數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

摘要：本文從“數(shù)系研究”、“函數(shù)研究”兩個(gè)方面出發(fā)，提出了對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想中研究環(huán)境的對(duì)應(yīng)唯一性及其可替代性的具體論證。并且對(duì)初中數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)中一些特征題型進(jìn)行分類(lèi)，本文分為“定義類(lèi)”、“代數(shù)轉(zhuǎn)化圖像類(lèi)”、“圖像轉(zhuǎn)化代數(shù)類(lèi)”三類(lèi)進(jìn)行論述。最后對(duì)于初中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想教育對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的作用進(jìn)行了闡述。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；研究環(huán)境；例題類(lèi)型

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）14-231-01

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，“數(shù)形結(jié)合的思想”作為一種數(shù)學(xué)研究的重要方法，在教育教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)該予以著重強(qiáng)調(diào)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初級(jí)階段，應(yīng)該讓學(xué)生擁有這種思考問(wèn)題的意識(shí)，在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題中能夠有意識(shí)應(yīng)用這種研究方法，使一些復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，使一些抽象的代數(shù)問(wèn)題變得更加直觀。作為教師，在課堂中，講解比較抽象的代數(shù)概念時(shí)，也應(yīng)該有意識(shí)的應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合的思想”進(jìn)行講解。因此，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中讓學(xué)生領(lǐng)悟到“數(shù)形結(jié)合思想”的真正意義所在和使用方法，以至于可以讓學(xué)生在日常解決問(wèn)題時(shí)使用“數(shù)形結(jié)合法”時(shí)能夠融會(huì)貫通。

一、對(duì)于數(shù)形結(jié)合法研究環(huán)境的探索

在研究“數(shù)形結(jié)合思想”時(shí)，我們必須要首先引入研究的環(huán)境。在研究“數(shù)系”時(shí)，我們引入“數(shù)軸”的概念；在研究“函數(shù)”時(shí)，我們引入“平面直角坐標(biāo)系”的概念。注意在教育教學(xué)過(guò)程中，我們必須向?qū)W生強(qiáng)調(diào)引入全新研究環(huán)境的概念，對(duì)于“數(shù)形結(jié)合法”的實(shí)踐的重要作用——為了讓所研究的代數(shù)符號(hào)，在空間中有具體且唯一的圖形概念與之對(duì)應(yīng)。

這就是我們要說(shuō)的“數(shù)軸”與“平面直角坐標(biāo)系”，下面我分別具體列述它們的意義：“數(shù)軸”作為引入“負(fù)數(shù)”概念的重要理解方法，在浙教版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)上冊(cè)中有具體的涉及。數(shù)軸作為一條具有“正方向”、“單位長(zhǎng)度”、“原點(diǎn)”三要素的一條特殊的直線，能夠清楚的表達(dá)數(shù)系內(nèi)的一切有理數(shù)。任何代數(shù)形式的圖像化，具有一個(gè)通性，即“代數(shù)形式與圖形，在相同的研究環(huán)境下，有且唯一”，這一通性使數(shù)學(xué)研究保持其嚴(yán)密性、客觀性。而保持這種通性的方法只有完善研究環(huán)境。

在有理數(shù)系研究中，我們利用數(shù)軸作為研究環(huán)境。其中“正方向”確定了一組數(shù)的大小情況；“原點(diǎn)”，確定了整個(gè)數(shù)軸在整個(gè)有理數(shù)系中的相對(duì)位置；“單位長(zhǎng)度”均分?jǐn)?shù)軸，以此確定每一個(gè)數(shù)的具體位置。由此，我們可以保證每一個(gè)數(shù)在數(shù)軸中的表示“有且唯一”。且圖形統(tǒng)一為落在數(shù)軸上的各個(gè)點(diǎn)。這種表示方法，滿(mǎn)足“代數(shù)形式與圖形轉(zhuǎn)換”時(shí)的“通性”，保證了通過(guò)數(shù)軸研究有理數(shù)系的嚴(yán)密性、客觀性。在有關(guān)數(shù)軸的研究中，我們通常不研究在數(shù)軸中的單一的、孤立的數(shù)據(jù)，通常是一組有限個(gè)或者是無(wú)限個(gè)數(shù)據(jù)。在研究有限多個(gè)數(shù)據(jù)或無(wú)限多個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，利用數(shù)軸的研究方法具有其優(yōu)越性。數(shù)軸可以利用一串有限多個(gè)或無(wú)限多個(gè)的點(diǎn)、又或是一段線段來(lái)直觀地表示具有某一特定性質(zhì)，如在某一特定區(qū)間中的數(shù)。這種研究方法在集合的運(yùn)算及不等式運(yùn)算中應(yīng)用得相當(dāng)普遍。

