讓數(shù)學(xué)教學(xué)走向深刻高效

“千課萬人”全國小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀摩研討活動在浙江省杭州市每半年舉行一次，縱觀數(shù)十位全國著名特級教師、全國評優(yōu)課獲得一等獎的教師和全國優(yōu)秀教師執(zhí)教的示范課、展示課，他們的教學(xué)風(fēng)格雖然各不相同，但他們卻有著共同的特征，那就是他們都擁有先進的教學(xué)思想，都能落實“課標(biāo)”理念，都能深度研究教學(xué)，追求深刻、高效的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生獲得主動、生動、活潑地發(fā)展。名師們的數(shù)學(xué)教學(xué)真正體現(xiàn)了美國著名數(shù)學(xué)家克萊因所說的“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。”他們的共同特征，雖然不可“復(fù)制”，但卻理應(yīng)追求。

一、教給學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)會學(xué)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《數(shù)學(xué)課標(biāo)（2011年版）》）指出：“組織學(xué)生操作實驗、觀察現(xiàn)象、提出猜想、推理論證等，都能有效地啟發(fā)學(xué)生的思考，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，逐步學(xué)會學(xué)習(xí)。”授人以魚，僅供其一餐之需；授人以漁，則可使其終生受益。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視教給學(xué)生科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識的同時，學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在“千課萬人”第二屆全國小學(xué)數(shù)學(xué)“新課標(biāo)課堂”教學(xué)觀摩研討會上，北京教育學(xué)院宣武分院二部、全國著名特級教師劉德武執(zhí)教的“平行四邊形的面積”一課，注重學(xué)法指導(dǎo)，教給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。首先，用課件呈現(xiàn)一個平行四邊形（底邊長6cm，高4cm，斜邊長5cm），引導(dǎo)學(xué)生像科學(xué)家一樣對平行四邊形面積的計算大膽提出假設(shè)，讓學(xué)生聯(lián)想長方形、正方形的面積計算都是求積，去猜想平行四邊形面積的計算，引導(dǎo)學(xué)生進行聯(lián)想和類比，促進知識和學(xué)習(xí)方法的遷移，結(jié)果學(xué)生很自然地提出了三種不同的猜想：6×5；6×4；5×4。猜想是一種合情推理，得到的結(jié)論不一定正確。如何引導(dǎo)學(xué)生驗證猜想，老師利用課件，借助圖形直觀，引導(dǎo)學(xué)生用1平方厘米的面積單位去測量平行四邊形的面積，讓學(xué)生直觀感知，獲得感性認識：當(dāng)鋪上20個1平方厘米的面積單位時，平行四邊形的面積還未鋪滿，就可以排除“5×4”這種假設(shè)是錯誤的；當(dāng)鋪上28個1平方厘米的面積單位時，又超過了平行四邊形的面積，同樣可以排除“6×5”這種假設(shè)是錯誤的；當(dāng)鋪上24個1平方厘米的面積單位時，剛好鋪滿平行四邊形的面積，這就可以驗證“6×4”這種假設(shè)是正確的。這樣將錯誤的假設(shè)逐一排除，讓學(xué)生從中感受“在假設(shè)中排除”的學(xué)習(xí)方法，實現(xiàn)了學(xué)習(xí)方法的理性提升，這樣的教學(xué)既深刻又高效。

“要想證明一個結(jié)論是正確的，我們必須至少通過兩條不同的途徑。”老師提出這個問題，旨在進一步引導(dǎo)學(xué)生用“割補”的方法推導(dǎo)平行四邊形面積的計算公式。如何引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)面積計算公式，老師沒有組織學(xué)生動手操作參與剪拼活動，而是利用課件，借助圖形直觀，引導(dǎo)學(xué)生想一想：怎樣把平行四邊形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形來計算它的面積？突出轉(zhuǎn)化過程要注意的問題，如要沿著高剪，剪拼的方法有多種多樣，可以通過平移得到，也可以通過旋轉(zhuǎn)得到。引導(dǎo)學(xué)生說一說：拼成的長方形和原來的平行四邊形比較，什么變了？什么沒有變？怎樣推導(dǎo)平行四邊形面積的計算公式？這個過程重在引導(dǎo)學(xué)生想象，重在滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生從中感悟“在想象中轉(zhuǎn)化”的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生對“平行四邊形的面積=底×高”這一計算公式不僅知其然，而且知其所以然，使學(xué)生學(xué)會了用“轉(zhuǎn)化”思想解決問題，對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)起到觸類旁通的作用。

