數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用

摘要：數(shù)形結(jié)合的解題思路在高中數(shù)學教學過程中占據(jù)著非常重要的地位，即使在高考時，數(shù)形結(jié)合思想的運用也是非常普遍的。在利用數(shù)形結(jié)合思想來解決數(shù)學問題的過程中，必須認識到這一解題思想的靈魂，就是對數(shù)學知識有最基本的認知和掌握，只有熟練地運用各種數(shù)學知識、概念、公式，才有可能更好地應用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高考解題；抽象概念；數(shù)學公式

一、緒言

新課標的背景之下，數(shù)形結(jié)合的解題思路運用非常廣泛，這主要是由于這種解題方法可以將一些非常抽象的數(shù)學問題用一種生動直觀的方式呈現(xiàn)，變抽象為形象，輔助高中生非常直觀地把握數(shù)學問題的本質(zhì)。這種解題方法不僅可以調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性，提高他們的思維能力，而且還可以使復雜的解題過程變得更為簡單，減少解題過程中不必要的運算量，避免不必要的運算失誤。

二、數(shù)形結(jié)合的概念以及解決問題的對象

數(shù)形結(jié)合，簡單地說，就是通過對數(shù)學問題的內(nèi)在層次與結(jié)構(gòu)進行分析，理清各個條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，不僅分析它的代數(shù)含義，還能指出它的幾何意義，將數(shù)學問題的各種關(guān)系以及空間形式有效地結(jié)合起來，并充分地利用這種結(jié)合，找出解決問題的思路和方向，從而使問題得到順利解決。它的本質(zhì)在于將抽象的數(shù)學語言和直觀形象的圖形有效地結(jié)合起來，特別是一些代數(shù)問題和形象的圖表結(jié)合起來，將代數(shù)問題幾何化，將抽象問題形象化。

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學解題中的應用非常廣泛，譬如說在處理函數(shù)問題的過程當中，建立有效的函數(shù)模型，結(jié)合函數(shù)的圖像，求出參數(shù)的取值范圍，當然也可以在這個過程之中分析方程根的有效范圍，以及各量與量之間的有效關(guān)系。除了函數(shù)問題之外，數(shù)形結(jié)合思想還可以將代數(shù)問題有效的幾何化，建立幾何模型，分析問題的本質(zhì)，從而解決問題。當然，也可以分析出幾何問題中的斜率、截距，研究出最大最小值；最后，數(shù)形結(jié)合的思維方式還可以有效地研究圖形的形狀以及位置關(guān)系等，分析出圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，并求出答案。

三、結(jié)合實例來分析數(shù)形結(jié)合的實際運用問題

（一）集合問題中的數(shù)形結(jié)合思想解決方案

我們在高中數(shù)學中遇到的集合問題非常多，在運算集合問題的過程中，我們需要借助于數(shù)軸和Venn圖對集合問題中的交集、并集以及補集進行運算，這樣可以將集合問題簡單化，從而使運算的過程更加簡潔，學生也可以一下子就抓住問題的本質(zhì)，從而很好地解決問題。

舉一個全國理工科的高考例題來說明問題。如圖1，設(shè)想A和B和I都是非空集合，且滿足ABI，則下列各式中不正確的是：

圖1

A.IA∪B=I B.IA∪IB =I

C.AIB =φ D.IA∪IB =IA

我們根據(jù)Venn圖，很容易判斷出B選項是錯誤答案，由此順利解決幾何問題。

在集合問題上，我們還可以舉出另外一個例子，2005年湖南高考中有一道題目：某一個班級一共有50名同學報名參加了兩項比賽，其中A項有30人參加，而B項的有33人，我們還知道兩項都不參加的同學比兩項都參加的同學的三分之一還要多一個人，問題是：只參加了A項，但是沒有參加B項的一共有多少人？

在這個題目中，我們也可以畫出圖形進行處理，見圖2：

圖2

在具體的解題過程中，我們假設(shè)兩項都參加的人數(shù)有x人，都不參加的有y人，根據(jù)這個假設(shè)，可以得出兩個方程式，分別是30-x+33-x+x+y=50以及y=，將這兩個方程式并列成一個方程組，就可以很容易得出x與y的值。我們可以得出x=21，所以只參加A項，但是沒有參加B項的學生有30—21=9人，所以最后的答案應該是9人。

