小學分數概念及教學啟示

【摘 要】分數的歷史，幾乎與自然數一樣悠久。分數作為小學數學中的核心概念，只有從其最基本的概念入手，通過深刻地理解分數的概念，才能更好地闡述分數，為分數的教學提供積極的參考，從而實現學生對分數概念操作性理解（明算法）到概念性理解（明算理）的跨越，更好的幫助學生學習掌握分數這一核心概念。

【關 鍵 詞】分數;概念;教學

當前，分數學習已經成為了小學生在學習過程中遇到的較為復雜的障礙。只有從多維度視角出發，認識分數概念、為分數教學提供借鑒，才能幫助學生學習掌握分數這一核心概念，實現學生對分數概念操作性理解（明算法）到概念性理解（明算理）的跨越。

一、分數概念的認知維度

分數一詞，最早起源于拉丁文“fraction”，它通常用來描述一個整體被分開的各個小塊，意思是“分開”。隨著人們探討認識分數概念視角的變遷，分數概念在其“除的意涵”不變的基礎上，在不同意義情境下呈現出不同的表征方式。從直觀意義的認知維度來看，分數產生與生活實際，變現部分與整體的關系，強調的是分數的直觀意義;從表達形式的認知維度來看，分數是一個比值，有助于分數的運算;從數理運算的認知維度來看，強調的分數是整數相除的數理運算結果。不同意義情境下的認識維度，包含著重要的教育意蘊，對分數的教學起著一定的參考價值。

1. 直觀意義的認知維度——部分與整體。單從語義的角度來看，分數就是被分割的數。在英語中，分數表意為部分，即整數的一部分。法語中的分數表意為“折斷的數”，俄語中的分數表意為“被分割的數”，我國的說文解字則將“分”解釋為“分，別也”。無論從哪個語義角度來看，雖然各國的語言表述不盡相同，但都表現出分數是部分與整體的關系，強調分數是分出來的，其表達的是被平均分成若干份的整體，其中的每一份與其整體的相互關系。正如人們將最早認識的一組分數稱為“半”（1/2） “弱半”（1/4），“少半”（1/3），“大半”（2/3），“強半”（3/4）。

從生活實踐的角度來看，同樣也是表示部分與整體的關系。當人們在實際測量整體的一部分時，為了測量的精確性，就需要更小的分割來表示結果。生活的實踐讓人們發現，因為找不到一個合適的數，要想單純表述一根8米長的繩子分成三等份是不可能的，但是如果將其分成的三等份表述為8/3米，這樣形式的數變成為了一種新的數，這種表現部分與整體關系的數就是分數。這樣的一個數能比自然數更準確地刻畫事物的量化特性，更能較好地實現數學量化的思想。

2. 表達形式的認知維度——比值。分數是比值，這是對分數比較形式化的定義，著重于表達形式，即兩個量（連續量）或兩個集合（離散量）的比較結果。比值——表達形式的認知維度，實現了數學思想方法的結構化，其定量研究分數量方面的結構關系的性質，有助于分數的運算。超越了在分數的部分與整體的份數定義，不僅拓展了分數的價值，更從實際角度為人們解決關于分數的運算問題掃清了認知上的一些障礙。

3. 數理運算的認知維度——整數相除的結果。數理運算的認知維度可知分數的使用來源于除法運算的需要，是兩個整數相除所得的商，是整數相除得到的除不盡的運算結果引起的。此時的分數可以視為兩個量的相除結果，即被除數（一個量）與除數（基準量）之間的除法關系。分數的使用源于除法運算，完整的分數概念產生于整數的除法運算之中，在整數之比的基礎上所建立，早在我國《九章算術》中就出現了相關的運算法則。從除法的視角理解分數，體現了分數概念從直觀意義到表達形式再到數理運算的認知三飛躍，體現分數的重要性，使得分數各種運算性質更好地被人們所理解。

二、分數概念的教學困境

1. 學生“分數”屬于“數”的概念模糊。由于從數的意義上看小數與自然數的血緣關系更親近，加之分數無法按照自然數的認知習慣看出其大小。因此，現實生活中幾乎都用自然數或者小數表示的數與量，而很少用分數表示數與量的大小。學生關于分數缺少豐富的生活經驗作支撐，學生對分數的理解往往只停留在直觀意義的認知維度，將分數理解成部分與整體倍比關系，在學生的心目中往往更加認同“分數”是個“結果”，而不愿意承認其是個“數”。學生在解決實際問題遇到能化作有限小數的結果是通常都會把分數轉換成小數，比如學生在一條題目答案是■時，學生幾乎都要轉化為2.5，仿佛只有算出這樣的結果才能安心。

