談二次根式學習中的幾個重點問題

董喜源

〔關鍵詞〕 數學教學；二次根式；重點問題

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）06—0090—01

二次根式是初中代數中的重要內容，其中蘊含著豐富的數學思想方法，應當引起我們足夠的重視.本文以近幾年的競賽題為例，談談二次根式學習中的幾個重點問題.

一、算術平方根

在二次根式中，要使得根式有意義，就隱含兩層含義， 即算數平方根的雙重非負性.

1.本身非負

例1 已知實數x、y滿足■+（y+1）2=0，則x-y等于（ ）

A . 3 B.-3 C. 1 D.-1

分析： 對于■和（y+1）2而言，兩個都是非負數.

即： ■≥0，（y+1）2≥0，

又∵■+（y+1）2=0，

∴■=0且（y+1）2=0，

∴x-2=0且y+1=0.

∴x=2且y=-1，∴x-y=3 故選A.

2.被開方數非負

例2 在函數y=■中，自變量x的取值范圍是

分析： 要使原函數有意義，需要滿足：①被開方數非負；②分式的分母不為零.兩式的公共解即為本題的答案.

即x-1≥0x-2≠0 解得：x≥1且x≠2.

二、 對于■和（■）2的理解與應用

1.■=a （a為全體實數）

例3 已知-1

分析： ∵-1

∴a-b<0

∴■=a-b=-（a-b）=b-a.

2.■2=a （a≥0）.

例4 若■2=3x-2，則x= .

分析： 根據■2=a可得：

2x-1≥02x-1=3x-2 解得：x≥■，x=1.

∴x=1.

三、有關根式的比較

在中學數學的學習中，遇到實數大小比較的題目比較多，但比較的方法主要歸納為以下幾種：因式內移法、作商比較法、倒數法、分母有理化、平方法、作差比較法（此法比較簡單，此處不列舉實例說明）.

作商比較法

原理：若a>0，b>0且■≥1，則a≥b；

若a<0，b<0且■≤1，則a≤b.

例5 比較4-■和 2+■的大小.

解： ∵■ =（4-■）（2-■）=11-6■<1，

∴4-■<2+■.

倒數法

原理：已知a>0，b>0.若■≥■，則a≤b；

若■≤■，則a≥b.

例6 比較2■-■和■-2的大小.

解： ∵■=■，■=■.

又∵■>■，

即■>■.

又∵2■-■>0，■-2>0，

∴2■-■<■-2.

分母有理化

例7 比較■和■的大小.

解： ∵■=■，

■=■.

又∵■>■，∴■>■.

編輯：謝穎麗

〔關鍵詞〕 數學教學；二次根式；重點問題

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）06—0090—01

二次根式是初中代數中的重要內容，其中蘊含著豐富的數學思想方法，應當引起我們足夠的重視.本文以近幾年的競賽題為例，談談二次根式學習中的幾個重點問題.

一、算術平方根

在二次根式中，要使得根式有意義，就隱含兩層含義， 即算數平方根的雙重非負性.

1.本身非負

例1 已知實數x、y滿足■+（y+1）2=0，則x-y等于（ ）

A . 3 B.-3 C. 1 D.-1

分析： 對于■和（y+1）2而言，兩個都是非負數.

即： ■≥0，（y+1）2≥0，

又∵■+（y+1）2=0，

∴■=0且（y+1）2=0，

∴x-2=0且y+1=0.

∴x=2且y=-1，∴x-y=3 故選A.

2.被開方數非負

例2 在函數y=■中，自變量x的取值范圍是

分析： 要使原函數有意義，需要滿足：①被開方數非負；②分式的分母不為零.兩式的公共解即為本題的答案.

即x-1≥0x-2≠0 解得：x≥1且x≠2.

二、 對于■和（■）2的理解與應用

1.■=a （a為全體實數）

例3 已知-1

分析： ∵-1

∴a-b<0

∴■=a-b=-（a-b）=b-a.

2.■2=a （a≥0）.

例4 若■2=3x-2，則x= .

分析： 根據■2=a可得：

2x-1≥02x-1=3x-2 解得：x≥■，x=1.

∴x=1.

三、有關根式的比較

在中學數學的學習中，遇到實數大小比較的題目比較多，但比較的方法主要歸納為以下幾種：因式內移法、作商比較法、倒數法、分母有理化、平方法、作差比較法（此法比較簡單，此處不列舉實例說明）.

作商比較法

原理：若a>0，b>0且■≥1，則a≥b；

若a<0，b<0且■≤1，則a≤b.

例5 比較4-■和 2+■的大小.

解： ∵■ =（4-■）（2-■）=11-6■<1，

∴4-■<2+■.

倒數法

原理：已知a>0，b>0.若■≥■，則a≤b；

若■≤■，則a≥b.

例6 比較2■-■和■-2的大小.

解： ∵■=■，■=■.

又∵■>■，

即■>■.

又∵2■-■>0，■-2>0，

∴2■-■<■-2.

分母有理化

例7 比較■和■的大小.

解： ∵■=■，

■=■.

又∵■>■，∴■>■.

編輯：謝穎麗

〔關鍵詞〕 數學教學；二次根式；重點問題

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）06—0090—01

二次根式是初中代數中的重要內容，其中蘊含著豐富的數學思想方法，應當引起我們足夠的重視.本文以近幾年的競賽題為例，談談二次根式學習中的幾個重點問題.

一、算術平方根

在二次根式中，要使得根式有意義，就隱含兩層含義， 即算數平方根的雙重非負性.

1.本身非負

例1 已知實數x、y滿足■+（y+1）2=0，則x-y等于（ ）

A . 3 B.-3 C. 1 D.-1

分析： 對于■和（y+1）2而言，兩個都是非負數.

即： ■≥0，（y+1）2≥0，

又∵■+（y+1）2=0，

∴■=0且（y+1）2=0，

∴x-2=0且y+1=0.

∴x=2且y=-1，∴x-y=3 故選A.

2.被開方數非負

例2 在函數y=■中，自變量x的取值范圍是

分析： 要使原函數有意義，需要滿足：①被開方數非負；②分式的分母不為零.兩式的公共解即為本題的答案.

即x-1≥0x-2≠0 解得：x≥1且x≠2.

二、 對于■和（■）2的理解與應用

1.■=a （a為全體實數）

例3 已知-1

分析： ∵-1

∴a-b<0

∴■=a-b=-（a-b）=b-a.

2.■2=a （a≥0）.

例4 若■2=3x-2，則x= .

分析： 根據■2=a可得：

2x-1≥02x-1=3x-2 解得：x≥■，x=1.

∴x=1.

三、有關根式的比較

在中學數學的學習中，遇到實數大小比較的題目比較多，但比較的方法主要歸納為以下幾種：因式內移法、作商比較法、倒數法、分母有理化、平方法、作差比較法（此法比較簡單，此處不列舉實例說明）.

作商比較法

原理：若a>0，b>0且■≥1，則a≥b；

若a<0，b<0且■≤1，則a≤b.

例5 比較4-■和 2+■的大小.

解： ∵■ =（4-■）（2-■）=11-6■<1，

∴4-■<2+■.

倒數法

原理：已知a>0，b>0.若■≥■，則a≤b；

若■≤■，則a≥b.

例6 比較2■-■和■-2的大小.

解： ∵■=■，■=■.

又∵■>■，

即■>■.

又∵2■-■>0，■-2>0，

∴2■-■<■-2.

分母有理化

例7 比較■和■的大小.

解： ∵■=■，

■=■.

又∵■>■，∴■>■.

編輯：謝穎麗