的模型。

例題：如右圖，在鐵路a的同側有兩個工廠A，B，要在路邊建一個貨場C，使A，B兩廠到貨場C的距離和最小，在圖上作出點C。

1.思路分析

[A，B在直線a同側，在a上求點C使CA-CB最小][A′，B在直線a同側，在a上求點C使CA′+CB最小][A′B交直線a于點以，則CA′+CB最小][C點即為所求][返回原題][對稱變換]

2.利用例題變式，滲透模型思想方法

變式1：A，B為直線a同側的兩個點，試在a上求C，D兩點，使CD=b，且使折線ACDB為最短。

變式2：河的兩岸成平行線，A，B分別為河兩側的兩個點，問應在何處建橋（橋應垂直于河岸），才能使從A至B的路程最短？

數學模型的價值體現在建立模型及以此去解決實際問題的過程之中，教師應該去培養學生的模型思想，讓學生去創造并應用數學模型。如果將數學模型變成僵化的、僅供學生機械記憶的材料，那么它將失去意義，也就沒有生命力了。

參考文獻：

[1]楊世明，王雪琴.數學發現的藝術[M].青島：青島海洋大學出版社，1998.

[2]沈文選.中學數學思想方法[M.]長沙：湖南師范大學出版社，1999.

[3]毛永聰.思維訓練方案[M].北京：學苑出版社，1999.