二、抓住數(shù)學(xué)靈魂，感悟思想方法

《數(shù)學(xué)課標(biāo)（2011年版）》指出：“引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，體會和運用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。”數(shù)學(xué)思想方法是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的靈魂，讓學(xué)生感悟、體會和運用數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一。在“千課萬人”第一屆全國小學(xué)數(shù)學(xué)“新課標(biāo)課堂”教學(xué)觀摩研討會上，天津市紅橋區(qū)教師進修學(xué)校、全國著名特級教師徐長青執(zhí)教的“解決問題策略——‘退’中的數(shù)學(xué)”一課，重視抓住數(shù)學(xué)的靈魂，注重滲透感悟數(shù)學(xué)思想方法。如當(dāng)老師將一張紙撕成4片，引導(dǎo)學(xué)生再將其中的一張紙片撕成4片，照這樣的方法繼續(xù)撕下去，能撕成2012片、2011片和2010片嗎？激發(fā)學(xué)生猜想，讓學(xué)生感到這個問題比較復(fù)雜，讓學(xué)生處于“心求通而未得，口欲言而不能”的憤悱狀態(tài)。怎樣解決這些問題，老師巧妙地引出數(shù)學(xué)家華羅庚的一句名言：“當(dāng)你遇到數(shù)學(xué)難題的時候，要學(xué)會知難而——退。”告訴學(xué)生解決復(fù)雜的問題可以“退回”到從最簡單的問題開始研究，進而向?qū)W生滲透“知難而退”“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想方法。接著，引導(dǎo)學(xué)生回過頭來研究最簡單的數(shù)據(jù)：1、4、7、10、13……通過對撕成紙片的結(jié)果的觀察、比較、分析和推理，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律“這些數(shù)列依次增加3”，引導(dǎo)學(xué)生用語言表述規(guī)律“依次增加1個3、2個3、3個3、4個3。”“還有怎樣的規(guī)律？”老師繼續(xù)鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生說：“撕出的紙的片數(shù)除以3余1。”有的學(xué)生說：“撕出的紙的片數(shù)減1是3的倍數(shù)。”老師抓住契機滲透無限思想，引導(dǎo)學(xué)生用字母表示規(guī)律：3n+1。這個過程旨在讓學(xué)生體會：原來復(fù)雜的問題可以通過“退”的辦法來分析、比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，使復(fù)雜問題得到解決。學(xué)生的思維由受阻變?yōu)橥〞常瑢W(xué)生的心理從膽怯走向自信，真是“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”啊！

當(dāng)學(xué)生依據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，正確判斷“能撕成2011片，不能撕成2012片或2010片”后，為了讓學(xué)生再次體會數(shù)學(xué)思想的真諦，真正感悟到其中非常重要的“退”的那一步，于是老師又進一步追問：“現(xiàn)在你感受到了什么？你的心情是怎樣的？退是目的嗎？”引導(dǎo)學(xué)生進一步反思解決問題的過程與方法，讓學(xué)生深入感悟“以退為進”的數(shù)學(xué)思想方法——在解決問題遇到困難的時候，有時需要退退退，大踏步地退，退到不失事物本質(zhì)的時候，再進進進，小步子的進，回頭看，找規(guī)律，使問題最終得到解決。真實的體驗，深切的感受，讓學(xué)生深深體會“退”是為了“進”，這是學(xué)會學(xué)習(xí)的一種重要策略。

三、遵循認知規(guī)律，注重自主建構(gòu)

