對分課堂模式在高中數學教學的課堂實踐

摘?要：對分課堂核心是一半時間老師教，一半時間學生研。保留老師講授這一傳統(tǒng)教學的精華，保證了知識傳遞的系統(tǒng)性、準確性和有效性，但并不窮盡內容，留給學生進一步主動探索的空間，引發(fā)學生主動對問題進行數學抽象性、數學建模和邏輯推理，培養(yǎng)學生理性的數學思維。

關鍵詞：對分課堂;核心素養(yǎng);理性思維

對分課堂模式的核心理念是把課堂的時間一半分給教師精講，另一半分給學生討論，使講授法與討論法兩者長短互補。這種新型教學模式理念深刻、簡明易用，變學生被動學習為主動學習，全面培養(yǎng)學生科學精神、學會學習和實踐創(chuàng)新等核心素養(yǎng)。在高中數學課堂中逐步形成和發(fā)展學生的數學抽象、邏輯推理和數學建模等核心素養(yǎng)。

一、 對分課堂與傳統(tǒng)課堂的比較

筆者所在課題組在開展課堂教學中“學與教”方式的改革探索實踐中，借鑒目前國內近十種教學改革模式，最終形成以“小組合作學習”為立足點，探索“先教后研，對分課堂”高效高中數學課堂教學模式。該模式分教師精講、自主學習、自主練習、小組合作學習、交流展示、共同提煉六個關鍵環(huán)節(jié)，其中“小組合作學習”過程是重點環(huán)節(jié)。對分課堂分“當堂對分”和“隔堂對分”，其核心是一半時間老師教，一半時間學生研;有時可以把教授和研討的時間隔堂錯開，讓學生在課后有一段時間自主學習，加強對知識的理解記憶。在傳統(tǒng)課堂上，教師講授力求完整詳盡，學生沒有發(fā)揮余地，趨向被動接受。在高中數學對分課堂上，老師有引導，但并不窮盡內容，留給學生進一步主動探索的空間，能夠引發(fā)學生主動對問題進行數學抽象性，根據自主學習進行數學建模和邏輯推理，有效培養(yǎng)學生理性的數學思維。對分課堂保留老師講授這一傳統(tǒng)教學的精華，保證了知識傳遞的系統(tǒng)性、準確性和有效性。對分課堂提高了學生的課堂參與度，教師化灌輸者為引導者角色。其實老師講得少，更要求教師講得精、控得穩(wěn)，因此教師地位和價值不但沒有削弱，反而得到進一步的提升，更能贏得學生的尊重。

二、 以“空間向量的基本定理課”為例

教師用PPT展示共線向量的概念、共線向量定理及其推論和共面向量定理：

如果兩個向量a，b不共線，p與向量a，b共面的充要條件是存在實數x，y使p=xa+yb

證明：（必要性）設向量a，b不共線，p與向量a，b共面，根據平面向量的基本定理，一定存在實數x，y使p=xa+yb。（充分性）設存在實數x，y使p=xa+yb。取空間任意一點M，作MA=a，MB=b，MA′=xa，A′P=yb，則MP=xa+yb=p，于是點P在平面MAB內，向量p∥平面MAB。即p與向量a，b共面。

推論：空間一點P位于平面MAB內的充分必要條件是存在有序實數對x，y，使MP=xMA+yMB?①或對空間任一點O，有OP=OM+xMA+yMB或OP=xOA+yOB+zOM，（x+y+z=1）

上面①式叫做平面MAB的向量表達式。

教師講授時從學生認知出發(fā)，通過學生已學的知識，抽象出研究對象，理解揭示數學中的本質。兩個向量共線，其中一個向量能用另一個向量表示且表示形式唯一。那么，平面任一向量能用兩個不共線的向量表示，且當不共線向量確定時，表達形式唯一。那么空間向量可以由幾個向量表示，表達形式唯一嗎？

為了能讓學生用科學方法探索規(guī)律，教師在講授過程中要讓學生體會數學研究對象的抽象和嚴謹的邏輯推理論證的過程。這樣不僅可以提升學生學科核心素養(yǎng)，而且在這類型問題上找到了知識積累、知識遷移和知識創(chuàng)新的方法;為學生自主學習指明了方向。

學生基本能夠類比共線向量和平面向量的基本定理的思想對表達空間任一向量做出猜想：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的序實數組x，y，z，使p=xa+yb+zc。學生通過小組合作學習、討論和交流展示綜合得出如下結論：

（存在性）設a，b，c不共面，

過點O作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p;

過點P作直線PP′平行于OC，交平面OAB于點P′;

在平面OAB內，過P′作直線P′A′∥OB，P′B′∥OA，分別與直線OA，OB相交于點A′，B′，于是，存在三個實數x，y，z，使OA′=xOA=xa，OB′=yOB=yb，OC′=zOC=zc，

∴OP=OA′+OB′+OC′=xOA+yOB+zOC

所以p=xa+yb+zc

（唯一性）假設還存在x′，y′，z′使p=x′a+y′b+z′c

∴xa+yb+zc=x′a+y′b+z′c

∴（x-x′）a+（y-y′）b+（z-z′）c=0

不妨設x≠x′即x-x′≠0，∴a=y-y′x′-x·b+z-z′x′-x·c

∴a，b，c共面此與已知矛盾。由此定理，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。

值得一提的是，對分課堂模式給學生充分時間思考。學生在探求新知時，儲備了大量的結論和疑問，學生參與課堂討論、展示成果的熱情高漲，在智慧與智慧的碰撞下會得到許多精彩的結論。比如：

討論出空間向量的定理推論：設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使OP=xOA+yOB+zOC。

探究出多維空間向量表達的內在聯系和本質：二維空間里，任一個向量可以被不共一維空間的兩個向量表達;三維空間里，任一個向量可以被不共二維空間的三個向量表達;同理可推導，N維空間里，任一個向量可以被不共N-1維空間的N個向量表達。且表達形式唯一。

三、 結語

對分課堂教學模式輸入—內化—輸出的學習過程與數學知識認知理解—知識遷移—實踐創(chuàng)新的生成發(fā)展過程是高度一致的。由教師提問過渡到學生自主提問，顯得更為尊重學生。從學習效果看，對分模式的討論是延時討論，無論是在隔堂對分還是當堂對分中，學生都有充分的準備和內化吸收的時間。這樣可以加深學生對知識的理解和掌握，提高溝通交流能力，培養(yǎng)科學理性思維，激發(fā)學習數學的熱情，最終促進學生學科核心素養(yǎng)提升。

作者簡介：

唐震，福建省三明市，三明市第九中學。