文化視野下高中數學教材數學史分布的比較研究

李保軍+葉雪梅

在人教A版和蘇教版高中數學必修教材中，與數學史相關的內容分別出現53處和49處，其分布主要集中在正文、例題、習題和閱讀材料部分，且以閱讀材料部分居多，人教A版占64.2%，蘇教版占61.2%。人教A版數學史設計較蘇教版細致、科學；兩套教材數學史按章、按類分布不均勻，且史料的呈現方式略顯單一。

數學史 數學教材 比較研究 分布

著名數學家吳文俊院士曾說：“假如你對數學的歷史發展、對一個領域的發生和發展、對一個理論的興旺和衰落、對一個概念的來龍去脈、對一種重要思想的產生和影響等許多歷史因素都弄清楚了，我想對數學就會了解得更多了，對數學的現狀就會知道得更清楚更深刻，還可以對數學的未來起一種指導作用”[1]?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（實驗）》也指出：數學是人類文化的重要組成部分，在教學中應盡可能結合高中數學課程的內容，介紹一些對數學發展起重大作用的歷史事件和任務，反映數學在人類社會進步、人類文明建設中的作用，同時也反映社會發展對數學發展的促進作用。由此可見數學史作為數學文化的重要組成部分，已經引起了數學教育領域的廣泛關注，教材作為傳承數學知識和文化的重要載體，對中學數學史教學起著重要的指導作用。而教材中的數學史是如何分布的，以何種形式呈現，有哪些優點和不足，對這些問題的研究有助于我們對數學史融入教材的作用有更深刻的認識，更能有效地指導數學史融入教學實踐。本文選取人教A版和蘇教版必修教材，采用文本分析法，從比較的視野對數學史融入教材的分布進行研究。

一、數學史按模塊分布比較研究

統計發現，人教A版從必修1到必修5有53處涉及數學史相關內容，數學史出現次數依次為7，12，17，3，14，平均每冊出現10.6處，數學史出現次數的差別比較大，其中必修3出現數學史次數最多，有17處，大部分集中在《算法初步》一章，必修4出現數學史次數最少，只有3處，極差為14。蘇教版從必修1到必修5有49處涉及到數學史相關內容，數學史出現次數依次為7，5，22，6，9，平均每冊出現9.8處，數學史出現次數差別也比較大，必修3出現數學史次數最多，共22處，大部分集中在《算法初步》一章，必修2數學史內容最少，共5處，極差為17。

進一步分析發現，兩套教材在必修3和必修5都設置了大量數學史內容。必修3的數學史多集中在《算法初步》一章，人教A版在這一章共有11處數學史，占必修3數學史總量的64.7%；蘇教版共有14處，占必修3數學史總量的63.6%。必修5數學史多集中在《數列》一章，人教A版在這一章共有10處數學史，占必修5數學史總量的71.4%；蘇教版共有7處，占必修5數學史總量的77.8%。

二、數學史按類分布比較研究

為了比較數學史的具體分布布局，根據數學史在教材中的不同位置，將其分為四類：位于正文部分的數學史、位于例題部分的數學史、位于習題部分的數學史、位于閱讀材料部分的數學史。

1.正文數學史分布

在正文中出現的數學史有利于教師在教學中應用，以逐步提高學生的數學素養，兩套教材都注意到在正文的不同位置設計相應的數學史。這應該是對課程標準對數學史設計要求的一種積極回應和具體體現。統計發現正文部分的數學史主要分為以下三類：（1）前言，每一章、節用于引出學習主題的數學史或相關問題；（2）案例，以“案例”形式出現，貫穿于本節學習內容的典型算法（主要針對“算法初步”一章），如人教A版在算法一章通過對“輾轉相除法與更相減損術”的案例分析，讓學生進一步體會算法的思想；（3）解釋說明，用于解釋正文中相關概念或說明相關問題的數學史，如人教A版在講到解三角形一章時引用古代測量地月距離的例子說明基線選擇的重要性。

按照以上的分類標準統計發現，人教A版出現于正文部分的數學史次數從必修1到必修5依次為：1，1，4，0，7，共13處；蘇教版出現于正文部分的數學史次數從必修1到必修5依次為：0，1，3，0，2，共6處。具體分布情況見表1。

