解決有關(guān)分?jǐn)?shù)的實際問題一直是學(xué)生的一大難點。究其主要原因，筆者認(rèn)為：一是因為分?jǐn)?shù)的意義太抽象，學(xué)生難以理解；二是因為教師不是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行教學(xué)，而是要求學(xué)生依據(jù)教師總結(jié)的“秘訣”解題：單位“1”的量×對應(yīng)分率=對應(yīng)的量；單位“1”的量已知時，用乘法算，未知時，用除法算。學(xué)生死記硬背、生搬硬套，導(dǎo)致似懂非懂、錯誤率高。在實施《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）的背景下，如何破解這一難點？筆者認(rèn)為，緊扣分?jǐn)?shù)意義，靠緊數(shù)學(xué)思想，才是真正的法寶，具體分四步。

一、說清意義

新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在知識的應(yīng)用中不斷鞏固和深化。理解分?jǐn)?shù)的意義是解決有關(guān)分?jǐn)?shù)實際問題最重要的基礎(chǔ)和前提。所以，在解答前，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，理解題意，具體說清：題中的分?jǐn)?shù)究竟是哪個量相當(dāng)于哪個量的幾分之幾，據(jù)此確定把哪個量看作單位“1”的量，把單位“1”平均分成多少份，另一個量有這樣的幾份。如一瓶果汁100毫升，喝了這瓶果汁的，喝了多少毫升？顯然，此題是把100毫升果汁看作單位“1”的量，把它平均分成4份，喝了這樣的1份。有些題含分率的句子是省略句，單位“1”的量比較隱蔽，需要教師先引導(dǎo)學(xué)生把題意補(bǔ)充完整，再具體說明分?jǐn)?shù)的意義。如下面一道題：

題中的“其中是月季花”是指：月季花的棵數(shù)占總棵數(shù)的，或者說總棵數(shù)的是月季花，據(jù)此確定單位“1”的量是花的總棵數(shù)“84”，把它平均分成6份，月季花的棵數(shù)占這樣的1份。再如：

“紅花比黃花多”是省略句，學(xué)生不易理解，特別需要教師幫助破解。它是指“紅花比黃花多的朵數(shù)是黃花的”，據(jù)此確定單位“1”的量是黃花朵數(shù)，把它平均分成10份，紅花比黃花多的朵數(shù)是這樣的1份。有些題含有分率的句子省略得更多，更需要教師引導(dǎo)學(xué)生把它擴(kuò)充完整，以便其準(zhǔn)確理解分率的意義。如一件毛衣，原價56元，現(xiàn)在降低了。降低了多少元？這里的“現(xiàn)在降低了”是指“現(xiàn)價比原價降低的價錢是原價的”，據(jù)此確定把原價看作單位“1”的量，把它平均分成7份，現(xiàn)價比原價降低了的價錢是這樣的2份。

因為分?jǐn)?shù)既可以表示分率，又可以表示具體的數(shù)量，所以學(xué)生特別容易混淆，教師還要引導(dǎo)學(xué)生通過題組練習(xí)進(jìn)行對比，使學(xué)生具體理解每個分?jǐn)?shù)的意義。如：（1）一瓶牛奶2升，喝了升，還剩多少升？（2）一瓶牛奶2升，喝了，還剩多少升？題（1）中的“升”是個具體的數(shù)量；題（2）中的“”是分率，是指“2升的”。

二、畫明意義

新課標(biāo)重視數(shù)學(xué)思想的獲得和感悟，重視解決問題的過程和方法。為了幫助學(xué)生形象地理解抽象的分?jǐn)?shù)意義，感悟數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)小學(xué)生思維的特點，可引導(dǎo)學(xué)生畫出分?jǐn)?shù)的意義，從而溝通抽象概念與具體形象的有機(jī)聯(lián)系，使數(shù)量關(guān)系“可視化”。實踐證明，數(shù)形結(jié)合是解決有關(guān)分?jǐn)?shù)實際問題的有效策略。為此，要多引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系實際、多畫圖理解題意，以感悟這種解決問題的思想方法。

畫圖時，教師仍要引導(dǎo)學(xué)生緊扣分?jǐn)?shù)的意義。一般地，先畫“1”的量，再把單位“1”平均分成幾份，另一個量有這樣的幾份。開始畫時，教師要進(jìn)行具體的指導(dǎo)，逐步從示范畫，到扶著畫，再到學(xué)生獨立畫，力求把題意畫清楚、畫準(zhǔn)確、畫全面，以便快速地發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系（當(dāng)然，有時畫出示意圖也行）。有時，題中的幾個量是部分與整體的關(guān)系，這時一般就畫在一條線段上。如上述“月季花”題，可引導(dǎo)學(xué)生畫出如下線段圖：

有時，題中的幾個量是并列關(guān)系，這時一般就要分別畫幾條線段表示。如上述“紅花”題，可引導(dǎo)學(xué)生畫出如下線段圖：

有時，題中單位“1”的量不止一個，一般地就要分別畫單位“1”的量（例略）。其實，畫圖的過程是進(jìn)一步理解題意的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣的過程，教師務(wù)必切實重視，切勿嫌費事、怕麻煩。畫圖時，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從慢到快，從畫準(zhǔn)確圖到畫示意圖，從在紙上畫到在腦中畫的過程，以便逐步發(fā)展學(xué)生的抽象思維，使其感悟數(shù)學(xué)思想方法。

