高中數學排列組合應用題的教學

摘要：排列組合應用題思維抽象，解法獨特且靈活多變，搞好排列組合應用題的教學對訓練學生的思維，培養學生分析問題、解決問題的能力都有十分重要的意義。加法原理和乘法原理是推導排列組合種數計算公式的重要依據，也是解排列組合問題的關鍵。

關鍵詞：排列；組合；應用題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）14-108-01

排列組合應用題思維抽象，解法獨特且靈活多變，搞好排列組合應用題的教學對訓練學生的思維，培養學生分析問題、解決問題的能力都有十分重要的意義。那么，如何搞好這部分內容的教學呢？筆者結合自己多年的教學經驗談幾點體會。

一、抓住“兩個原理”

重視對“兩個原理”的教學?！凹臃ㄔ怼焙汀俺朔ㄔ怼笔峭茖帕薪M合種數計算公式的重要依據，也是解排列組合問題的關鍵。讓學生明確在考慮應用兩個原理解決問題時，要注意“完成一件事”的辦法是分步進行還是分類完成。如果是分步進行，就找出完成每一步的方法數，運用乘法原理來解決；如果是分類完成的，就找出每一類的方法數，運用加法原理來解決。

例1：有五個球要放在三個盒中，共有多少種不同的放法？

此問題的關鍵是5個球都要放到盒中，而每個球都有3種放法，把其中某個球放到盒中是完成“5個球放到盒中”這件事的一個步驟，只有5個步驟全部完成這件事才算完成，按乘法原理有3×3×3×3×3﹦﹦245（種）

例2：從甲地到乙地每天有1班火車，2班輪船，4班汽車。王紅要從甲地到乙地，乘坐這三種交通工具一天有多少種不同走法？

此問題的關鍵是王紅無論乘火車、乘輪船還是乘汽車都能完成從甲地到乙地這件事，且乘火車有1種方法，乘輪船有2種方法，乘汽車有4種方法，按加法原理有1+2+4﹦7（種）

二、辨清“排列”“組合”

在解排列組合應用題時，在明確了使用哪個原理的同時，還要提醒學生注意分辨是排列問題還是組合問題。排列是按一定順序排成的一列元素，兩個排列的不同，意味著兩個排列的元素不同或元素相同，但元素的排列順序不同。組合是無順序約束的一組元素，兩個組合的不同，意味著當且僅當兩個組合元素的不同。

例3：用1分、2分、5分的硬幣各一枚，可以組成多少種不同的幣值？

三種硬幣組成不同幣值的方式可分為三類，即分別用一枚兩枚三枚組成，且無論用幾枚硬幣所組成的幣值種數與硬幣的排序無關，因此是組合問題，共7種

例4：某信號兵用紅、黃、藍三面旗，從上到下插在豎直的旗桿上表示信號，每次可插一面、兩面、三面，一共可以表示多少種不同的信號？

解此類問題時要求學生聯系實際。掛旗表示信號，與各色旗的上下順序有關，因此是排列問題。信號又可分為三類，用一面旗、兩面旗、三面旗都可獨立表示不同信息，因此有15種

三、總結常用方法

講排列組合應用題時，從不同角度分析問題，再把學生的解題方法匯集起來，然后讓大家討論，哪種方法巧妙，哪種方法帶有一般性，是常用方法。經歸納總結，解排列組合應用題有以下幾種常用方法。

1、直接法。就是根據題中的約束條件，直接使用兩個原理，從正面求出符合題意的排列（組合）種數。

例5：五人并排照相，甲必須在中間有多少種不同排法？

解：假設有排好了順序的五個位置，不考慮甲，先在四個人中選一人站在一號位，再從其余的三人中選一人站在二號位，三號位留給甲，四 號位從余下的二人中選，剩下的1人就是五號位了。共有排法24（種）。也可從把除甲外的四人全排，在每一種排法中讓甲站在中間有24（種）。

2、間接法。就是從不考慮約束條件的排列（組合）中剔除不符合約束條件的排列（組合）種數。如例5的間接求法。 解：把5個人的全排列剔除甲不在中間位置的排法，有24種。

3、特殊元素優先法。排列組合問題中有些元素有一定的特殊約束條件，求解時先考慮有特殊約束條件的元素。如例5，甲是有特殊約束條件的元素，所以先把甲放在中間位置，其余4人在另外四個位置任意排列，有24（種）。

4、捆扎法（或并元法）：排列問題中往往要求某些元素必相鄰。解這類問題時可把這些元素捆扎在一起并作一個元素加以排列

例6： 5個人并排照相，甲乙二人不分開有多少種不同的排法？

解：可分兩步。①把甲乙二人捆扎在一起看作一個元素與其余三人進行全排列，有種，②再把甲乙二人全排列有種，由乘法原理有48種。

5、插空法。排列題經常有某兩個元素不相鄰的排法。解題時可先排無約束元素，再把有約束元素插在已排好順序的空中。

例7：5人排成一排照相，甲乙兩人不相鄰有多少種排法？

解：分兩步：①先把其余三人全排，有種，②三人排好后有4個空可插，甲乙任選二空有種，由乘法原理有72種。

6、先組后排法。有些數列可通過先組合后排列兩步完成。

例8：從1、3、5、7、9中取三個數字，從2、4、6、8中取兩個數字，共能組成多少個無重復數字的五位數？

解：分三步：①從1、3、5、7、9中取三個數不考慮順序，有種取法，②從2、4、6、8中取兩個數亦不考慮順序，有種取法，③對取出的五個數進行全排列有種，由乘法原理共有7200種。

教師在幫助學生歸納出以上幾種常用方法后應指出：在解排列組合應用題時要廣開思路，不能死記硬背硬套方法，要善于變通。

總之，在排列組合應用題的教學中，教師要引導學生在做題前一定要認真審題、慎密思考，分清“完成一件事”是過程分步還是方法分類；是排列問題還是組合問題。經過訓練，由單一到綜合，由簡單到復雜，再難的問題也可以解決了。