表1 正文數學史分布

比較發現，兩套教材在正文部分融入數學史主要是通過章、節“前言”的形式實現的，人教A版有8處，占正文部分的61.5%；蘇教版有3處，占正文部分的50.0%。其中以“解釋說明”的形式融入數學史于正文的方式最少，人教A版只有2處，占正文部分的15.4%；蘇教版只有一處，占正文部分的16.7%。

將數學史內容穿插在概念講解或問題說明中，有利于學生及時了解概念產生的背景，理解概念的內涵和外延，更好地體會其中的思想方法。遺憾的是兩套教材都只重視數學史作為章、節導入的背景材料的作用，較少關注數學史在解釋相關數學概念方面的功能，而這恰恰是挖掘史料所蘊含的數學思想方法的最好時機，是將學術形態的數學史轉化為教育形態的數學史的重要途徑。

2.例題數學史分布

例題是數學教材的重要組成部分，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源，是數學教材中概念、命題與習題之間的橋梁和紐帶。兩套教材在例題部分出現的數學史都比較少，其中蘇教版在該部分沒有設置相關數學史，人教A版分別在必修3《算法初步》一章和必修5《數列》一章各設置一道數學史相關例題。

人教A版必修3（P9）例3：已知一個三角形三邊的邊長分別為a，b，c，利用海倫—秦九韶公式（注記：海倫—秦九韶公式簡介）設計一個計算三角形面積的算法，畫出程序框圖表示。

人教A版必修5（P30）例2：圖2.1—5（圖略）的三角形稱為謝賓斯基（Sierpinski）三角形。在下圖四個三角形中，著色三角形的個數依次構成一個數列的前4項，請寫出這個數列的一個通項公式，并在直角坐標系中畫出它的圖像。

人教A版中的兩道例題以數學史為背景設計問題，對激發學生的學習興趣有一定作用，但例題在講解中只是就題論題，并沒有充分挖掘史料所蘊含的思想方法，或進一步分析史料所體現的文化內涵，這些恰恰是中學教師所關心并欠缺的方面，因此只能是數學史淺層次地融入方式，但這樣的安排也體現了教材例題設置多樣化的要求，是向更高水平融入數學史的一個過渡階段。建議教材在例題講解過程中不妨以“旁注”的形式設置相關問題，針對數學文化或思想方法層面引導學生進行思考。蘇教版教材沒有設置與數學史相關的例題，當然我們不能以此評判兩套教材例題設計的合理與否，例題的設置需要綜合考慮多方面因素。endprint

3.習題數學史分布

統計發現，以習題形式融入數學史主要有四種呈現方式：（1）史料改編，從相關史料中發掘與課題有關的內容，經過教學法加工，設計成便于學生理解的數學問題，如人教A版必修3（P51）：設計一個算法，判斷一個正的位數是不是回文數，用自然語言描述算法步驟；（2）古算，直接引用古代數學著作中的問題，如蘇教版必修5（P67）直接引用中國古算中的“竹九節問題”；（3）實習作業，以數學史為線索，引導學生完成綜合性較強的實習作業，如人教A版必修1（P110）：對牛頓的冷卻模型進行驗證，然后探究相應問題；（4）相關數學文化，從古代歷史文明中選擇素材，挖掘其中的數學成分設計成問題，如蘇教版必修2（P128）以趙州橋為背景設置練習題。

根據以上的分類標準統計得：人教A版從必修1到必修5習題部分出現的數學史次數依次為1，1，1，0，1，共4處；蘇教版出現次數依次為1，1，5，1，5，共13處，較人教A版多9處。具體分布情況見表2。

表2 習題數學史分布

首先，從數量上比較，人教A版以習題方式融入數學史的次數明顯少于蘇教版，且蘇教版每個模塊至少有1處以習題形式融入數學史。其次，從呈現方式上分析，教材多以“史料改編”的形式呈現，其中蘇教版共有7處，人教A版共有1處，這也是我國數學教材中融入數學史的主要方式，即：以歷史名題（問題）為模板，將情景或屬性換成學生熟悉的現代場景的“順應式”。相反，以相關數學文化為背景的習題最少，兩類教材各有1處，且題材相同，從數學文化呈現方式多元化的角度考慮，這一點值得注意。

