“預學后教”在“探究規律”類課堂教學中的新嘗試

“探究規律”是小學數學中一個比較特殊的學習內容。主要是指在一定的情境下，對一個或一組數學現象進行觀察分析，從“變化”的現象中發現“不變”規律的一種數學學習內容。在教材中它有兩種存在形式：一是以單元形式存在的，如人教版中的“數學廣角”“運算定律”等；二是滲透在各個單元中的專題，如積的變化規律、商的變化規律等。不論是哪一種形式，就內容的教學過程而言，其目的不僅在于通過探究獲得“結論”，更重要的是在探究過程中學習探究的經驗與探究的策略。因此，筆者認為，“探究規律”類課的教學，要為學生提供合理的素材，讓學生在獨立思考、自主探究的基礎上，通過小組交流、集體反饋的形式總結規律，并從策略的遷移與規律的應用兩個方面組織進一步的學習。“預學后教”的教學策略可以實現這樣的教學。下面以“商的變化規律”的教學為例，闡述具體的做法。

一、獨立思考，觀察驗證形成初步結論

小學數學中探究的“規律”，一般是一些簡單的現實問題或數學現象。如人教版一下的“找規律”，它的觀察素材就是一些按照一定規律排列的“實物”、“圖形”或“數字”。如下圖，用小棒擺成的“正方形”與“三角形”是半抽象的圖形，從左往右看可以看出它們重復變化的規律。下面填寫的數，則表示小棒的根數，同時也可以獨立地看成抽象的數，通過觀察又可以發現數的重復變化的規律。這樣的情境與問題適合于一年級學生的思考與推理。隨著年級的升高，學生學習經驗的積累，情境可以變得更加復雜與抽象、問題可以變得更加富有挑戰性，從而可以讓學生經歷一個更加完整的觀察與分析、抽象與概括的過程。

四上的“商的變化規律”，是在學生已經學習了表內除法、除數是一位數、兩位數除法之后教學的，而且之前又有了研究“積的變化規律”的學習經驗。如何讓學習基礎與活動經驗得到自然地流露？教師可以讓學生通過“預學”作業，引導學生通過觀察形成猜想，再進一步舉例驗證猜想。具體的預學作業設計如下：

“商的變化規律”預學單

同學們已經在第三單元學習過積的變化規律，那么商的變化規律是怎樣的呢？試著完成預學案，然后我們一起來交流。

1.我口算；

2.我猜想： 觀察左邊的口算題，我猜想……

200÷2= 60÷20 =

200÷20= 60÷10 =

200÷40= 60÷2 =

3.我驗證：根據我的猜想，填一填，算一算，我覺得……

上面的一組題目，學生在課始用5分鐘左右時間獨立完成。

對“商的變化規律”的探究，是培養學生的數感、滲透函數思想的重要契機。與教材例題相比較，把學習素材再往回退了一步，即把例題中的框架式還原為相互獨立的口算題，讓學生在計算的過程中，自然地進行抽象概括，提出猜想。

就小學而言，學生探究規律的主要方法是不完全歸納法。嚴格意義上講，這樣得到的規律還只是一種猜想，需要通過嚴格的證明才可以成為一般的規律。但是，根據小學生的思維水平，驗證的策略往往是列舉更多的例子，雖然這樣的驗證方式不能形成嚴格的證明。并且，由于學生認知水平與觀察角度的不同，不同的學生提出的猜想會不盡相同，從而形成了真實豐富的學習資源。

二、交流反饋，互助完善總結數學規律

獨立思考，自主預學，充分展示了每一位學生的認知情況。教師通過巡視，收集學生中的一些典型做法，組織學生小組交流，在辨析的過程中，完善原有的做法，進而總結出規律，這就是“探究規律”“預學”之后的“教”的策略。

（一）收集典型例子

學生在預學過程中發現的“規律”，基本上都帶有個體的、主觀的色彩。對于這些“規律”，教師不是指名讓個別學生發表意見，或直接小組討論，而是展示教師在巡視中收集到的幾種典型例子，要求這幾位學生把過程抄錄在展示的題板上。用題板展示學生的作業，張貼于黑板上，這樣既有利于比較評價，也可以作為教學板書。

收集的典型例子一般可分為錯誤的、不完善的和基本正確的三類。預學作業放在課前，會有比較充足的篩選時間，如果在課內，就需要教師在課前有充分的預設，大致推測學生會有哪些不同的規律，不同規律可能會在怎樣層次的學生中出現，使得學生在獨立作業的過程中，教師能夠盡快地尋找到相應的例子。

