三視圖高考題解題技巧及教學建議

【摘 要】對近三年來全國各省市高考題中的三視圖問題進行分類整理，探討三視圖高考題的解題技巧及教學建議。

【關鍵詞】三視圖 高考題 解題技巧 教學建議

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）04B-0121-02

《高中數學課程標準》明確指出：培養和發展學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數學必修系列課程的基本要求。為了保證學生的空間想象能力得到有效的培養，新教材關于立體幾何部分新增了平行投影、中心投影、三視圖等內容。自此，三視圖問題在各省市近年的數學高考題中頻頻出現。經過對各省市三年來的三視圖高考題的比較研究，筆者發現三視圖高考題大致可分為三種題型，并從中精選了一些三視圖高考題?；诖?，本文從三種題型出發，探討三視圖高考題的解題技巧及教學建議。

一、虛線在三視圖中的重要作用

（2012·湖南卷理科第3題）某幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（ ）

簡要解答：本小題選D，主要考察虛線在三視圖中的應用。因為D答案中的幾何體上方的三棱柱的正視圖與側視圖并不相同，其正視圖應如圖2。

教學建議：盡管學生在初中時期就已經接觸到了關于三視圖的一些知識，如正視圖、側視圖、俯視圖的相對位置等，但是，初中階段的數學課程標準只要求學生能畫出或判斷出幾何體三視圖的形狀即可，對尺寸、線條不做嚴格的要求。到了高中階段，學生繼續學習三視圖則是在初中關于“投影與視圖”的基礎上的進一步發展。高中教材明確規定，在畫幾何體的三視圖時，能看見的輪廓線和棱用實線表示，不能看見的輪廓線和棱用虛線表示。引入虛線的目的是為了更準確、更形象地通過三視圖刻畫一些簡單的幾何體，有效地提高學生對簡單幾何體和組合體的認知能力，培養其空間想象能力。因此，教師在教學時應密切關注虛線在三視圖中的作用，并培養學生良好的作圖習慣。

二、投影面的位置變化對幾何體三視圖的影響

（2013·湖南卷理科第7題）已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于（ ）。

A.1 B. C. D.

簡要解答：本小題主要考察當投影面的位置變化時（或者當幾何體的擺放位置發生變化時），幾何體的三視圖會隨之發生什么樣的變化。由于已知俯視圖是一個面積為1的正方形，只能說明俯視圖的光線與正方體的上下底面垂直，而正視圖的光線則不一定與正方體的正面（背面）垂直。因此，正視圖應是一個矩形，其寬為1，與側視圖相同（等于正方體的高），而矩形的長則可發生一定的變化，其范圍為[1，]。因此，正視圖的面積的范圍為[1，]，故選C。

教學建議：教材中關于三視圖的定義是建立在平行投影的基礎上的，所以要準確作出幾何體的三視圖，必須準確理解平行投影的特征，這與物理學科中關于線圈磁通量的計算方法相類似。因此，教師在三視圖的教學中應該具備一定的靈活性，滲透可以將幾何體進行適當的“旋轉”這一理念，來強調投影面的位置變化對幾何體三視圖中的哪些數據產生影響，以及投影面的位置變化對幾何體的三視圖中哪些數據沒有影響。如正方體放置在桌面上“旋轉一定的角度”，則正視圖的長會受到影響，但正視圖的寬不受影響（仍為幾何體的高）。同理，其側視圖也將產生一定的變化。又如，2013年新課標Ⅱ卷理科第7題，該題通過引入空間直角坐標系，將三視圖與空間向量的知識聯系在一起，并專門強調以zOx為投影面，進一步考察了投影面的位置變化時，對幾何體三視圖所造成的影響。

三、旋轉體與多面體的異同點

（2013·湖北卷理科第8題）一個幾何體的三視圖如圖3所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個簡單幾何體均為旋轉體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有（ ）。

A.V1

C.V2

簡要解答：四個簡單幾何體從上到下依次為圓臺、圓柱、棱柱和棱臺。根據三視圖中所給數據，結合相關幾何體的體積公式可知：；V2=2π；V3=8；V4=，故選C。

教學建議：旋轉體與多面體是簡單幾何體的兩種基本形式，它們的定義、直觀圖和幾何性質等特征都具有明顯的區別。但是，基于平行投影的知識可知，二者的正視圖和側視圖有可能出現相同的情況，如圓柱、直四棱柱的正視圖和側視圖都可能是矩形，圓臺、棱臺的正視圖和側視圖可能都是等腰梯形。因此，不能光憑正視圖和側視圖就急于下結論，而應根據已知條件或俯視圖來判斷幾何體的類型，再進行下一步的推理。同時，在高考題中還經常涉及與簡單組合體相關的三視圖問題，如2011年陜西卷文科第5題、2013年浙江卷理科第12題，等等。不管高考題中的組合體是由簡單幾何體拼接而成，還是分割而成，只要我們以整體的角度來研究組合體的三視圖，密切注意旋轉體與多面體的三視圖的異同點，就能準確分析組合體的真正結構，從而突破題目的難點，化繁為簡，化難為易，事半功倍。

總之，三視圖知識的高考題能有效地檢測考生的空間想象能力和運用知識解決問題的能力。它需要考生靈活運用所學習過的知識，并注重一些三視圖知識的特殊細節，才能在高考中準確、高效地解決問題。因此，一線教師應有意識地對學生加強這些細節的教育，才能使三視圖的教學起到有的放矢、事半功倍的效果。

【基金項目】廣西教育科學“十二五”規劃2013年度廣西普通高中課程改革專項課題（2013ZJJ104）

【作者簡介】唐奕清，百色市凌云縣中學數學組教師；肖福流，百色市凌云縣中學數學組教師。

（責編 蘇 洋）