新課改背景下數學課堂的若干思考

【摘 要】以“用二分法求方程的近似解”教學設計為例，對新課改背景下的數學課堂進行思考。

【關鍵詞】新課改 數學課堂 二分法 教學設計

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）04B-0030-04

新課改背景下，數學課堂在發生變化。基于此，本文以“用二分法求方程的近似解”教學設計為例，對新課改背景下的數學課堂進行思考。

一、“用二分法求方程的近似解”教學設計

（一）教學內容

本節是人教A版《普通高中標準試驗教科書·數學1（必修）》第三章“函數的應用”中第一節“函數與方程”的第二塊內容，是在學習了集合與函數概念、基本初等函數后，研究函數與方程關系的內容。本節課的教學內容是：結合函數大致圖象，能夠借助計算器用二分法求出相應方程的近似解，理解二分法的思想及了解這種方法是求方程近似解的常用方法。本節內容是課標教材中新增的內容。在初中，學生學習了簡單的一元一次方程和一元二次方程等簡單方程的求根方法，但是在實際解答求根問題中，用到求根公式的很少。對于這類方程，我們只能根據根的存在性定理判斷根的存在，再利用二分法求出方程給定精確度的近似解。經過本節內容的學習，學生將更加深入理解函數與方程的數學思想。

（二）教學目標

本節課要求學生懂得解決“如何求方程的近似解”這個問題，而二分法是解決這類問題的常用解法或通解法。既然是“近似解”，那么引導學生的思維模式由“求”轉變為“找”顯得更加貼切，也更好理解。本節課的主要目標就是要求學生理解二分法的思想，真正理解怎么去“找”近似解。

本節課的教學目標如下：一是理解二分法的基本思想，能夠借助計算器用二分法求給定方程滿足一定精確度的近似解；二是引導學生通過觀察和計算體會二分法，感受函數與方程的思想，使學生在學習過程中體會近似思想、逼近思想、算法思想；三是幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，形成正確的數學觀，通過生活實例培養學生的數學應用意識，激發學生的學習興趣。教學重點是理解二分法的基本思想，把找方程近似解轉化為縮小函數零點所在區間，對函數與方程的關系及化歸思想有更深入的認識。教學難點是對精確度的理解，用二分法求近似解中，在不斷縮小區間時，對區間端點的循環迭代替換的理解。

（三）學生學習本節內容可能會出現的情況

學生在學習本節內容時可能會對二分法的本質理解不夠透徹，特別是在“循環迭代與替換區間端點”這一環節的理解上相對比較困難，對精確的理解也比較困難。同時，在運算過程中，數值較煩瑣，這些都使學生對本節的學習與理解產生較大的阻礙，因此，教師在課前應給學生提前預習，以做好思想準備。

學生在學習本節內容之前已經學習了“方程的根與函數的零點”，理解函數的零點與方程的根的關系，并具有一定的數形結合思想，這些成為本節知識學習的生長點，在用二分法求近似解的步驟中又滲透算法思想，為今后的算法內容學習打下基礎。但是學生對動態與靜態的認識薄弱，對于函數與方程的聯系缺乏一定的認識，這些都給學生在縮小零點所在區間的過程中造成一定的困難。因此，在教學中應多給學生動手的機會，給學生創設熟悉的問題情境，引導學生觀察、計算、思考和總結，使學生理解問題背后的本質，從而得出結論。

（四）教學支持條件

將問題導學法、討論法、游戲體驗法等多種教學方法有機結合，并借助多媒體手段，組織學生自主探究學習，合作交流完成本節的內容。學生在課前應復習前一節課的內容，熟悉連續函數在某個區間上存在零點的判斷方法；準備好科學計算器，熟悉科學計算器的使用；完成教師發給的導學案。教師則應將上課內容制作成課件。

