提高高中數學概念教學有效性的五種策略

摘 要：筆者結合學生的認知特點和平時的教學實踐，總結了提高概念教學有效性的五種策略。

關鍵詞：高中數學；概念教學；策略

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A

文章編號：1992-7711（2013）24-059-2

當前，高中數學概念教學中有些現象很令人擔憂：教師對基本概念往往先講定義，再講幾個注意點，接著就是大量的例題、習題講練，過分強調解題技巧和方法。直接后果表現為學生在沒有真正理解概念的情況下匆忙去解題，往往靠的是模仿，一旦遇到新的情況、新的題型就束手無策，進而導致師生為了提高成績，陷入無休止地題海之中。

造成以上現象的主要原因是學生只知道機械記憶數學概念，并未理解概念的生成過程，對概念引出的必要性、概念的本質及其功能沒有深刻的認識。因此，教師在教學中要切實把握概念教學，使學生真正領會和理解數學概念，能夠運用數學概念分析問題和解決問題。

一、在體驗數學概念產生的過程中認識概念

數學概念的引入應從實際出發，創設情境，提出問題。通過與概念有明顯練習、直觀性強的例子，使學生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認識，通過對一定數量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性。

例1 在“異面直線“概念的教學中，教師應先展示概念產生的背景，如長方體模型和圖形，當學生找出兩條既不平行又不相交的直線時，教師告訴學生像這樣的兩條直線就叫做異面直線，接著提出“什么是異面直線”的問題，讓學生相互討論，嘗試敘述，經過反復修改補充后，給出簡明、準確、嚴謹的定義：“我們把不同在任何一個平面上的兩條直線叫做異面直線”。在此基礎上，再讓學生找出教室或長方體中的異面直線，最后以平面作襯托，畫出異面直線的圖形。學生經過以上過程對異面直線的概念有了明確的認識，同時也體驗了概念發生發展的過程。

二、概念教學應返璞歸真，符合學生認知規律

對每一個概念的教學，我們都應該想法設法揭示它的發展過程和本質，努力探求一些尊重學生的認知基礎，采用更能激發學生探究意識的教學方法。

例2 “橢圓及其標準方程”一課，在橢圓的標準方程的推導過程中，許多教師是這樣設計的：

教師：求曲線的方程一般步驟是什么？

學生：①設點M建立直角坐標系；②列等式；③等式坐標化；④化簡方程；⑤檢驗。

教師：動點滿足什么等式呢？

學生：由橢圓的定義，點M滿足|MF1|+|MF2|=2a。

教師：因為|MF1|=（x+c）2+y2，|MF2|=（x-c）2+y2，所以（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a。下面就需要化簡這個方程，請問怎么化簡呢？

學生：兩邊平方。

教師：兩邊平方太繁了，不妨將左邊的一個根式移到右邊，得

（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2。再將這個方程兩邊平方，得（x+c）2+y2=4a2-4a（x-c）2+y2+（x-c）2+y2。整理得a2-cx=a（x-c）2+y2。

……

難道要化簡這個方程就一定要把左邊一個根式移到右邊不可嗎？直接兩邊平方不可以化簡嗎？難道就不能兩邊同乘以（x+c）2+y2-（x-c）2+y2來化簡嗎？一句“兩邊平方太繁了”在無意識中限制了學生的探究意識，即使“兩邊平方太繁了”，也要讓學生嘗試一下，使學生經歷“數學化”、“再創造”的活動過程。有的從表面看來不可以解的問題，未必就不可解，有些從表面看起來比較繁的解法，卻隱藏著很好的數學素材。解析幾何教學的第一關是培養學生運算的耐心，提高學生的運算能力。磨刀不誤砍柴工，我們應該引導和鼓勵學生對。

三、利用舊知鋪墊，揭示概念的形成過程

奧蘇伯爾研究表明，學習的實質是學習者使具有潛在意義的新知與其原有的知識結構建立實質性的聯系，從而擴建新的認知結構的過程，因此利用舊知鋪墊，注重知識間的聯系，引出新的概念，應該是可行且有效的問題情境。在這種情境下，教師不是把數學概念講得如何清楚，如何透徹，更不是把新的問題直接塞給學生，而是想方設法根據學生原有的認知結構，按照學生的思維模式，激發、指導學生積極主動地參與、建構，發現新的知識，使概念自然生成，從而使學生不會有概念從天而降的感覺。