4.閱讀材料數學史分布

以閱讀材料形式出現的數學史，主要包括數學家生平，數學概念、符號、思想的淵源，歷史上的數學問題、思想方法等。在該部分出現的數學史主要集中在正文后的“閱讀與思考”和相關知識點的“注記”部分。在“閱讀與思考”部分出現的數學史主要介紹數學家的歷史貢獻，數學概念的產生、發展和應用，以及數學對人類文明的貢獻等。在“注記”部分出現的數學史以簡短的語言對相關知識點予以解釋，方便讀者閱讀，對數學史時刻提及，即使是一些簡單的注記，也有利于學生數學文化素養的養成。如蘇教版在學完“古典概型”之后，以“閱讀與思考”的形式介紹了“小概率事件”；人教A版在推導等差數列前項和公式時，在空白處以“注記”的形式介紹了數學家“高斯”。

統計發現，從必修1到必修5，人教A版以閱讀材料形式出現的數學史次數依次為5，10，11，3，5，共34處，其中有18處以“閱讀與思考”的形式出現，16處以“注記”的形式出現；蘇教版出現次數依次為6，3，14，5，2，共30處，其中17處以“閱讀與思考”形式出現，13處以“注記”形式出現。由于數學史融入教材主要以“閱讀與思考”這種形式為主，我們對兩套教材從該角度進行比較，具體分布情況見表3，表4。

首先，從數量分布來看，兩套教材在“閱讀與思考”部分出現數學史次數基本相同。人教A版在每個模塊至少有兩處安排與數學史相關的“閱讀與思考”材料，其中必修2最多，有6處，必修4最少，有2處，平均每冊出現3.6次；蘇教版每個模塊至少有一處安排有相關材料，必修3最多，有7處，必修5最少，有1處，平均每冊出現3.4次。

兩套教材在該部分的數學史分布并不均勻，人教A版主要集中在必修2和必修5（占55.6%），蘇教版主要集中在必修3和必修4（占65.0%）。由于以“閱讀與思考”形式出現的數學史是學生學習數學史知識和體驗數學文化內涵的主要途徑，因此教材在設計上要盡量考慮“連續性”，使學生在每個模塊的學習中適時感受到數學文化的熏陶。

其次，從內容分布來看，兩套教材在“閱讀與思考”內容的選材上，都注意選取一些對數學和人類發展有重要影響的數學家及其發明創造作為閱讀素材，或以歷史上有名的數學問題和數學故事為背景設置思考問題，或展示數學在人類生活和其他學科中的廣泛應用?？傮w來看，“閱讀與思考”的素材可分成四類：（1）數學概念發展，介紹重要數學概念的產生、發展、完善和應用；（2）思想方法介紹，介紹重大數學思想方法在學科內的應用；（3）數學故事，介紹數學家生平及其重要貢獻，以及相關數學趣題；（4）數學與其他，介紹數學在人類生活，生產或其他領域的應用。

表3 閱讀與思考數學史類目統計

表4 閱讀與思考數學史分類統計

統計發現，兩套教材都比較重視介紹數學中重要思想方法及核心概念的發展歷史，這也正是高中數學史不同于義務教育階段數學史的最大特點，高中數學史的呈現方式當然不能像小學初中那樣，以敘事為主，而要以激發學生的思考為主。

進一步研究發現，由于“函數概念”、“對數概念”、“解析幾何”和“向量概念”都是中學數學中的核心概念，“畫法幾何”和“斐波那契數列”曾在人類文明發展中有過重要影響，而“祖堩原理”又蘊含著深刻的數學思想，因此兩套教材都將這些素材（共7處）設計成“閱讀與思考材料”，在此基礎上兩套教材又根據各自需要設置了其他獨具特色的閱讀材料。

