現(xiàn)代數(shù)學在機構學研究中的作用與影響

摘 要：進入21世紀，機構學就成為一門獨立的科學，其研究也迎來了嶄新的一頁，而數(shù)學一直在機構學研究中發(fā)揮著重要作用。尤其是機構學從傳統(tǒng)階段發(fā)展到現(xiàn)代階段，對其創(chuàng)新設計要求也愈來愈高，數(shù)學的作用也變得越來越重要。本文以現(xiàn)代機構學應用領域較為活躍的數(shù)學工具——旋量理論和微分流形為例，簡述現(xiàn)代數(shù)學在機構學研究中所起的作用和對中國機構學發(fā)展的影響，展望現(xiàn)代數(shù)學在未來機構學研究中的優(yōu)異前景。

關鍵詞：機構學；現(xiàn)代數(shù)學；旋量理論；微分流形

一、微分流形與旋量理論概述

1.微分流形

微分流形，也稱光滑流形，或稱C∞-微分（可微）流形，是指一個被賦予了光滑結構、帶有微分結構的描述自然現(xiàn)象的一種拓撲流形。其類型可分為可維映射，映射的微分和子流形（一般的，如果不特指，微分流形指的就是C∞類的微分流形）。

假設r是自然數(shù)，如果滿足以下的條件：

（1）M豪斯多夫空間。

（2）m維坐標鄰域覆蓋M；【存在M的m維坐標鄰域族{Uα，φα}α∈A，使得M=Uα∈AUα】。

（3）任意的α，β∈A，都滿足Uα∩Uβ≠#981;，定義坐標變換φβοφα-1:φα（Uα∩Uβ）[→]φβ（Uα∩Uβ）為Cr映射（光滑映射）；則 被稱為是m維Cr可微流形（光滑流形）。

常見的微分流形主要包括流形、流形上的積分、切問題、外微分形式圓與歐幾里得空間等概念，歐幾里得空間、李群（具有代數(shù)群結構的微分流形并且是無線可微的）等就是一種特殊的微分流形。

而要研究流形，陳省身教授指出，要研究整個流形，流形論的基礎便成為必要。其研究的主要目的是經(jīng)過坐標卡變換而保持不變的性質，這也是與一般數(shù)學不相同的地方。隨著數(shù)學的發(fā)展和成熟，他提出，傳統(tǒng)的實數(shù)或附屬空間只是局部的情形（雖然在許多情形下它會是最重要的情形），將來數(shù)學研究的對象必然是流形。

2.旋量理論

旋量理論又叫狄拉克旋量，最早由狄拉克提出狄拉克方程引入。旋量又稱為“螺旋”，是同時表示矢量的方向和位置的一組對偶矢量。它與微分幾何、李群李代數(shù)純代數(shù)有差別。旋量既可以表示運動學中角速度和線速度，又可以表示剛體力學中的力和力矩，還可以由對應的角動量來表示。具有物理意義明確、幾何概念清楚、代數(shù)運算方便、理論難度也不是很高等優(yōu)點。

我國研究與應用旋量理論最早的學者是黃真教授，他在專著中系統(tǒng)地介紹了旋量理論及它在機構學中的應用，極大程度上促進了旋量理論在機構學領域的發(fā)展。

3.旋量理論與微分流形之間的聯(lián)系

根據(jù)上面我們已經(jīng)明確微分流形和旋量理論的概念，知道了微分流形和旋量理論在研究對象上是相輔相成、互相映射的。

最早出現(xiàn)用李群李代數(shù)來系統(tǒng)描述剛體運動是在1978年，當時指出剛體運動的位移空間滿足李群的代數(shù)結構，但是由于剛體運動具有有限運動的特性，因此隨后指出位移群是在剛體位移層面（連續(xù)或有限運動范疇）上進行操作的，很難描述剛體運動與力之間的關系。然而值得慶幸的是，旋量（物理量）理論從速度層面（瞬間或微小運動范疇）上描述剛體運動，并與力建立了有機聯(lián)系，提出了運動與力之間的議題，解決了之前僅僅從位移層面研究剛體運動碰到的難題。所以，從物理上講，微分流形和旋量理論都是從不同層面上與數(shù)學中某種位移群的李代群聯(lián)系在一起，兩者之間是相互映射、互相彌補的。

二、現(xiàn)代數(shù)學在機構學中的典型應用

1.結構分析與綜合

機構學是研究機械中機構的結構與運動等問題的學科，是機械原理的主要分支，是研究各種機械中有關機構的結構、運動和受力等共性問題的一門學科。

結構分析是很重要的，而創(chuàng)新是當今社會炙熱話題，所以要設計出合理、新穎的機構，不僅要有豐富的實踐經(jīng)驗，更要明確其組成原理，而結構分析的目的就是了解各種機構的組成及其對運動的影響。

