例析幾何概型中的典型問題

摘 要：教師在做好幾何概型與古典概型的區(qū)分之后，要能夠靈活處理幾何概型中經(jīng)常出現(xiàn)的一些問題，比如分清幾何概型中的測(cè)度，估算幾何概型，把握常見應(yīng)用題型等，必要時(shí)能把幾何概型問題與方程、函數(shù)問題結(jié)合起來綜合分析，真正做到“萬變不離其宗”。

關(guān)鍵詞：幾何概型；典型問題；古典概型

中圖分類號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1992-7711（2013）24-093-1

幾何概型與古典概型區(qū)別之處就是試驗(yàn)的可能結(jié)果有無限多個(gè)，每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是等同的，且在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀、位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān)。幾何概型蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣。本文就幾何概型中常見的典型問題加以分析，供讀者參考。

一、正確區(qū)分古典概型與幾何概型

例1：下列概率模型：

（1）從區(qū)間[-5，5]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；

（2）從區(qū)間[-5，5]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到絕對(duì)值不大于1的概率。

分析：在題組中，問題（1）從區(qū)間[-5，5]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，有無限多個(gè)，每個(gè)數(shù)被取到的是等可能的，取到1的概率是0，是幾何概型；同樣問題（2）在[-5，5]和[-1，1]上有無限多個(gè)數(shù)可取，也是幾何概型。

評(píng)注：判斷一個(gè)隨機(jī)事件是否為幾何概型，必須依據(jù)幾何概型的定義，關(guān)鍵是判斷它是否滿足幾何概型的兩個(gè)基本特征：無限性和等可能性。

二、準(zhǔn)確分清幾何概型中的測(cè)度

例2：（1）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求∠CAM<30°的概率；

（2）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在∠CAB內(nèi)作射線交線段BC于點(diǎn)M，求∠CAM<30°的概率。

分析：此題組中的兩個(gè)問題，都是幾何概型的問題，但是考察的測(cè)度不一樣。問題（1）的測(cè)度定性為線段長(zhǎng)度，當(dāng)∠CAM0=30°時(shí)CM0=33AC=33BC，滿足條件的點(diǎn)M等可能的分布在線段CM0上，所以所求概率：P1=CM0CB=33。而問題（2）的測(cè)度定性為角度，過點(diǎn)A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無數(shù)條，均勻分布在∠CAB內(nèi)，∠CAB=45°，所以所求概率：P2=30°45°=23。

評(píng)注：在解決幾何概型問題時(shí)，要認(rèn)真審題，分清問題考察的測(cè)度，從而正確解決問題。

三、把握常見幾何概型的應(yīng)用

例3：某同學(xué)到公共汽車站等車上學(xué)，可乘坐8路、23路，8路車10分鐘一班，23路車15分鐘一班，求這位同學(xué)等車不超過8分鐘的概率。

分析：如圖，記“8分鐘內(nèi)乘坐8路車或23路車”為事件A，則A所占區(qū)域面積為8×10+7×8=136，整個(gè)區(qū)域的面積為10×15=150，由幾何概型的概率公式，得P（A）=136150≈0.91，即這位同學(xué)等車不超過8分鐘的概率約為0.91。

評(píng)注：幾何概型的實(shí)際應(yīng)用是幾何概型中的難點(diǎn)，求這類幾何概型概率，要分清“試驗(yàn)”和“事件A”，找準(zhǔn)基本事件構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積），先要求出試驗(yàn)的基本事件構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積），再求出事件A構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積），最后再代入幾何概型的概率公式求解。

四、會(huì)用隨機(jī)模擬法估算幾何概型

例4：為了測(cè)算如右圖陰影部分的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn)，已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此，可估計(jì)陰影部分的面積是 。

分析：設(shè)陰影部分面積為S，正方形面積為36，

S正方形的面積=落在陰影部分的點(diǎn)數(shù)落在正方形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)=200800

所以，陰影部分面積S=200800×36=9.

評(píng)注：用隨機(jī)模擬法估算幾何概型，關(guān)鍵是把事件A及基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化成隨機(jī)數(shù)的范圍之比。

五、會(huì)處理幾何概型與方程、函數(shù)的綜合問題

例5：已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1.

設(shè)集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率.

分析：?jiǎn)栴}是古典概型，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax2-4bx+1的圖象的對(duì)稱軸為x=2ba，要使函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a>0且2ba≤1，即2b≤a.

若a=1，則b=-2，-1；若a=2，則b=-2，-1，1；

若a=3，則b=-2，-1，1；

若a=4，則b=-2，-1，1，2；若a=5，則b=-2，-1，1，2；

∴所求事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是2+3+3+4+4=16.

∴所求事件的概率為1636=49.

評(píng)注：幾何概型常與方程、函數(shù)結(jié)合進(jìn)行考查，解決這類問題需要借助函數(shù)的圖像，找出滿足條件的區(qū)域所包含的區(qū)間長(zhǎng)度或面積大小。一般來說，涉及一個(gè)變量，常轉(zhuǎn)化為與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型求解，涉及兩個(gè)變量，則需要考慮利用與面積有關(guān)的幾何概型求解。