函數的凸性在解題中的應用

摘 要：函數貫穿著中學數學課程的內容，函數的凸性是函數的一個重要性質，雖然此性質沒有在中學數學中直接提出，但它隱含在高考、競賽、自主招生的題目之中。這篇文章就函數的凸性及應用作了一個介紹，說明什么是函數的凸性，有關的定義、定理及其應用。

關鍵詞：函數的凸性 有關定義定理 在解題中的應用

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）04（c）-0106-02

我們已經知道函數和的圖象，它們不同的特點的是：曲線上任意兩點的弧段總在兩點連線的下方，而曲線上任意兩點的弧段總在兩點連線的上方。我們把具有前一種特性的曲線成為凸的（或成為下凸的），相應的函數成為稱為凸函數；具有后一種特性的曲線成為凹的（或成為上凸的），相應的函數成為稱為凹函數。

定義：設為定義在區間（a，b）上的函數，若對于（a，b）內的任意兩個實數和任意實數，總有

則稱為（a，b）上的凹函數。

注：如果（1）、（2）中的不等式改為嚴格不等式，則相應的函數成為嚴格凸函數和嚴格凹函數。

圖1中的（1）、（2）分別為凸函數和凹函數的幾何形狀，其中

，，

一般地，如果為（a，b）上的凸函數，那么為（a，b）上的凹函數。因此，我們只需討論凸函數的性質即可。

定理1：設為（a，b）上的凸函數，是（a，b）內的三個點，則有下邊三個結論：

（1）≤。

（2）≤。

（3）≤。

證明：這是在幾何直觀上明顯成立的事實，其證明十分簡單，是凸函數定義的直接推論，則

整理可得≥所以結論（3）得證

由（3）證（1），設（a，b）上的兩點，

，由（3）并利用

分別用、乘上面兩式并相加可得

≥所以結論（1）得證

注意結論（3）的幾何意義是曲線總是在它的任意一條切線的上方如圖2。

對于凹函數同樣有類似定理2的結論。

定理3：設為（a，b）上的二階可導函數，則在（a，b）上為凸（凹）函數的充要條件是≥≤，

證明：必要性：由的凸性和定理2

可得取定則任意 ≥

由于在x點有二階導數就有

由上兩式分別乘以相加就得到

≥所以是（a，b）上的凸函數

例1：討論函數的凸凹性區間

解：由于

當≤0時，≥0 當≥0時，≤0

所以，在上為凸函數；在上為凹函數

例2：求證：≤其中a，b，c均為正數

證明：設

因此，在x>0時為嚴格凸函數。

依據詹森不等式有（注：詹森（Jensen）不等式

≤

如果在[a，b]上是凸函數那么對于任意

從而≤

即≤，又≤

所以≤

注：取=1時，≥，是凸函數；

≥，是凹函數。

例3：已知函數f （x）=logax（a>0且a≠1），（x∈（0，+∞）），若x1，x2∈（0，+∞），判斷[f （x1）+f （x2）]與f （）的大小，并加以證明.

分析：當a>1時，是凹的（或上凸的）所以[f （x1）+f （x2）]≤f （）

當0

解：f （x1）+f （x2）=logax1+logax2=logax1x2，

∵x1，x2∈（0，+∞），x1x2≤（）2（當且僅當x1=x2時取“=”號），

當a>1時，有logax1x2≤loga（）2，

∴logax1x2≤loga（），（logax1+logax2）≤loga，

即[f （x1）+f （x2）]≤f （）（當且僅當x1=x2時取“=”號）

當0

∴（logax1+logax2）≥loga，即[f （x1）+f （x2）]≥f （）

（當且僅當x1=x2時取“=”號）。

例4：在四個函數中，當時，使成立的函數是（ ）。

A. B. C. D.

分析：就是判斷時，的凸凹性

解：有圖像可知，的圖象是上凸的，所以選A

函數的凸性是函數的一個重要性質，有著廣泛的應用，在中學數學教材中雖然此性質沒有直接提出，但它隱含在高考、競賽、自主招生的題目之中。在數學中，有些函數的題目，如果知道了并應用函數的凸性就有了解題的思路，問題就得到了解決。這篇文章是我在教學中所遇到問題初步探討，僅供同仁教學參考，若有不當之處敬請斧正。