《數(shù)學(xué)課標(biāo)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。”學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是由學(xué)生自己思考、自主建構(gòu)知識的過程。數(shù)學(xué)概念一般比較難教，特別是一些抽象的數(shù)學(xué)概念，對兒童來說更加難以掌握，理解起來尤其困難。因此數(shù)學(xué)概念教學(xué)，要遵循學(xué)生的認知規(guī)律，注重讓學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)概念；要加強變式教學(xué)，突出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，讓學(xué)生深刻理解和掌握數(shù)學(xué)概念。在“千課萬人”第二屆全國小學(xué)數(shù)學(xué)“學(xué)導(dǎo)課堂”教學(xué)觀摩研討會上，浙江省杭州市新思維教育培訓(xùn)中心、全國小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)大賽一等獎獲得者唐彩斌老師執(zhí)教的“平行與垂直”一課，十分重視讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中進行自我修正和自我完善，實現(xiàn)主動建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

1.引導(dǎo)比較辨析，在思辨中認識“平行”。

教育家烏申斯基說過：“比較方法乃是各種認識和各種思維的基礎(chǔ)。”加強數(shù)學(xué)概念的比較、辨析，既可以使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，又可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。兩條直線之間究竟有幾種不同的位置關(guān)系，老師留足時間和空間放手讓學(xué)生動手操作，用小棒表示直線先擺一擺，并把不同的情況畫下來，然后匯報展示。老師根據(jù)學(xué)生匯報展示的情況，用課件展示了六種不同的畫法，并提出：“現(xiàn)在屏幕上有六種不同的畫法，誰能把它們分分類？”在分類的基礎(chǔ)上如何讓學(xué)生認識“平行”，接著老師又提出：“現(xiàn)在明確了兩條直線的位置關(guān)系，對于永不相交的兩條直線有一個特別的名稱，你知道嗎？叫什么？”當(dāng)學(xué)生說出“平行”后，老師又借助課件在方格紙上動態(tài)演示兩條直線的平行和相交，讓學(xué)生進一步建立平行的表象。但是僅有這樣的表象還是不夠的，于是老師又拿出長方體盒子，把兩根小棒分別放在長方體盒子的不同的平面上，反問學(xué)生：“它們會相交嗎？會平行嗎？”“兩條直線如果不相交就會平行嗎？”引發(fā)學(xué)生的認知沖突，引導(dǎo)學(xué)生說理，組織比較辨析，幫助學(xué)生弄明白如果兩根小棒在不同的平面內(nèi)，雖然它們不會相交，但也不會平行，讓學(xué)生感悟到我們所說的不會相交都是“在同一個面內(nèi)”，這是一個重要的前提。在此基礎(chǔ)上，老師再引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。這樣，學(xué)生在思辨中建立的“平行線”概念，是清晰的，也是深刻的。

2.展示動態(tài)演變，在生成中認識“垂直”。

《數(shù)學(xué)課標(biāo)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中。”先前的學(xué)習(xí)對后繼學(xué)習(xí)起著促進作用，在認知過程中，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)的新知識與他已經(jīng)形成或正在形成的認知結(jié)構(gòu)相符合時，新知識就被直接納入學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)中。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要善于抓住新知的生長點，促進知識、技能和認知方法的遷移。如何讓學(xué)生認識垂直，老師繼續(xù)借助課件動態(tài)演示，將一組平行線改變非本質(zhì)與本質(zhì)屬性，按“平行→相交→垂直”的順序，演變、發(fā)展、生成“垂直”。先將一組平行線的其中一條直線“變短”，讓學(xué)生認識還是平行線，因為直線可以無限延長。然后將其中一條直線旋轉(zhuǎn)，使兩條直線相交成直角，這時老師提出：“它有一個特殊的名字，叫什么呢？”當(dāng)學(xué)生說出“垂直”后，他強調(diào)“兩條直線相交成直角，這兩條直線叫做互相垂直。”接著繼續(xù)將其中一條直線旋轉(zhuǎn)形成不同的角度，引導(dǎo)學(xué)生認識“不垂直”，進行正例與反例的比較，進一步建立垂直的表象。最后引導(dǎo)學(xué)生歸納概括出：當(dāng)兩條直線相交成直角時，我們就說這兩條直線相互垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。在此基礎(chǔ)上，老師再放手讓學(xué)生動筆填一填、同桌相互說一說兩條直線相互垂直的關(guān)系，使所學(xué)數(shù)學(xué)概念得到進一步鞏固和深化。這一過程，老師采用變式教學(xué)，利用課件動態(tài)演示，將直觀材料變換形式，使其中的本質(zhì)屬性保持恒定，而非本質(zhì)屬性則不斷出現(xiàn)。讓學(xué)生在動態(tài)生成中建立的“垂直”概念，這樣的教學(xué)同樣是清晰的，也是深刻的。