（五）教學過程設計

1.復習引入。上一節課我們學習了方程的根與函數的零點的關系，也學習了方程的根的存在性定理。我們一起來回憶一下：

（1）方程的根與函數的零點有什么關系？

答：方程的根是相應函數的零點，函數的零點是相應方程的根。求一個方程的解時，如果直接從方程角度入手難度較大時，我們可以嘗試從“求函數的零點”入手。

（2）還記得根的存在性定理嗎？

答：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，這個零點也是方程f（x）=0的根。

此處設計的意圖是要培養學生養成復習的習慣，對上節課的復習為本節的學習提供了知識保障。

2.新課講授。在數學學習中，解方程將是我們經常遇到的問題。

問題1：你會求下列方程的根嗎？

（1）2x+1=3；

（2）3x2-2x-1=0；

（3）1nx+2x-6=0。

此處設計的意圖是從學生熟悉的方程入手，引入求方程根的話題，引起學生的認識沖突，激起學生進一步探究的欲望。

例1：求方程1nx+2x-6=0的近似解。（精確度為0.01）

教師引導分析：根據前面我們的分析，我們可以將“求方程1nx+2x-6=0的近似解”問題轉變為“找函數f（x）=1nx+2x-6在區間（2，3）內的近似零點”問題。

問題2：那么怎么找出這個近似零點呢？

此處設計的意圖是進一步理清思路，明確問題，使問題由“求”變為“找”，這樣一來問題更具有游戲的味道，激發學生的學習熱情。

在“找”這個零點之前，我們先來玩個小游戲：

前兩天我剛剛買了個手機，為了游戲更有趣，我暫且不能告訴大家是什么牌子，我只能告訴大家這個手機的價位是2000～3000元，如果我給大家6次猜價的機會，我只能告訴大家猜的價格比真實值多或少，大家能否猜出與手機真實價錢的誤差在50元以內的價錢？

第一次猜價：2500元，教師提示少了，手機價錢范圍縮小到2500～3000元，此時還不能確保誤差小于50元（為什么？）；

第二次猜價：2750元，教師提示多了，手機價錢范圍縮小到2500～2750元，此時還不能確保誤差小于50元（為什么？）；

以此類推到第五次的時候，學生成功地猜出誤差在50以內的價錢。游戲結束。

問題引導總結：

問題3：大家如何猜誤差在50元內的價格？

問題4：猜價過程中，大家發現手機價錢的范圍有什么變化？

問題5：我們為什么猜到第五次就停止？

經過3個問題的引導，大家很快總結出猜價格的方法：不斷取中點值與真實值比較，懂得判斷真實值所屬區間，區間長度不斷縮短，直到“猜值”與真實值的最大誤差小于50元為止。這種方法在數學中就叫做“二分法”。

此處設計的意圖是使學生更加輕松有趣地學習，通過猜價格游戲來引出二分法的概念，讓學生更容易接受二分法的思想，體會到學習二分法的使用價值，借此培養學生的數學應用意識。

回到“例1：求方程1nx+2x-6=0的近似解。（精確度為0.01）”。

問題6：利用剛才我們猜價格的方法，借助計算器，你能“找函數f（x）=1nx+2x-6在區間（2，3）內的近似零點（精確度為0.01）”嗎？

此處設計的意圖是把學生從游戲拉回本節主題，將游戲和本例的解決過程融合起來對比分析，使學生真正理解二分法的本質。

模仿猜價格的方法，學生很快找出“尋找近似零點”的方法，教師應注意鼓勵學生用通俗的語言概括求方程近似解的方法，理解二分法的本質內涵，并給出教材上規范的定義。

結論歸納如下。

第一，二分法的定義。對于在區間[a，b]上連續不斷，且f（a）·f（b）<0的函數y=f（x），通過不斷地把函數y=f（x）的零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似解（或對應方程的近似根）的方法叫做二分法。此處應結合例題來理解二分法的定義。

