從一個“問題‘探討’”談新課改的希望

焦鳳龍

摘 要： 新課程的核心理念是 “以人為本”、“以學生的發展為本”，新課程目標除了要授予學生基礎的數學知識，培養學生的計算能力、數學邏輯思維能力等外，還要發展學生的創新意識、探究精神，自主地對問題進行探討和研究.隨著教育體制的改革，高考對學生的考查日益能力化，原有的課堂教學模式已不能滿足當前的教育形勢.新課程理念下的課堂教學更應該轉變教學觀念和教學方式，“面向全體學生”，“提高每個學生的數學科學素養”，“倡導探究性學習，力圖促進學生學習方式的變革”.數學新教材倡導學生主動探索、自主學習、合作討論，體現數學再發現的過程.數學教學不再是教師向學生傳授知識的過程，而是鼓勵學生觀察、操作、引導自主探究、獨立再學習，建立一種自主、合作、孕育創造的學習模式.

關鍵詞： 新課改 數學教學 問題設計

2010年9月，普通高中課程標準實驗教科書（A版）在我地區首次使用，筆者深入研究新課程教材內容及新教法是在2011年9月，較新課程實驗地區整整遲6年左右的時間.在實驗地區推行新課程教材時，在教育一線的筆者深感責任的重大和緊迫感，課余時間相繼閱讀并學習新課改的目的，新教材的編排及教法，筆者直接并深入地接觸新教材時不那么陌生和盲目.

筆者在設計“數學選修2-1第二章（圓錐曲線與方程）2.2.1橢圓及其標準方程（第2課時）”的導學案時，設計了如下一個問題：

問題一①：已知圓O：x+y=r（r>0），在圓O上任取一點P，過點P且垂直于x軸（垂足為D）的動弦交圓O于兩點P、Q.當點P在圓上運動時，

（1）動弦PQ的四等分點M的軌跡是什么？

（2）在該問題中，你有什么發現嗎？

筆者在該問題下預設了10分鐘的時間，并讓學生分組討論，然后讓組內組長總結發表并在黑板上展示自己的成果，展示成果如下：

圖1

甲組：解：（1）如圖1所示，設點P的坐標為（x，y），

點M的坐標為（x，y），則

x=x，y=2y.

又因為點P在圓O上，

所以x+4y=r（r>0），即+（r>0）.

所以點M的軌跡是焦點在x軸上，且長半軸為r，短半軸為的橢圓.

（2）發現：過圓上任一點且與對稱軸垂線段中點的軌跡是一個橢圓.

乙組. （1）同甲組.

（2）發現：過圓上任一點且與對稱軸垂直的有向線段PD的定比分點的軌跡是一個橢圓.

此時的課堂，學生的這個發現讓筆者眼前一亮，筆者給予學生充分的肯定及鼓勵表揚后，追問道：“你能否把你們的這個發現更詳盡地展示給同學們？”筆者話音剛落，有一位學生踴躍地站起來并在黑板上展示了自己的成果（同學們給予該同學熱烈的掌聲，課堂氣氛比較活躍），展示如下：

如圖2所示，設點P的坐標為（x，y），有向線段PD定比分點的M的坐標為（x，y），定比為λ（λ≠-1），則有

圖2

x=x，y=（1+λ）y.

又因為點P在圓O上，

所以x+（1+λ）y=r（r>0且λ≠-1），

即+=1（r>0且λ≠-1）.

當r>，即λ>0或λ>-2時，有向線段PD定比分點M的軌跡是焦點在x軸上，且長半軸為r，短半軸為的橢圓，此時橢圓內切于圓O，切點分別為（-r，0），（r，0）；當r<，即-2<λ<0（λ≠-1）時，有向線段PD定比分點M的軌跡是焦點在y軸上，且長半軸為，短半軸為r的橢圓，此時橢圓外切于圓O，切點分別為（-r，0），（r，0）；當r=，即λ=0或λ=-2時，有向線段PD定比分點M的軌跡是圓O本身.

此時，看到學生在黑板上的板演過程，筆者情不自禁地也為該學生鼓了掌，同學們再次響起了熱烈的掌聲，同學們的情緒顯得非常高漲.筆者順著學生高漲的激情繼續問道：“同學們是否還有其他的發現？” 同學們細微地查看著筆者的眼神，筆者靜候同學們的再一次風波.一分鐘、兩分鐘，時間慢慢地流逝，筆者覺著學生沒有了發現（但時刻關注著的丁組喋喋不休），剛要進入導學案的下一個問題.此時，丁組的一位學生站起來說話了.老師，該問題能否改變一下已知條件求動點的軌跡？筆者肯定地說“能”，但心想著是不是改動了就偏離了本節課的學習目標和主干，矛盾的心理正在心中徘徊.此時此刻，該學生卻毫不保留地將自己的問題及成果一一展示出來，筆者整理如下：

問題二：已知圓O：x+y=r（r>0），圓O與x軸的交點分別記為A、A，在圓O上任取一點P，過點P且垂直于x軸（垂足為D）的動弦交圓O于兩點P、Q.過點A、P和A、Q的直線交于點M，當點P在圓上運動時，交點M的軌跡方程是什么？

解：如圖3所示，設點P的坐標為（x，y），交點M的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（x，-y），點A、A的坐標分別為（-r，0），（r，0）.

圖3

因為點A、P、M共線，點Q、A、M共線，則有

=（x，x≠-r）①，=（x，x≠±r）②.

由①×②得=（x，x≠r）③，

又因為點P、Q在圓O上，所以x+y=r，即x-r=-y，將其代入③式化簡整理得-=1（y≠0）.