2. 學生“分”與“數”的價值認知不清。學生對“分”與“數”的價值認知不清很大一部分原因是學生沒有分數單位的思想。“分數是先分后數的數”這樣的表達乃是一種簡單的豐富，“分”就是創造了一個單位“數”就是數有多少個單位。[1]掌握分數的特性，了解分數的意義，理解分數的價值，是學生學習分數的開始，其實質是學生對分數的認識由感性上升到理性的過程。由于認知發展的階段性，學生往往不能理清“分”與“數”的價值，這成為了分數概念教學的重難點。

體現出分數是個“數”，是通過數（shǔ）分數單位的“個數”得到的。著名的數學家華羅庚先生曾經說過“數起源于數量起源于量”，度量可以很好地將分數理解為分數單位的累積，[2]但是由于學生平日生活缺少分數度量的生活經驗，導致了學生對分數“分”與“數”的價值認知不清，無法實現分數圖像表征意義與度量表征方式的統一，影響了分數概念的理解。由此可見，如何沿襲自然數的傳統，凸顯分數的“分數單位”與“單位個數”，即分數單位的分母是平均分的份數，分子是1，其他分數的分子就是分數單位的個數，是幫助學生理清“分”與“數”的兩個關鍵要素。

三、教學中的分數認知解決方式

1. 已有認知基礎上的教學情境創設。《數學課程標準》指出“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上”，[3]可以說學生對新知識的認知是建立在學生的生活經驗基礎之上的。因此，小學分數概念教學，應讓學生從熟知的生活經驗出發，從感性到理性的過渡教學，既激發了學生的學習興趣，又激活了學生的學習思維。

在教學中，可以遵循學生認知分數的維度，設計一個要用分數解決生活實際情境，使學生自然而然的感到“分數”出現的必要性，分數離我們的生活實際并不遙遠。例如，可以創設分物品的情境，7個一樣的蘋果分給6人，1人分得1個以后，剩下的如何分配？這剩下的一個自然還是需要平均分配，這時就必然要將剩下的一個再平均分6份，每人分1份，此時每人得到的那一份就是原先那一個蘋果的■。這樣分配過程，建立在學生已有的平分的認知基礎上，通過平分的方法，自然的引入了分數的概念，貼近生活實際，使學生在有參考物的基礎上更容易理解分數的重要性，有助于分數的教學。

2. 隱性知識系統中的數學思想滲透。數學思想方法可以歸屬于隱性知識系統，這就需要教師在數學教學的過程中有意識地、循序漸進地啟發學生探究、領悟蘊含于分數中的各類數學思想。在學生實現認識整數到認識分數的概念過程中，在教學中滲透轉化的思想，使用直觀形象的圖形語言來講述分數概念，使學生更好地掌握分數的概念;在教授分數的數理運算時，引領學生利用分數的基本性質，通過轉化思想對分數進行通分，將其中一個分數轉化為適合運算的特定分數后再進行運算。

3. 信息技術下的教學方式創新。隨著信息技術的發展，多媒體憑借其直觀、形象，更新快、動態化的優點，在整個教學過程中輔助解決重難點問題的作用越來越明顯。

在分數概念的教學中，借助多媒體信息技術，可以直觀化分數概念發展基石的原始意義，即“等分割及再合成其份數的活動”，如建立數字幾何畫板，通過動態的演示讓學生看到隨著分數中分子與分母的數字變化，幾何畫板中圖形的分割部分及相應陰影部分也隨之變化的全過程。只有讓學生經歷實際操作或心理操作的“等分割及再合成其份數的活動”，學生才可以真正理解，并逐步學會如何解決問題。在分數概念的認識階段，用形象直觀的數字圖形的演示方式取代傳統的機械的具體物操做，直觀化了分數的意義，使得學生在具體的操作情境中感悟。通過操作活動，學生經歷了“如何平分一個量并建立部分與整體之間的關系”這一過程，意識到此時需要一個新的數，即分數來表示，借助多媒體演示建立分數的語言符號與圖形之間的直觀聯系，具體化了分數的意義，最后再通過教師給出分數的符號表示，使分數與符號之間的關系一一對應，最終幫助學生建立分數的思想。

分數的概念是沿著認知的脈絡不斷演進的，我們應當在充分考慮知識體系順序的基礎上，從學生的認知順序出發，做好多視角維度的過渡與融合，使得分數的概念實現由具體到抽象的跨越發展;在教學過程中，將分數概念的教學通過適合學生的載體表現出來，拾級而上地發展學生的數學思維，只有這樣才能讓學生更好地理解和掌握分數概念。

參考文獻：

[1]華應龍.單位，讓分數更好玩——分數的再認識[J].江蘇教育研究，2011.05C.

[2] 華應龍.分數：先分后數——“分數的意義”，教學新路徑[J].人民教育，2011.06.

[3]孫國元，李秀榮.關于“數學教學活動”理念的闡釋——《數學課程標準》基本理念解讀[J].教育實踐與研究（中學版），2009.02.