關(guān)于人大版《微積分》教材的幾點(diǎn)建議

摘 要：微積分是大學(xué)課程的一門(mén)基礎(chǔ)課程，也是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。中國(guó)人民大學(xué)出版社出版的趙樹(shù)嫄老師主編的《微積分》是一本實(shí)用性強(qiáng)、難易程度適中的教材，非常適合財(cái)經(jīng)類(lèi)學(xué)生使用。但教材中存在一些不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤胶鸵恍┟黠@的印刷錯(cuò)誤。本文就人大版教材中存在的這些問(wèn)題給予指正。

關(guān)鍵詞：《微積分》；高等數(shù)學(xué)；教材

中國(guó)人民大學(xué)出版社出版的趙樹(shù)嫄老師主編的《微積分》教材歷時(shí)久遠(yuǎn)、使用廣泛，深受廣大讀者的歡迎，是教育部推薦教材，也是很多讀者的選擇。直至目前，它仍保持很大的年度發(fā)行量。雖然經(jīng)過(guò)了兩次修訂，但書(shū)中仍有若干敘述不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)沒(méi)有得到及時(shí)修改。本文將這些內(nèi)容一一指出，僅供編者修訂時(shí)參考。

1.（62頁(yè)）定理2.4的證明過(guò)程中“取M=|A|+1”不完全正確

答：因?yàn)楸緯?shū)講解了兩種變量f(n)和f(x)，在三種變化過(guò)程中，即f(n)在n→∞時(shí)及f(x)在x→∞或x→x0時(shí)的極限問(wèn)題。對(duì)于第一種情況本定理的證明過(guò)程中取M=|A|+1不完全正確，而對(duì)于第二種和第三種情況，函數(shù)f(x)是局部有界的。下面我們給出這三種情況的詳細(xì)證明過(guò)程。

（1）若[lim][n→∞]yn=A，則對(duì)于ε=1>0，存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有|yn-A|<1成立，即|yn|<|A|+1（只對(duì)于n>N項(xiàng)才成立），取M=max{|y1|，|y2|…，|yN|，|A|+1}，則恒有|yn|

（2）若[lim][n→∞]f(x)=A，則取M=|A|+1，對(duì)于ε=1>0，存在B>0，當(dāng)|x|>B時(shí)，有|f(x)-A|<1成立，即|f(x)|<|A|+1=M。

（3）若[lim][n→∞]f(x)=A，則取M=|A|+1，對(duì)于ε=1>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，有|f(x)-A|<1成立，即|f(x)|<|A|+1=M。

2.（80頁(yè)）“等價(jià)無(wú)窮小代換，只能用于乘除運(yùn)算，對(duì)加減…….”可以改為“等價(jià)無(wú)窮小代換，只能用于乘除運(yùn)算和冪運(yùn)算，對(duì)加減……”

3.（109頁(yè)）“f′(0)=[lim][x→0+]，f(0)=[lim][x→0+]”中“x→0+”應(yīng)改為“Δx→0+”“x→0-”應(yīng)改為“Δx→0-”。

4.（141頁(yè)）習(xí)題三（A）34題f(x)x2-1 x≤1

ax+b x>0應(yīng)改為

f(x)=x2-1 x≤1

ax+b x>1

5.（162頁(yè)）“如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)f′(x)≥0（或f′(x)≤0），但等號(hào)只在個(gè)別點(diǎn)處存在…”中“個(gè)別點(diǎn)”可以改為“有限個(gè)點(diǎn)”，具體可以參考同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》第五版。

6.（214頁(yè)）例10的求解中設(shè)x=asintt∈

-，

，這里t∈

-，

不正確。答：因?yàn)楸绢}中要求a2-x2≥0，即-a≤x≤a。令x=asint，則-a≤asint≤a，即-1≤sint≤1，取主值段

-，

。又因?yàn)樵诘诙?lèi)換元法中，我們令x=φ(t)且要求φ′(t)≠0。所以φ′(t)=acost≠0，即t≠±，所以t∈（-，）。具體請(qǐng)參考同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)》第五版。

7.（234頁(yè)）“有限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可積的…”中“有限區(qū)間”應(yīng)改為“閉區(qū)間”。例如，f(x)=在有限區(qū)間(0，1]上是廣義積分并且是發(fā)散的，顯然不可積。具體可參考本書(shū)258頁(yè)例5。

8.（248頁(yè)）第三行應(yīng)改為“=dt-sinxdx”。

9.（259頁(yè)）第14行“[0，1]”應(yīng)改為“(0，1]”。因?yàn)棣：瘮?shù)中要求r>0。

10.（323頁(yè)）“二元函數(shù)z=f(x，y)的定義域在幾何上表示坐標(biāo)平面上的一個(gè)平面區(qū)域”表述不準(zhǔn)確。

答：因?yàn)殚_(kāi)域、閉域，或者開(kāi)域連同其一部分分界點(diǎn)所成的點(diǎn)集，統(tǒng)稱(chēng)為區(qū)域，所以區(qū)域必具有連通性。所謂連通性，即E中任意兩點(diǎn)之間都可用一條完全含于E的有限折線（有有限條直線段連接而成的折線）相連接。但我們知道并不是所有的二元函數(shù)的定義域都具有連通性。例如z=的定義域?yàn)閧（x，y）|xy>0}，如圖所示。顯然對(duì)于一三象限內(nèi)的任意兩個(gè)點(diǎn)都不能用有限條線段連接，所以它不具有連通性，因此這個(gè)二元函數(shù)的定義域不是一個(gè)區(qū)域。有關(guān)詳細(xì)內(nèi)容可以參考華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《數(shù)學(xué)分析》。

11.（337頁(yè)）例3的證明過(guò)程中（B）式應(yīng)改為“xy=y2+x2yφ′(xy)”。

以上內(nèi)容是作者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的人大版《微積分》教材中存在的一些問(wèn)題，現(xiàn)按照《微積分》（第三版）（2010年12月第9次印刷）頁(yè)碼順序依次列出，僅供編者參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙樹(shù)嫄.微積分（第3版）[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2007.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]王鳳鳴，李世紀(jì).關(guān)于人大版《微積分》教材的幾個(gè)問(wèn)題[J].南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，8（6）.