筆者根據學生表述以板書的形式展示給學生后，繼續追問：

1. 上述方程為什么y≠0，若y=0時，點M的坐標為什么，它滿足方程嗎？

2. 方程的軌跡是什么？

剛平靜了的課堂又起軒然大波，學生興趣頓時高漲，這時，45分鐘的課堂已臨近尾聲，筆者將提出的問題留給學生在課外探討，學生帶著問題走進了課外的探討學習中.

讓筆者更欣慰的是學生將課外探討的成果匯集后交了一份非常滿意的答卷.

答卷一：特別地，當y=0時，x=±r，仍是方程-=1的解，故點M（±r，0）在方程-=1的曲線上，當y=r時，x=0，此時，l∥l，直線l與直線l無交點，故此時無軌跡.

答卷二：方程-=1的軌跡是§2.3介紹的“雙曲線”.

繼本節的討論，筆者在設計“數學選修2-1第二章（圓錐曲線與方程）2.3.3雙曲線簡單幾何性質（第3課時）”的導學案時，又設計了如下問題：

問題三：在“2.2.1橢圓及其標準方程（第2課時）”課后討論答卷一中，同學們提出了“當y=r時，x=0，此時，l∥l，直線l與直線l無交點，故此時無軌跡”，那么此時直線l與直線l的方程是什么？方程-=1表示的軌跡——雙曲線的漸近線方程是什么？其與直線l、l的位置關系是怎樣的？筆者結合學生的討論結果給予學生如下反饋：

問題四：已知圓O：x+y=r（r>0），圓O與x軸的交點分別記為A、A，在圓O上任取一點P，過點P且垂直于x軸（垂足為D）的動弦交圓O于兩點P、Q.過點A、P和A、Q的直線交于點M，當點P在圓上運動時，交點M的軌跡是什么？

圖4

解：如圖4所示，設點P的坐標為（x，y），交點M的坐標為（x，-y），則點Q的坐標為（x，-y），點A、A的坐標分別為（-r，0）、（r，0）.

ⅰ.當動弦PQ為圓O的直徑時，l∥l，直線l與直線l無交點，故此時無軌跡.

ⅱ.當動弦PQ不是圓O的直徑時，因為點A、P、M共線，點Q、A、M共線，則有

=（x，x≠-r且x≠0） ①，=（x，x≠r且x≠0） ②.

由①×②得=（x，x≠±r且x≠0） ③，

又因為點P、Q在圓O上，所以x+y=r，即x-r=-y，將其代入③式化簡整理得-（y≠0）.

特別地，當y=0時，x=±r，仍是方程-=1的解，故點M（±r，0）在方程-=1的曲線上.點M的軌跡是焦點在x軸上的等軸雙曲線，且漸近線方程為y=±x，它與動弦PQ為圓O的直徑時的連線l、l都是平行的，故此，當動弦PQ為圓O的直徑時，點M自然無軌跡.

上述問題中反映了“圓與橢圓和雙曲線即若即離的關系”，也體現了數學的一種“內在美和對稱美”.

問題五：通過上述問題的探討，你能找到橢圓與雙曲線的一種“情侶”關系嗎？（查找相關的資料，有條件的學生可上網查找.）

答卷三：“情侶線”之一.

如圖5甲，焦點在x軸上的橢圓C：+=1（a>b>0）的動弦PQ和x軸垂直，A、A是橢圓與x軸的兩個交點（稱為橢圓的頂點），則直線AP與直線AQ的交點M的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線C：-=1（a>0，b>0）；反之，如圖5乙，焦點在x軸上的雙曲線C：+=1（a>b>0）的動弦PQ和x軸垂直，A、A是雙曲線與x軸的兩個交點（稱為雙曲線的頂點），則直線AP與直線AQ的交點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓C：+=1（a>b>0）.

甲 乙

圖5

答卷四：“情侶線”之二.

如圖6甲，F、F是橢圓C的焦點，P是橢圓C的任一點，從任一焦點向∠FPF的鄰補角的角平分線作垂線，垂足為M，則點M的軌跡是以原點為圓心，橢圓C長半軸長為半徑的圓；F、F是雙曲線C的焦點，P是雙曲線C的任一點，從任一焦點向∠FPF的角平分線作垂線，垂足為M，則點M的軌跡是以原點為圓心，雙曲線C實半軸長為半徑的圓.

甲 乙

圖6

筆者看到學生有這樣的探討成果心中暗自高興，學生雖不能在即時課堂知道上述方程的軌跡（雙曲線），但這為雙曲線的教學設計導學案（“情侶線”——橢圓與雙曲線）埋下了伏筆，更體現了新課程的理念，將課堂還給學生，讓學生做課堂的主人.課堂問題的藝術設計是教師面臨的一個重大問題，它既有緊迫感又有責任感.國家的發展與富強要靠科技，“科技興國”是偉大領導人鄧小平提出的，而科技是要教育支撐的.藝術的課堂問題設計，正確地引導學生探索知識是激發和培養學生學習興趣的有效手段，培養學生創新思維的重要途徑，培養新一代人才是引領科技發展的重要基礎.只有開發并挖掘學生的內在潛能，才能培育出新一代優秀的人才.

在教育一線的筆者看到了新課改的需要性、重要性和責任性，更希望一線的教育工作者認真研究新教材、新教法，逐步并認真貫穿新課程的理念，展望新課改的成果.

注釋：

①普通高中課程標準實驗教科書A版，數學選修2-1，第二章 圓錐曲線與方程，2.2.1橢圓及其標準方程，例2變式）

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書A版.數學選修2-1.