（二）概率問題中的數(shù)形結(jié)合思想解決方案

我們選擇2011年安徽省的文科考試題目來進行分析概率問題中的數(shù)形結(jié)合思想解決方案，題目是：從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點（見圖3），那么將這4個點作為頂點的四邊形是矩形的概率是多少？

圖3

根據(jù)圖中所呈現(xiàn)的，我們從正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機的選擇出4個頂點，共有15種選法，其中能夠構(gòu)成矩形的有FECB、AFDC、ABDE三種選法，所以概率為3/15，最后的答案是1/5。我們可以看出，這個題目能夠運用數(shù)形結(jié)合的思想成功的解決概率問題，我們也可以結(jié)合圖形運用古典概率的模型來求出最后的概率。

（三）函數(shù)問題中的數(shù)形結(jié)合思想解決方案

在利用數(shù)形結(jié)合的思想解決函數(shù)問題的過程中，我們選擇2011年陜西省的理科試卷中的一個題目進行分析，題目是函數(shù)在[0， +∞）內(nèi)有幾個零點？

圖4

我們可以知道，在同一個坐標系之中，分別畫出函數(shù)和y=cosx的圖象，見圖4，并且我們得知在x>1的情況下，，y=cosx<1，所以可以看出兩個函數(shù)事實上只存在一個交點，就是方程-cosx=0在[0，+∞）內(nèi)只有一個實根，所以函數(shù)f（x）=-cosx在[0，+∞）內(nèi)只有一個零點，所以答案是有且僅有一個零點。

這一個題目，很巧妙地運用了數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)問題，我們可以根據(jù)已知的條件，畫出兩個函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像研究出函數(shù)的零點與方程的根之間的關(guān)系。

（四）數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學問題必須要遵循的幾個原則

我們在利用數(shù)形結(jié)合的方式解決數(shù)學問題的過程中，必須要遵循幾個原則，包括等價轉(zhuǎn)換原則以及數(shù)形互補原則等，在具體的解題過程之中，需要理清思路，具體來講，首先需要根據(jù)條件繪制出正確的圖形，所作出的圖形必須要符合題干中的數(shù)量關(guān)系；其次，要對圖形進行仔細的觀察分析，找出圖形之中所蘊藏的數(shù)量關(guān)系；最后，必須要有效地把握數(shù)與形之間的有效關(guān)系，通過“數(shù)”來認識“形”，通過“形”來研究“數(shù)”。

需要認識到的是，無論什么樣的數(shù)學方法，都是建立在數(shù)學基礎(chǔ)上的，所以，我們必須首先要打好數(shù)學基礎(chǔ)，對數(shù)學問題中的基本概念有一個清晰準確的認知，對基本公式也應該做到熟練的掌握。

數(shù)形結(jié)合的思想在高考數(shù)學中被廣泛的應用和考核，幾乎涉及了所有的高中數(shù)學知識和章節(jié)內(nèi)容，這種解題思想能夠很好地將數(shù)學學科中的各個知識點有效的結(jié)合起來，將抽象問題形象化，將復雜的問題簡單化，因此，數(shù)形結(jié)合思想值得在高中數(shù)學教學和學習過程中廣泛的推廣和應用。而這一方法的有效實施依賴于扎實的數(shù)學基礎(chǔ)知識，只有對數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本概念、公式有一定的認知和掌握，才能更好地利用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學問題。

參考文獻：

1.張楊.感悟“數(shù)形結(jié)合”——從“方法”到“思想”的飛躍[J].北京教育教學研究，2008（6）.

2.楊厥帥.不等式恒成立問題的常用解題策略[J].高中數(shù)學教與學，2008（12）.

3.李祥.數(shù)形結(jié)合思想在高考中的應用[J].北京電力高等專科學校學報，2012（8）.

作者簡介：

韋柳榮（1980-），女，壯族，廣西柳城人，中教一級教師，數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學士，從事高中數(shù)學教學工作。