最后，從微觀角度分析兩套教材數學史的編排特點，主要表現在以下三個方面：（1）人教A版對數學概念的發生發展過程敘述比較完整，且圖文并茂，便于讀者從歷史的角度理解概念的原型和產生發展的來龍去脈，而蘇教版對概念發展的敘述傾向于簡單羅列相關史實。如在介紹“對數的發明”時，人教A版詳細介紹了對數產生的歷史背景、發展和完善的過程，并配以圖示說明古代數學家是如何理解對數的，最后還從思想方法的層面概括了對數發明對我們研究數學的啟示。這樣的設計有利于引發學生的數學思考，而蘇教版只是簡單羅列對數發展過程中一些標志性事件，沒有涉及更深層次的內容。（2）人教A版在介紹數學概念的產生和應用時，不僅會聯系到數學自身發展的背景，而且會注意到社會發展和相關學科發展對數學的要求。如在介紹“函數概念的發展歷程時”，人教A版敘述到“17世紀，科學家們致力于運動的研究，如計算天體位置，遠距離航海中對經度和緯度的測量，炮彈的速度對于高度和射程的影響等……這正是函數產生和發展的背景”；在介紹“對數的發明時”，人教A版敘述到“16、17世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展，改進數字計算方法成了當務之急……”；在介紹“向量的由來”時，人教A版敘述到“向量最初應用于物理學，被稱為矢量。很多物理量，如力、速度、位移、電場強度、磁感應強度等都是向量……”，顯然這樣的設計能使讀者意識到“數學來源于生活、服務于生活、生活中處處有數學”。（3）人教A版在每篇“閱讀與思考”之后，都會用一段話概括材料中的數學思想方法，或針對本節內容提出一些發人深思的問題。這樣的設計可以幫助讀者更好地理解閱讀材料所蘊含的思想內容，可以更好地發揮數學史作為閱讀材料的教育功能。如在介紹“笛卡爾與解析幾何”中，最后敘述到“解析幾何的創立提供了研究幾何問題的一種新方法，借助于坐標系，把幾何問題轉化為代數問題來研究。這種方法具有一般性，它溝通了數學內部數與形、代數與幾何兩大學科之間的聯系……”并進一步提出思考問題“你是如何理解解析幾何的重要性在于它的方法？”值得指出的是，人教A版在必修2“祖堩原理與柱體、錐體、球體的體積”一節，不僅簡單介紹了原理的內容，還進一步總結了其中蘊含的思想方法，并以較多的篇幅運用該原理推導了柱體、錐體和球體的體積公式。我們認為這是一種較好的融入數學史于教材的設計方式，是通過對歷史上數學問題進行改編，使之具有適合于今日課堂教學情境或屬性的順應式融入[2]，遺憾的是這樣的設計在必修教材中僅此一處。endprint

總之，人教A版對“閱讀與思考”部分的數學史設計比較細致科學，不僅重視數學史的文化育人功能，而且注意到數學史服務于數學教學的思維啟迪功能。

三、思考與建議

首先，數學史按章分布不夠均勻（當然要考慮到具體情況）。有的章節設置有很多數學史材料，如《算法初步》一章（人教A版11處，蘇教版14處），而有的章節幾乎沒有安排數學史，如《不等式》一章（人教A版1處，蘇教版0處）。其次，數學史按類分布也不均勻。表現為數學史主要集中在“閱讀材料”部分，其中人教A版占64.2%，蘇教版占61.2%，而在閱讀材料部分又以附加于文后的“閱讀與思考”形式居多。研究表明，以閱讀材料形式出現的數學史如果處理不當，其作用容易流于形式，由于不能引起師生過多關注，其應有的教育功能也會大打折扣；相反，在正文、例習題部分出現的數學史較少，而這部分數學史正是師生可以直接利用的材料，因為在使用過程中能有效地在學生頭腦中留下印象，即使從單純培養學生情感、態度和價值觀角度來看，也是有意義的，建議教材能更多地關注在例、習題中融入數學史。

再次，數學史的呈現方式略顯單一。表現在例、習題部分的數學史主要是作為問題的背景材料出現，如果將該問題背景用其他表現形式替換，也不會影響到問題的分析和解決。這里想要說明的是，數學史作為背景材料當然是可以的，也是必要的，畢竟能在一定程度上激發學生的興趣，問題是我們是否應該在此基礎上，多一些引導和提示性語言，引發學生基于文化層面或思維層面的思考，以便充分發揮數學史的作用?？梢栽诶⒘曨}的一旁設置小問題啟發學生思考，比如：“通過問題的解決，你是否意識到古代數學家的偉大智慧？”“該問題的解決體現了怎樣的數學思想方法，你能想象當時的數學家是怎樣思考該問題的嗎？”“查閱資料，搜集類似的問題給出自己的解答?！币粋€簡單的數學史背景，往往會在不斷的挖掘和追問中顯得豐富、靈動和深刻[3]！

參考文獻

[1] 吳文俊.在教育部的全國高校中外數學史講習班開學典禮上的講話.中國數學史論文集（二）.山東：山東教育出版社，1986.

[2] 蒲淑萍，汪曉勤.數學史怎樣融入數學教材：以中、法初中數學教材為例.課程.教材.教法，2012（8）.

[3] 李保軍，葉雪梅.人教A版與蘇教版函數概念比較研究.中學數學月刊，2013（2）.

【責任編輯 郭振玲】endprint