結構綜合是機構綜合的組成部分之一，包括數(shù)綜合和型綜合。數(shù)綜合用于研究滿足一定的機構自由度前提下，機構將由幾個構件和運動組成的問題。型綜合用于解決在一定數(shù)目的構件和運動副的條件下可以組成多少種型式機構的問題。結構綜合的最終目的是要解決機構選型問題。但迄今為止，機構選型還沒有形成一種比較普遍適用和系統(tǒng)化的原則和方法，尚需要進一步深入研究。

2.性能分析與評價

我們知道，機構分析的目的在于掌握機構的組成原理、運動和動力性能，以便準確地使用現(xiàn)有機構并充分發(fā)揮其效能，抑或為驗證和改進設計提供依據(jù)。

歷經(jīng)30年的發(fā)展，較傳統(tǒng)機構學而言，現(xiàn)代機構學具有以下特點：機械產品的概念、方案和創(chuàng)新設計中得到廣泛應用；機構輸出柔化性和可控性方面得到提高，機構和機器設計理論和方法上更加智能化、系統(tǒng)化和適用化，更加注重考慮動態(tài)分析和設計，微機構的應用上開辟了新途徑，仿生機械學的開發(fā)和應用，機電一體化技術的發(fā)展設計，新型機構的創(chuàng)造等應用。

總之，相比于傳統(tǒng)的機構學，現(xiàn)代機構學的發(fā)展是必然的。

雖然現(xiàn)代數(shù)學在某些方面有廣闊的前景，但是在一些方面仍有些許不足。所以，創(chuàng)新和完善它們的機構設計和綜合方法很有必要。但是，我們也不能忽略對典型的傳統(tǒng)機構進行深入研究，因為它不僅僅有利于推動現(xiàn)代機構學的發(fā)展，而且現(xiàn)代機構學本身就是在傳統(tǒng)機構學的基礎上發(fā)展起來。

三、現(xiàn)代數(shù)學對中國機構學研究的作用

1.中國機構學研究的里程碑

18世紀下半葉，第一次工業(yè)革命促進了機械工程學科的迅速發(fā)展，機構學在原來機械力學基礎上發(fā)展成為一門獨立的學科。18世紀末至19世紀初，羅蒙諾索夫、歐拉等幾何學家和力學家的著作奠定了機構綜合理論的基礎。到了19世紀后半期，逐步形成了以巴默斯特爾、勒洛為代表，建立在運動幾何學基礎上的幾何學派和以切比雪夫為代表建立在函數(shù)逼近論基礎上的代數(shù)學派。到了20世紀70年代，日本提出了“機電一體化”定義出機械電子學新概念，與此同時，美國則提出是由“計算機信息網(wǎng)絡協(xié)調與控制的”。所以“現(xiàn)代機械”概念的形成是機構學發(fā)展的一個新的里程碑。

2.國家自然科學基金委員會的資助分析與成效

機構學同其他基礎科學一樣，是一門具有較大深度和難度的探索性學科，需要較扎實的積累基礎。它的研究是一個艱苦的歷程，往往需要多年乃至幾代人的努力才能探索出來。其研究成果貫穿著整個機械工程。據(jù)統(tǒng)計，國家自然科學基金委員會在1986至2011年機構學這一學科的各個項目資助約400項，其中涉及運用現(xiàn)代數(shù)學工具解決機構學問題的項目有50多項。在國家自然科學基金委員會的支持下，中國機構學在各個研究方向、各個階段上所取得的成果大都與數(shù)學工具密不可分，而近幾年來發(fā)表的高水平學術論文，大多數(shù)都是采用數(shù)學工具解決機構學難題。

四、結語

隨著科學技術的飛速發(fā)展，歷經(jīng)30年的發(fā)展后，機構學已經(jīng)由傳統(tǒng)的結構學、運動學和動力學的理論，發(fā)展成現(xiàn)代一門研究廣義機構的功能、類型、工作原理的基礎技術學科。伴隨著傳統(tǒng)機構學的發(fā)展與成熟，現(xiàn)代機構學在很多特殊領域都發(fā)揮著重要的作用，如仿生機械的應用和發(fā)展、深海海底作業(yè)的機器人、宇宙飛船上用于收回衛(wèi)星的機械臂、腹腔內進行外科手術的手術刀等。而機構學本身就是一門應用性很強的學科，我們必須認清這種發(fā)展趨勢和機構學發(fā)展的重要作用，致力于現(xiàn)代數(shù)學對機構學的應用和發(fā)展，相信伴隨著應用而產生的機構學將更加輝煌。

參考文獻:

[1]鄒慧君，郭為忠，田永利.加強現(xiàn)代機構學的研究，推動機械產品創(chuàng)新設計的發(fā)展[J].機械設計與研究，2001（1）:10-12.

[2]溫詩鑄，丁建寧.微型機械設計基礎研究[J].機械工程學報，2000（7）:39-42.

[3]高峰.機構學研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢的思考[J].機械工程報，2005，41（8）：3-17.

[4]鄒慧君，高峰.現(xiàn)代機構學進展[M].北京：高等教育出版社，2007.

[5]國家自然科學基金委員會工程與材料科學部.機械工程學科發(fā)展戰(zhàn)略報告（2011-2020年）[M].北京：科學出版社，2010.