例談勾股定理的應(yīng)用要點(diǎn)

陳柏梓

【摘要】 勾股定理是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它通過直角三角形的三邊關(guān)系完美地揭示了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，也反映出了幾何問題用代數(shù)方式解決的學(xué)習(xí)方向. 同時(shí)，也為今后的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)，特別是高中階段的解析幾何，就是利用計(jì)算的方式來研究和解決相關(guān)的幾何問題.

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；勾股定理；應(yīng)用要點(diǎn)；方法技巧

勾股定理看似簡單，就一個(gè)公式c2 = a2 + b2，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)這個(gè)公式之后，認(rèn)為自己對勾股定理已經(jīng)有非常好的掌握了，但在做題中還是會出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，原因就是學(xué)生們對這個(gè)簡單的公式放松了警惕，把勾股定理的運(yùn)用當(dāng)成一個(gè)非常簡單的問題在處理，而有關(guān)勾股定理的運(yùn)用還有很多的要點(diǎn)，學(xué)生們一定要掌握好每個(gè)細(xì)節(jié)，才能靈活運(yùn)用好勾股定理解決問題. 下面我們來談?wù)勥\(yùn)用勾股定理時(shí)要注意的幾個(gè)要點(diǎn).

一、分清直角邊和斜邊

直角三角形的三邊關(guān)系并不是任意的，在公式c2 = a2 + b2中，c所表示的是斜邊，a，b分別是直角三角形的兩條直角邊，也就是斜邊的平方等于兩條直角邊的平方的和. 很多學(xué)生在解決問題時(shí)沒有分清這三個(gè)字母的區(qū)別，在給圖形標(biāo)上字母的時(shí)候沒有注意正確性和對應(yīng)性，在實(shí)際問題中沒有認(rèn)真分析不同字母所表示的是哪條邊，很容易就導(dǎo)致錯(cuò)誤.

例1 在直角三角形中，∠A = 90°，a = 13 cm，b = 5 cm，求以c為邊長的正方形的面積.

錯(cuò)解 根據(jù)c2 = a2 + b2得：c2 = 132 + 52 = 194.

所以，所求正方形的面積為194 cm2.

分析 導(dǎo)致這種錯(cuò)誤是因?yàn)閷W(xué)生們在看到字母之后沒有加以分析，而直接代入到公式中進(jìn)行計(jì)算，忽略了實(shí)際問題中字母所表示的具體量. 公式中的字母c是代表斜邊，但在本題中，由于條件∠A = 90°，直角所對的邊a才是斜邊，因此公式應(yīng)為c2 = a2 - b2 = 132 - 52 = 144，所求正方形的面積為144 cm2.

二、明確勾股定理的適用條件

在一些三角形的三邊問題中，要使用勾股定理進(jìn)行解答，首先要確保該三角形是直角三角形. 其他任意三角形并不適用勾股定理，部分學(xué)生很容易忽視這一點(diǎn). 不管是不是直角三角形，看到關(guān)于邊的問題就亂用勾股定理，同樣也是錯(cuò)誤的.

例2 在一個(gè)邊長為整數(shù)的△ABC中，AC = 4 cm，BC = 3 cm，且AB > AC，求第三條邊AB的長.

錯(cuò)解 根據(jù)勾股定理可得：

分析 出現(xiàn)上面這種錯(cuò)誤是因?yàn)閷W(xué)生們一看到關(guān)于三角形的邊長問題就想到了勾股定理，而沒有仔細(xì)分析這個(gè)三角形是否能利用勾股定理來解決，忽視了勾股定理的適用條件. 在這道題中，由于沒有說明三角形是直角三角形，那我們只能根據(jù)一般三角形的三邊關(guān)系來求出第三邊，根據(jù)“兩邊之和大于第三邊”得到，即4 < AB < 7，又因?yàn)锳B的長度是一個(gè)整數(shù)，所以AB的值可以是5 cm或6 cm.

三、對不明確的三邊關(guān)系要全面考慮

在一些直角三角形中，如果題目沒有明確說明哪條邊是斜邊或哪個(gè)角是直角，那么就要仔細(xì)分析和全面考慮可能存在的情況，很多學(xué)生會忽略這一點(diǎn).

例3 在一個(gè)直角三角形中，有兩條邊分別為3 cm和4 cm，那么這個(gè)三角形的周長是多少？

錯(cuò)解 設(shè)三角形的斜邊為c，則c2 = a2 + b2 = 32 + 42，解得c = 5，所以三角形的周長：3 + 4 + 5 = 12（cm）.

四、對三角形的高的位置要做好分類

三角形的高可以在三角形內(nèi)，也可以在三角形外，很多沒有給出圖形的一些題目，需要學(xué)生們自己畫圖，那就要注意不能只畫特殊三角形，也要考慮到一些很普通的三角形. 我們都習(xí)慣畫一些銳角三角形，比較少畫鈍角三角形，而三角形的高，我們也習(xí)慣把它畫在三角形內(nèi)，就因?yàn)檫@樣，在解題中常常會漏掉一些情況.

綜上所述，勾股定理的使用要注意很多細(xì)節(jié)，而不只是簡簡單單地代公式，而是要對三角形的邊、角等進(jìn)行深入的分析，對可能存在的情況進(jìn)行分類，在平時(shí)的解題過程中就要注重培養(yǎng)縝密的思維和良好的審題習(xí)慣，這不僅對知識點(diǎn)的掌握有益處，還可以更好地提高學(xué)生們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，啟迪學(xué)生的思維.