第二，利用二分法求方程近似解的步驟如下。一是確定初始區間[a，b]，驗證f（a）f（b）<0。二是求區間[a，b]的中點x=。三是計算f（x1），判斷：

（1）如果f（x1）=0，則x1就是f（x）的零點，計算終止；

（2）如果f（a）f（x1）<0，則令b=x1，此時零點x0∈（a，x1）；

（3）如果f（a） f（x1）>0，則令a= x1 ，此時零點x0∈（x1，b）；

（4）判斷是否達到精確度ε：即若最終區間長度小于ε，則得到零點近似值是（a，b）區間內的一點；否則重復2～4步驟。

可采用以下口訣進行教學。

定區間，找中點， 中值計算兩邊看。

同號去，異號算， 零點落在異號間。

周而復始怎么辦？ 精確度上來判斷。

此處設計的意圖是讓學生進一步總結用二分法求方程近似解的思維過程，歸納解題步驟，使學生由經驗水平上升到理論水平。通過歸納總結形成二分法的理論知識，訓練學生的數學表達能力，培養學生的概括能力。

3.課堂練習。課堂練習1：下列函數中能用二分法求零點的是（ ）

問題7：根據練習，請思考用二分法求零點的條件是什么？

此處設計的意圖是讓學生辨析什么情況下適宜用二分法求零點，辨析過程也是學生認識完善的過程。

課堂練習2：用二分法求函數y=f（x）在x∈（1，2）內零點近似值的過程中得到f（x）<0，f（1.5）>0，f（1.25）<0，則零點落在區間（ ）

A.（1，1.25） B.（ 1.25，1.5） C.（1.5，2） D.不能確定

此處設計的意圖是進一步鞏固如何判斷零點所屬區間的方法。

課堂練習3：計算函數f（x）=x3+x2-2x-2的一個正零點近似值。列表如表1所示。

此處設計的意圖是進一步理解二分法的定義及解題步驟，理解精確度的含義。

4.課堂小結。問題8：這節課你有哪些收獲？（二分法的定義；用二分法求方程近似解的步驟）

教師補充如圖1所示的內容。

5.作業。作業一：在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發生了故障。這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多。每查一個點要爬一次電線桿子，10km長，大約有200多根電線桿子。想一想，維修線路的工人師傅至少經過幾次查找使故障范圍縮小到50～100m左右？作業二：《新課程學習與測評》活頁二十三。

二、案例總結

二分法是這次高中數學課改新增加的內容。引入二分法的主要目的是加強函數與方程的聯系，它是求方程近似解的一種方法。由于二分法中逼近思想和算法思想非常明確，并且在大綱人教版中沒有涉及這部分內容，設計“用二分法求方程的近似解”教學內容時，筆者遇到了很大的困難。如何安排本節的教學過程？如何達到良好的教學效果？如何利用現有的素材？這些問題都需要考慮。

（一）對本節課的理解

一是對本節課地位的理解。二分法是廣西新課程新增的知識，蘊涵逼近思想、算法思想、數形思想等，因此應是高考必考點。

二是對重點的把握。本節課的核心是理解二分法的本質思想，懂得用二分法求方程的近似解。

三是對難點的把握。本節課的難點是對精確度的理解、怎么取區間、理解步驟中蘊涵的算法思想，除此之外，本節還有一個難點就是計算，學生計算能力也較大程度地影響本節的各個環節。

四是找好學習動機。二分法是學生感到陌生的內容，教師應幫助學生尋找學習的動機。

五是教師角色要擺正。既然是一種方法，那就得讓學生多動手動腦，因此，教師應把課堂還給學生，把舞臺讓給學生，教師充當“導演”的角色，這樣才能還原“一節真實的課堂”。

（二）本節課的教學流程

1.課前。由于本節計算較復雜，有些新概念需要學生理解，考慮到時間問題，故事先發一張導學案給學生課前復習前面所學知識和自主學習本節知識。先復習好“方程的根與函數的零點”和“根存在性定理”，了解本節“預備概念”如精確度，后自主學習新課內容，為本節的學習作好鋪墊。