例3 橢圓的第二定義，以往在教學橢圓的第二定義時，不少學生曾問到，這個定義是怎么想到的？它與第一定義有何關系？確實，這個定義在課本中的出現比較突然。尤其是，為什么會有準線x=±a2c？學生感到奇妙。總覺得事后告訴學生結果，到不如把這個發現的機會留給學生。筆者在教授橢圓定義時是這樣進行的：按課本上所介紹的方法，把a2-cx=a（x-c）2+y2兩邊平方，完成橢圓標準方程的推導。這時并沒有急于做一些鞏固方程x2a2+y2b2=1的練習，而是引導學生對式子a2-cx=a（x-c）2+y2改變其變形方式。在眾多的變形方式中選擇如下變形方法：

a（x-c）2+y2=a2-cx得（x-c）2+y2=a-cax；

（x-c）2+y2=ca（a2c-x）；（x-c）2+y2|a2c-x|=ca。

設問：等式（x-c）2+y2|a2c-x|=ca的幾何特征是什么？

通過認真觀察分析，小組討論，得到如下結論（1）分子可視為動點（x，y）到定點（c，0）的距離；（2）分母可視為動點（x，y）到定直線x=a2c的距離。于是，橢圓的第二定義就產生了。其實，它并不是科學家的新創舉，只不過是第一定義的另外一種表現形式。兩個定義的本質相同，所以標準方程也一樣。

這種處理方法，將兩種定義先后順勢呈現，一起完成標準方程的推導，過渡自然，安排較緊湊，使整個教學內容渾然一體，有助于學生建構良好的認知結構，靈活、有趣、省時、高效。事實上，多數定義都不是數學家事先想好的，而是通過觀察、分析、推理、抽象的結果。教學中應給學生這個機會和權利，讓他們去發現，去判斷，真正感受到再發現的樂趣。

四、精心設計“問題串”，提升對概念的認識和理解

數學教學，尤其是概念教學，教師一定要設計好的問題或問題串啟發學生。數學教學中的“問題串”是指在一定的數學學習范圍內，圍繞明確的教學目標，按照一定的邏輯結構精心設計的一連串數學問題。“問題串”也稱問題鏈，通常具有以下幾個特點：（1）指向一個目標或圍繞同一個主題，層層深入，抽絲剝繭式追問；（2）由一連串子問題組成，各子問題之間符合知識間內在的邏輯聯系，遞進的或并列的；（3）各子問題存在一定的思維空間，學生能夠循序漸進，符合自主建構知識的情境。

例4 橢圓的定義，學生常常籠統地記為：到兩定點的距離之和為定長的點的軌跡，教學時，可以設計以下問題串，讓學生討論：（1）平面上的動點P到兩定點（-2，0），（2，0）的距離之和為3，則點P的軌跡是什么？（2）平面上的動點P到兩定點（-2，0），（2，0）的距離之和為4，則點P的軌跡是什么？（3）平面上的動點P到兩定點（-2，0），（2，0）的距離之和為6，則點P的軌跡是什么？

通過分析容易得到：（1）當2a<2c時，軌跡不存在；（2）當2a=2c時，軌跡為一條線段；（3）當2a>2c時，軌跡為橢圓，這樣就有效加深了學生對橢圓概念中“a>c”這一條件的理解。

五、通過概念比較，抓住概念的本質

高中數學教材中有許多容易混淆或比較抽象難以理解的概念，如定義域和恒成立、映射和函數、指數函數和冪函數、充分條件和必要條件、獨立事件和互斥事件、存在和任意、“都不”和“不都”、數列單調性和函數單調性、P（A|B）與P（AB）、導數值為0的點與函數的極值點等等這些概念，教師可以運用比較分析的方法，指出它們的相同點和不同點，有助于學生抓住概念的本質。例如：“都不”是對所考察對象的全體的否定，只指一種情形；“不都”是對“都”的否定，它與“至少存在一個不”是同一個意思，一般包括多種可能情形。

數學概念形成以后，通過具體例子，引導學生利用概念解決問題和發展概念在解決問題中的作用，是數學概念教學的一個重要環節，此環節操作的成功與否將直接影響學生對數學概念的鞏固，以及解題能力的形成。

我們要重視數學概念的教學，正所謂根深才能葉茂，不能只重結果而輕視過程，過分追求方法技巧而忽視概念，是舍本逐末，失去根基。在概念教學中，要根據新課標對概念教學的具體要求，創造性地使用教材，優化概念教學設計，把握概念教學過程，真正使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造，達到認識數學思想和本質的目的。

[參考文獻]

[1]謝琴.提高數學課堂教學有效性的4種策略[J].中學數學教學，2011（05）.

[2]章建躍.數學概念的理解與教學[J].中學數學教學參考，2010（11）.