三、寫對意義

新課標(biāo)注重發(fā)展學(xué)生的模型思想，指出：模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。在解決有關(guān)分?jǐn)?shù)的實際問題時，用得較多的是模型思想。這里的模型，是指根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義寫出數(shù)量關(guān)系式，建立數(shù)量關(guān)系模型。顯然，在解決有關(guān)分?jǐn)?shù)的實際問題時，建模是關(guān)鍵。為此，一定要凸顯模型思想，并有機(jī)滲透對應(yīng)和轉(zhuǎn)化思想，做到所求問題與圖對應(yīng)，與數(shù)量關(guān)系模型對應(yīng)。要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，逐步感悟到：一般地，用單位“1”的量×對應(yīng)分率=對應(yīng)的量，從而把用分率表示的相對量轉(zhuǎn)化成用單位“1”的量表示的相對量。在學(xué)生熟練地寫出基本數(shù)量關(guān)系模型的基礎(chǔ)上，還要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多的關(guān)系模型。當(dāng)然，并不要求學(xué)生一下子全部寫出，要因人、因時而異，循序漸進(jìn)，逐步提高。如上述“果汁”題，基本關(guān)系模型有：喝了的果汁體積÷果汁體積=，果汁體積×=喝了的果汁體積；另有：果汁體積×=剩下的果汁體積，果汁體積-果汁體積×=剩下的果汁體積等。上述“月季花”題，基本關(guān)系模型有：月季花棵數(shù)÷總棵數(shù)=，杜鵑花棵數(shù)÷總棵數(shù)=，總棵數(shù)×=月季花棵數(shù)，總棵數(shù)×=杜鵑花棵數(shù)；另有：總棵數(shù)×（+） =月季花和杜鵑花共有的棵數(shù)，總棵數(shù)×（1--）=其他花的棵數(shù)等。

根據(jù)所求問題和所對應(yīng)的關(guān)系模型，就可以直接用代入法解決問題。教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一般地，單位“1”的量已知時，可以把它直接代入對應(yīng)關(guān)系模型進(jìn)行計算；單位“1”的量未知時，仍要依據(jù)關(guān)系模型，用方程解答，從而變逆為順，充分體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系模型的價值。如青云小學(xué)十月份用水440立方米，比九月份節(jié)約。九月份用水多少立方米？此題學(xué)生容易誤認(rèn)為：十月份比九月份節(jié)約，九月份就比十月份增加。其實，題中的“”表示十月份比九月份節(jié)約的用水量是九月份的。由此確定單位“1”的量就是九月份的用水量，把它平均分成5份，十月份比九月份節(jié)約的用水量是這樣的1份。據(jù)此畫出如下線段圖：

顯然，題中的關(guān)系模型有：節(jié)約的用水量÷九月份用水量=，九月份用水量-十月份節(jié)約的用水量=十月份用水量，九月份用水量×（1-）=十月份用水量……題中單位“1”的量未知，可以用方程解答：設(shè)九月份用水x噸，那么十月份比九月份節(jié)約用水（x）噸。于是，根據(jù)上述關(guān)系模型分別列方程為：（x-440）÷x=，x-x=440，x×（1-）=440……解得x=550。

四、回扣意義

新課標(biāo)重視學(xué)生的自我評價和反思。在“課程基本理念”的學(xué)習(xí)評價中指出：評價既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，也要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識自我、建立信心。在第二學(xué)段“解決問題”中指出：能回顧解決問題的過程，初步判斷結(jié)果的合理性。檢驗是培養(yǎng)學(xué)生做事認(rèn)真負(fù)責(zé)、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，養(yǎng)成自我評價和反思意識的有效手段，不僅是一種好習(xí)慣，也是一種好品質(zhì)，是解決問題的必要步驟。現(xiàn)在，檢驗常被教師忽視，導(dǎo)致學(xué)生的檢驗意識特別淡薄。所以，要切實重視檢驗。為此，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行檢驗，看結(jié)果是否符合題意，尤其要看是否符合題中分?jǐn)?shù)的意義，以鞏固和深化分?jǐn)?shù)的意義。如上題，檢驗時著重看“十月份是否比九月份節(jié)約”，可以用（550-440）÷550，看商是否等于。當(dāng)然，還可用其他方法進(jìn)行檢驗。

當(dāng)然，上述四步也不是絕對的、僵化的教條，教師完全可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡化，或并步走，如合并第一、二步，或在腦中“走”，或熟練時直接列式，但不管怎樣，都要緊扣分?jǐn)?shù)意義，靠緊數(shù)學(xué)思想。實踐證明，這樣做學(xué)生容易理解和掌握，正確率高。由此想到，在解決百分?jǐn)?shù)、比等問題時，又何嘗不可如此呢？

（江蘇省高郵實驗小學(xué) 225600）