作為研究環(huán)境，在滿(mǎn)足“數(shù)形結(jié)合”環(huán)境的通性，即“代數(shù)形式與圖像圖形有且唯一的對(duì)應(yīng)”的情況下應(yīng)該具有其應(yīng)有的“可替代性”。在代數(shù)研究需要的情況下，我們可以重新定義坐標(biāo)的圖形意義。在高中數(shù)學(xué)中，平面直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系可以發(fā)生合理的轉(zhuǎn)換。對(duì)于極坐標(biāo)方程 有特定的平面直角坐標(biāo)系方程 與之對(duì)應(yīng)。在“原點(diǎn)與極點(diǎn)重合”、“單位長(zhǎng)度相等”的情況下，保證兩種代數(shù)表達(dá)法所對(duì)應(yīng)的圖像完全重合。表面上是代數(shù)形式的種類(lèi)出現(xiàn)了變化，實(shí)際上是研究環(huán)境出現(xiàn)了變化，使圖像所對(duì)應(yīng)的代數(shù)形式更加簡(jiǎn)便，方便精確的研究。一般的二維平面直角坐標(biāo)系只能夠解決一般的平面圖形，對(duì)于立體圖形我們利用三維空間直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。將在空間直角坐標(biāo)系中的各個(gè)點(diǎn)進(jìn)行代數(shù)化，轉(zhuǎn)變成 的三維坐標(biāo)形式，進(jìn)行代數(shù)形式計(jì)算。因此具體的圖形計(jì)算，在研究環(huán)境的幫助下全部可實(shí)現(xiàn)代數(shù)化。

二、數(shù)形結(jié)合題型的范例式分類(lèi)

在利用到“數(shù)形結(jié)合思想”的題目中，也可以大體的分為幾個(gè)類(lèi)型，“定義類(lèi)”、“代數(shù)轉(zhuǎn)化圖像類(lèi)”、“圖像轉(zhuǎn)化代數(shù)類(lèi)”。在實(shí)際教育教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該讓學(xué)生主觀的建立題型的整理能力。在“數(shù)形結(jié)合法”適用的題型中，我們也應(yīng)該注意類(lèi)型的區(qū)別，這樣在實(shí)際的應(yīng)用中才能夠準(zhǔn)確地答題。

1、定義類(lèi)

例如：利用了絕對(duì)值的定義，將比較抽象的代數(shù)形式，通過(guò)基本的定義轉(zhuǎn)化成了比較直觀的圖形，即線段長(zhǎng)度的比較，充分的體現(xiàn)出了“數(shù)形結(jié)合”的優(yōu)越性。在教育教學(xué)的過(guò)程中，我們?cè)谝胴?fù)數(shù)和絕對(duì)值概念時(shí)，對(duì)于數(shù)軸的概念必須著重強(qiáng)調(diào)。數(shù)軸是研究實(shí)數(shù)系的重要工具，使實(shí)數(shù)系中的各個(gè)數(shù)在數(shù)軸上有與之唯一對(duì)應(yīng)的圖像表示，是數(shù)系問(wèn)題利用“數(shù)形結(jié)合法”的橋梁。在高中數(shù)學(xué)，集合的學(xué)習(xí)中，對(duì)于一般形式的集合，我們可以通過(guò)韋恩圖來(lái)數(shù)形結(jié)合表示集合的相關(guān)運(yùn)算。這種求公共部分的方法，屬于求公共部分的原形，是學(xué)生理解“數(shù)形結(jié)合”理念中，圖像的交集與代數(shù)式形式的交集的第一步。

2、代數(shù)轉(zhuǎn)化圖像類(lèi)

例如：在函數(shù)的計(jì)算中，關(guān)鍵的點(diǎn)坐標(biāo)是必須抓住的。這是提供學(xué)生正確的函數(shù)解析式的第一步。而這些點(diǎn)的獲取一般我們可以通過(guò)研究函數(shù)解析式的方法得到，如“連列解析式求交點(diǎn)”等，但是這種一般的方法對(duì)于代數(shù)計(jì)算量的要求往往是極大的。在這種情況下，往往可以從“數(shù)形結(jié)合法”得到突破。學(xué)生們可以暫時(shí)脫離函數(shù)的大框架，對(duì)于關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行幾何的定位，求得一些邊長(zhǎng)來(lái)作為關(guān)鍵點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，再聯(lián)系函數(shù)解析式輕松解得關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)。

3、圖像轉(zhuǎn)化代數(shù)類(lèi)

例如：在實(shí)際的解題過(guò)程中，我們可以將復(fù)雜的幾何問(wèn)題，通過(guò)設(shè)定適當(dāng)?shù)难芯凯h(huán)境（建系），來(lái)求的具體的數(shù)值。

在一般的幾何知識(shí)是不可能求得的情況下，我們不得不聯(lián)系函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解。首先一步我們必須設(shè)定合適的研究環(huán)境，即建立合適的“平面直角坐標(biāo)系”。這一步驟的意義是讓具體的函數(shù)圖像在在這個(gè)研究環(huán)境下具有其代數(shù)意義，可以在這個(gè)直角坐標(biāo)系的定義下列出其方便求解未知量的函數(shù)解析式。由于研究環(huán)境具有其可替代性，因此建系的不同不會(huì)影響到求解結(jié)果。建立一個(gè)適合與自己求解未知量的坐標(biāo)系，是學(xué)生應(yīng)該掌握的一項(xiàng)本領(lǐng)。應(yīng)該由自己在平時(shí)的題目訓(xùn)練中總結(jié)得出，教師可以對(duì)一些一般的圖形情況作適當(dāng)講解。