2.引入。本節采用復習引入，主要檢查課前學生完成學案的情況。

3.過渡。由游戲引出話題，并由游戲推向高潮。

4.高潮。這個環節主要是要突破重難點，為了突破重難點，筆者將游戲和例題融合起來，將游戲的規則和方法與解決例題方法步驟對比講解，讓學生通過比較游戲和例題解答來突破本節重難點。

5.總結本節內容。充分利用例題和游戲，讓游戲和例題成為一條“線”貫穿整個新課討論過程。結合游戲和例題，總結用二分法求方程近似解的步驟和注意事項，使經驗水平上升到理論水平，讓學生對二分法的理解由感性認識向理性認識發展。

6.課堂鞏固訓練。

7.教師引導學生對本節進行小結，補充學生的小結，最后布置作業。

在實際教學中，由教師通過游戲和實例混合講授方法和過程，很容易使學生總結和掌握“二分法”的基本算法和注意事項。經過對練習的跟蹤檢查，基本達到預想的效果。雖然教學內容安排不是很多，但學生通過親歷親為，獨立思考，并在教師的引導下，總結出了用二分法求方程近似解的步驟。在40分鐘的課堂教學過程中，教師鼓勵學生質疑，提倡獨立思考、自主探索，發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師指導下的“再發現”、“再創造”過程。當然，本節課還有需要改進的地方。一是板書問題。作為一個年輕教師，筆者的板書還存在很多問題，比如粉筆字不夠工整，黑板安排不夠合理。二是語言表達問題。筆者的語速偏快，有時普通話不夠標準，還有在對學生回答問題或者發表看法后的處理不夠巧妙。三是對重難點處理不夠靈活。在高潮環節，未能很好地利用“游戲”來突破重難點。四是課堂練習留下遺憾。由于學生對計算器的使用還不熟悉，很多學生手頭上沒有計算器，因此課堂練習只有選擇和填空。還應設一個計算題，讓學生從頭到尾完整地解決一個問題。

三、數學課堂的若干思考

第一，數學是思維的體操。某種程度上數學教育可以看做思維的教育，因此在數學課堂中應注意培養學生的思維能力，體現學科的特殊性，實現學科教育價值。 （下轉第128頁）

（上接第32頁）第二，數學課要體現數學的應用價值。新課改要求數學課要注重培養學生數學有用意識和數學文化，這一點在新課標教材的例題和練習中足以體現。讓學生“知其然和知其所以然”還不夠，因為學生沒有意識到學習的重要性，就會認為這“知其所以然”是可有可無的，在這種錯誤思想下學習，效果很達到教學要求。因此，讓學生知道“學數學是有用的”是非常重要的，筆者認為這點才是維持學生長久學習動機的主要因素，也是學生產生學習動力的根本保障。

第三，數學課應盡量體現數學文化。數學來源于生活，因此，教師在數學課上應盡量體現數學文化，使課堂更加精彩，更充分地展現數學的魅力。

第四，好的課堂導入是課堂成功的一半。濃厚的興趣能調動學生的學習積極性，啟迪學生的智力潛能并使之處于最活躍的狀態。教學中，由于教學內容的差異以及課的類型、教學目標各不相同，導入的方法沒有固定的章法可循。一般的導入方式有直接導入、復習導入、設疑導入、問題導入、類比導入、試驗導入、游戲導入等。應注意的是，不能為了導入而導入，否則會脫離導入本意且浪費時間。

總之，新課改背景下的高中數學教學在不斷創新，不斷完善，數學教師應不斷思考與總結，加強學習，從而提高課堂效率，以更好地實現新課改的教學目標。

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【作者簡介】梁光掛（1987- ），男，壯族，廣西百色人，南寧三中平果分校高中數學教師，研究方向：高中數學教育、高考題、班主任工作。

（責編 蘇 洋）