（二）辨析典型例子

學生在獨立嘗試探究規律時所形成的差異資源，抽取其中的典型例子進行展示，并且作為小組討論辨析的題材。這樣，小組交流更加具有針對性，也有利于集體反饋時有共同的話題。

如在“商的變化規律”教學中，筆者選擇了三則典型的例子（如下圖），請四人小組進行辨析：每一位同學在小組中說一說，你的想法與哪一種猜想相近，你是怎樣想的？再共同討論，哪一種猜想更加準確？你們是不是還有其他更好的發現？最后在小組中討論，把最合理的猜想用具體的例子進行說明，并寫在展板上。

（三）反饋討論結果

社會建構主義認為，雖然知識學習是個體主動建構的過程，但這種建構也不是隨意的建構，而是需要與他人磋商并達成一致來不斷地加以調整和修正。組織小組辨析與集體反饋，為學生創設在教師組織參與下的相互交流討論的機制，建構起凝聚著師生共同智慧的數學“規律”。

集體反饋時，以小組為單位，可以請一位代表發言，也可以請多位同學相互合作表述。如對于“商的變化規律”的三個例子，其中的一個小組由兩位學生合作完成他們組的闡述。

生：我們組認為，這三種猜想都有道理，只是第一種說法還不夠準確，第二種與第三種說法意思是相同的，但第三種把兩句話合到了一起，更好一點。我們舉的例子是（如下圖）……

這時又上來了同組的兩位學生，一位學生表述相應箭頭間兩個數的變化情況，一位學生指點輔助。

由于小組交流的題材相同，更加容易引起同學間的共鳴。填寫的數可能是不同的，學生在聽完這個小組的講述后，用自己所列舉的例子進行驗證。規律就在這樣的評述中得到了明晰。

三、策略遷移，積累經驗發現數學規律

《數學課程標準（2011年版）》在課程總目標中明確地提出了基礎知識、基本技能、基本思想與基本活動經驗這樣的“四基”學習目標。“探究規律”類的學習過程，更需要強調后兩個目標的達成。需要教師在引導學生探究出規律之后，進一步創設情境，讓學生把在探究規律中所獲得的學習經驗在新的情境中加以檢驗，逐步形成更加一般的數學活動經驗。

如在上述“商的變化規律”的案例中，學生之所以能夠比較好地發現“當被除數不變時，除數與商的變化規律”，得益于在探究“積的變化規律”中積累的經驗。在此基礎上，學生進一步研究商的其他兩種變化規律時，可以以小組為單位，分工合作，應用前面積累的經驗再一次經歷“舉例—猜想—驗證—結論”這樣一個探究發現的過程（如下圖）。

4.我有新猜想

根據“我猜想”，在下面填上合適的數。再觀察，我有新猜想……

上面的“預學”作業，先在組內分工完成，相互交流，再在班級中反饋。

數學活動經驗積累的成功與否，需要在數學活動的背景下加以檢驗。上面的兩個問題，筆者把研究的起點又往回退了一步，只提供兩個模型，讓學生依據之前的學習經驗，自己填寫數據，觀察思考，概括出規律。

四、推廣應用，充分發揮數學規律的價值

對于“探究規律”類課的練習設計，不僅要關注“規律”的充分應用，使學生體會到“規律”的價值，加深對“規律”的理解；還要關注“規律”探究過程中積累的經驗再應用，使學生能夠自主地發現更多的“數學規律”。基于這樣的目標，在“商的變化規律”的練習設計時，教師可以安排如下三個層次的練習。

第一層次：規律的簡單應用

1.從上到下看，根據第1題的商，寫出余下兩題的商。

64÷8=8 6300÷7=900 100÷25 =4

640÷8=80 6300÷70= 200÷50 =

6400÷8= 6300÷700= 1000÷250 =

以小組為單位，先獨立完成，然后在小組中進行交流，說明理由。然后以小組為單位進行匯報。

第二層次：規律的自覺應用

2.選擇合理的方法計算出下面各題的得數。

120÷30= 5600÷80= 65100÷210= 65200÷210=

學生獨立完成，校對答案時要求學生說出思路與依據。

第二組題目與第一組題目相比，更加注重對“商的變化規律”的自覺應用，在計算方法的選擇上，留有一定的空間，前面的兩個題目，學生可以應用“商的變化規律”進行口算，第3、4題則需要選擇豎式計算，且第4題要關注簡算后余數如何處理，可以在一般豎式與與簡算豎式的比較中理解簡算后余數的特征。

第三層面：探究新的規律

3.在下面的方格中填上合適的數，并推測在減法中“差的變化規律”。

在四人小組中合作學習。組內分工，每位學生研究其中的一種規律，然后在小組中分享成果，再以小組為單位集體交流小組合作的成果。

數學是研究數量關系與規律的科學。“探究規律”的學習方式，也隱含在其他數學內容的學習過程中，如圖形面積計算公式的推導、計算法則的總結等等。因此，對于“預學后教”為基本特色的“探究規律”類的研究與實踐，對于體現“學為中心”的課堂教學有著積極的意義。

（浙江省杭州市蕭山區教育局教研室 311200）