不等式中恒成立問題求解的基本策略與方法

摘 要：本文研究解不等式恒成立問題基本方法，得出一般性解題規律。

關鍵詞：不等式 恒成立 求解策略

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）04（c）-0105-01

在不等式綜合問題中，經常會遇到當一個結論對于某一參數的某一個取值范圍的所有值都成立的問題，這就是不等式中的恒成立問題，這類問題綜合性強，解法靈活，對思維能力要求較高，有利于考查考生的綜合解題能力。解答此類問題的基本策略是：利用化歸與轉化思想，將未解決的問題化歸轉化為已解決的函數問題，利用函數的性質、圖象，通過靈活的代數變形求解?；镜姆椒ㄓ幸韵聨追N。

1 最值轉化法

所謂最值轉化法是指：形如 f （x）≥g（k）或 f （x）≤g（k）的不等式對于給定范圍內的一切x恒成立，求k取值范圍時，可轉化為與之等價的命題g（k）≤f （x）min或g（k）≥f （x）max即可。

例1：設x>f >z，n∈N，且（x-z）（+）≥2a+2恒成立，則實數a的取值范圍是 。

解：∵x>f >z，∴x-z=（x-f ）+（ f -z）。

∴（x-z）（+）=[（（x-f ）+（ f -z）] （+）

=2++≥4（當且僅當x+z=2y時取等號）。

∴4≥2a+2，即a≤1。

即滿足條件的實數a的取值范圍是（-，1]。

點評：運用最值轉化法要理解兩個轉化式：f （x）≥g（k）恒成立f （x）min≥g（k），f （x）≤g（k）恒成立f （x）max≤g（k），依此轉化為求函數的最值問題與解不等式問題。

2 參數分離法

若在不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等式的兩邊，寫成g（λ）≥f （x）或g（λ）≤ f （x）恒成立形式，再利用最值轉化法求解。

例2：設函數 f （x）=x2-1，對任意x∈[，+），f （）-4m2f （x）≤f （x-1）+4f （m）恒成立，則實數m的取值范圍是_______ 。

解：f （x）=x2-1知 f （）-4m2f （x）≤f （x-1）+4 f （m）（4m2+1-）x2-2x-3≥0

4m2+1-≥在x∈[，+）恒成立4m2+1-≥（）max。

又=+=3（+）2-，∵x∈[，+），∴∈（0，]，

∴（）max=3（+）2-=，∴4m2+1-≥（3m2+1）（4m2-3）≥0，

∴m2≥，即m≤-或m≥，故填（-，][，+）.

點評：最值轉化法與參數分離法是解不等式中恒成立問題最常用的兩種方法，兩種方法實……