四、重視發(fā)展思維，提升思維能力

《數(shù)學(xué)課標(biāo)（2011年版）》指出：“運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。”引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，發(fā)展學(xué)生思維能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要任務(wù)。在“千課萬人”第一屆全國小學(xué)數(shù)學(xué)“新課標(biāo)課堂”教學(xué)觀摩研討會上，浙江省寧波市萬里國際學(xué)校校長、全國著名特級教師林良富執(zhí)教的“打電話”一課，把教材中的例題“15人的合唱隊接到緊急演出，通過打電話通知每個隊員，如果每分鐘通知1人，怎樣盡快通知到每個隊員？讓學(xué)生設(shè)計一個打電話的最快方案。”改編為“寧波萬里國際學(xué)校應(yīng)急小組共有7人，如果老師用打電話的方式，每分鐘通知1人，需要多少分鐘才能通知到應(yīng)急小組的每一個人？”這樣就把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題來探究，實施“化繁為簡”的教學(xué)策略，貴在尋求突破。在引導(dǎo)學(xué)生探索出“通知7個人至少需要用3分鐘”后，為了進一步發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和靈活性，提升學(xué)生思維能力，老師將前面解決的問題繼續(xù)拓展、延伸，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。“第4分鐘、5分鐘、6分鐘后，新接到通知的分別有多少人？知道通知的總?cè)藬?shù)分別是多少？”老師放手讓學(xué)生完成下面的表格，并要求在小組里討論交流，說一說：你發(fā)現(xiàn)了什么？

借助這張表格，老師啟發(fā)、點撥和鼓勵學(xué)生，激勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出不同的看法，結(jié)果學(xué)生的思維火花得到迸發(fā)，發(fā)現(xiàn)了不少的規(guī)律，有的學(xué)生說：“我發(fā)現(xiàn)新接到通知的人數(shù)是上一分鐘知道通知的總?cè)藬?shù)”；有的學(xué)生說：“我發(fā)現(xiàn)知道通知的總?cè)藬?shù)是新接到通知人數(shù)的2倍”；也有的學(xué)生說：“我發(fā)現(xiàn)新接到通知的人數(shù)是上一分鐘新接到通知的人數(shù)的2倍”；還有的學(xué)生說：“我發(fā)現(xiàn)知道通知的總?cè)藬?shù)是上一分鐘知道通知的總?cè)藬?shù)的2倍”。這個過程充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生積極主動參與探究活動，學(xué)生通過討論、觀察、思考、比較，發(fā)現(xiàn)了許多規(guī)律，學(xué)會了發(fā)現(xiàn)問題、思考問題和提出問題，有效培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力和歸納推理能力，學(xué)生從感性認識上升到理性認識，這樣的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是理性、深刻和高效的。

總之，在“千課萬人”全國小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀摩研討會上，名師們的課堂教學(xué)因為有了獨特的教學(xué)設(shè)計、扎實的教學(xué)過程、高位的思想方法、有效的學(xué)法指導(dǎo)、高效的互動生成以及和諧的師生關(guān)系，而使課堂變得生機勃勃，充滿生命活力，讓教學(xué)走向深刻，演繹出高效的數(shù)學(xué)課堂，彰顯了“課標(biāo)”理念下數(shù)學(xué)教學(xué)的深刻內(nèi)涵與無窮魅力。

◇責(zé)任編輯：趙關(guān)榮◇