函數的凸性在解題中的應用

摘 要：函數貫穿著中學數學課程的內容，函數的凸性是函數的一個重要性質，雖然此性質沒有在中學數學中直接提出，但它隱含在高考、競賽、自主招生的題目之中。這篇文章就函數的凸性及應用作了一個介紹，說明什么是函數的凸性，有關的定義、定理及其應用。

關鍵詞：函數的凸性 有關定義定理 在解題中的應用

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）04（c）-0106-02

我們已經知道函數和的圖象，它們不同的特點的是：曲線上任意兩點的弧段總在兩點連線的下方，而曲線上任意兩點的弧段總在兩點連線的上方。我們把具有前一種特性的曲線成為凸的（或成為下凸的），相應的函數成為稱為凸函數；具有后一種特性的曲線成為凹的（或成為上凸的），相應的函數成為稱為凹函數。

定義：設為定義在區間（a，b）上的函數，若對于（a，b）內的任意兩個實數和任意實數，總有

則稱為（a，b）上的凹函數。

注：如果（1）、（2）中的不等式改為嚴格不等式，則相應的函數成為嚴格凸函數和嚴格凹函數。

圖1中的（1）、（2）分別為凸函數和凹函數的幾何形狀，其中

，，

一般地，如果為（a，b）上的凸函數，那么為（a，b）上的凹函數。因此，我們只需討論凸函數的性質即可。

定理1：設為（a，b）上的凸函數，是（a，b）內的三個點，則有下邊三個結論：

（1）≤。

（2）≤。

（3）≤。

證明：這是在幾何直觀上明顯成立的事實，其證明十分簡單，是凸函數定義的直接推論，則

整理可得≥所以結論（3）得證

由（3）證（1），設（a，b）上的兩點，

，由（3）并利用

分別用、乘上面兩式并相加可得

≥所以結論（1）得證

注意結論（3）的幾何意義是曲線總是在它的任意一條切線的上方如圖2。……