背景介紹

人教版教材五年級(jí)上冊(cè)第97頁，有一道組合圖形的復(fù)習(xí)整理后的思考題，題目如下：

為了讓學(xué)習(xí)更有趣味性和探索性，筆者在課前為每位學(xué)生準(zhǔn)備了一張長方形紙條和三張樹形圖，這些圖形都是筆者用幾何畫板精確畫出來的，并再按比例縮小。

這里的第1小題是求小樹這個(gè)組合圖形的面積，從上到下分別由一個(gè)三角形、兩個(gè)梯形和一個(gè)長方形組成，學(xué)生在計(jì)算時(shí)不會(huì)有什么問題。第2小題是求大長方形里面剪幾個(gè)這樣的小樹，按照以前計(jì)算的習(xí)慣，一般都會(huì)把長方形的面積除以小樹面積，果然，有不少學(xué)生算出能剪19棵小樹。為了讓學(xué)生更清楚地知道實(shí)際上是剪不下19棵小樹的，筆者讓他們?nèi)[一擺，學(xué)生一共擺出了4種方法，具體如下圖。

當(dāng)學(xué)生擺出的方法一種比一種更多時(shí)，學(xué)生的情緒一次又一次地被點(diǎn)燃，完全沉浸在成功的喜悅中。

正當(dāng)筆者要宣布結(jié)果時(shí)，有位學(xué)生突然叫起來：我們組擺出了10棵小樹！

“不可能吧！”筆者下意識(shí)地脫口而出。

“我們組擺了10棵小樹！不信，你來看一下。”看這情形，不好好講解要說服他們是不行的。

于是，筆者請(qǐng)這組同學(xué)把擺好的作品放到投影上看，確實(shí)，他們組利用小組內(nèi)所有的小樹，在長方形紙上擺了10棵小樹（見下圖）。

事實(shí)勝于雄辯，看到他們組擺出的圖形，所有同學(xué)都?xì)g呼起來。這到底是怎么回事？怎么可以擺10棵呢？一定是哪里出了問題，筆者仔細(xì)地觀察他們擺的這個(gè)圖片，發(fā)現(xiàn)左右兩端略微“出界”了一些，好幾棵小樹在他們擺了多次以后已經(jīng)有些蹺起來了，“樹葉”之間有些重疊了。如果此時(shí)把筆者剛才的發(fā)現(xiàn)指給大家看，雖然他們?cè)诶碇巧峡赡軙?huì)部分認(rèn)同，但是在情感上是絕對(duì)不同意的。而且筆者把長方形和小樹都是按一定比例縮小的，會(huì)不會(huì)在此過程中發(fā)生一點(diǎn)小誤差呢？想到這里，筆者覺得最能說明事情的不是眼前的擺法了，而是要通過數(shù)據(jù)的計(jì)算來說服。這時(shí)，筆者故作驚訝：真的可以擺10棵小樹啊，為什么可以擺10棵呢？讓我們來計(jì)算一下吧。

第一次探索

筆者在幻燈上把10棵小樹緊緊地挨著，像上面一樣擺出了10棵，從哪里開始計(jì)算呢？先算上下的距離，能不能擺下兩棵小樹：一棵小樹樹干部分長6cm，枝葉部分長9cm，這種擺法是2個(gè)樹干的長加上1個(gè)枝葉的長，6+6+9=21（cm），與長方形的寬相等！學(xué)生非常高興。接著怎么算這排小樹的長呢？筆者把這個(gè)問題拋給學(xué)生，在一陣安靜思考之后，有個(gè)學(xué)生提出，枝葉中間那一層互相連在一起，好像是一個(gè)平行四邊形。

師：是嗎？

生：是一個(gè)平行四邊形！（大家一片附和之聲）

師：為什么？

生：兩個(gè)形狀、大小完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形。（學(xué)生回答得干脆利落，想不到，梯形與平行四邊形的關(guān)系在這里用得這么貼切）

為了讓全體學(xué)生都看清平行四邊形，筆者特意用四條線圍成平行四邊形（見下圖）。

師：那么，這里由兩個(gè)形狀、大小完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形有幾組呢？

生：上下小樹合成一組，一共有5組。

師：每個(gè)平行四邊形的底是多少？

生：上底加下底是2+6.6=8.6（cm）。

生：5組一共是8.6×5=43（cm），比長方形的長45cm還少2厘米。

筆者急忙把算式板書在黑板上。到這里，事情已經(jīng)向預(yù)計(jì)的方向發(fā)展了。

師：對(duì)照算式和圖，現(xiàn)在你們覺得真的可以擺下10棵小樹嗎？

生：可以。

生：不可以。（有些學(xué)生已經(jīng)看出來了）

師：你為什么認(rèn)為不可以呢？

生：因?yàn)樾渥钕旅娴囊粚舆€沒算呢！

師：請(qǐng)你上來指一指，哪里還沒有計(jì)算進(jìn)去？

學(xué)生上來指出了左右兩端最底下一層枝葉，它們超出了平行四邊形。

生：還有一個(gè)地方?jīng)]有算進(jìn)去！（又一個(gè)學(xué)生插進(jìn)來說）

師：啊？還有哪里沒有計(jì)算進(jìn)去，也請(qǐng)你來指給大家看。

學(xué)生上來指出了平行四邊形的上底比下底傾斜出的部分。

師：原來平行四邊形的底并不能代表整個(gè)平行四邊形的長度，還要加上這個(gè)傾斜的長度，這里是多少長呢？兩頭的還有一些沒有計(jì)算進(jìn)去的是多少呢？（筆者把三處還沒有計(jì)算的地方圈出來，見下圖）

生：最底層比中間層多出了4-3.3=0.7（cm），兩端就是0.7×2=1.4（cm），枝葉部分拼起來總長度還要增加3.3-1=2.3（cm）。一共要增加1.4+2.3=3.7（cm）。

生：43+3.7=46.7（cm），比長方形的長45cm多了1.7cm。

師：這個(gè)結(jié)果讓人覺得有點(diǎn)沮喪，可是，雖然不能夠擺10個(gè)，但是肯定可以擺出9個(gè)，也是比剛才的8個(gè)進(jìn)步了不少呢！如果沒有剛才的理論計(jì)算，我們還不知道能擺出9個(gè)呢！剛才這組同學(xué)很愛動(dòng)腦筋思考，非常值得大家學(xué)習(xí)，那么他們擺出來的小樹為什么看起來好像有10棵呢？

這時(shí)，筆者相信，他們已經(jīng)心服口服了，這多虧了理論計(jì)算和實(shí)踐拼擺的完美融合。

師：嗯，數(shù)學(xué)中很多事情看起來好像是正確的，其實(shí)通過計(jì)算，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多錯(cuò)誤的地方，數(shù)學(xué)就是需要我們精確地理性地思考。為大家的理性思考鼓鼓掌。（教室里掌聲雷動(dòng)）

第二次探索

“老師，可以擺出10棵小樹！”筆者以為現(xiàn)在是該結(jié)束這道題目的時(shí)候了，想不到還有學(xué)生叫起來。“不過，不是那樣擺的，我們是這樣擺的。”說話的語氣非常肯定，不知道是因?yàn)榭隙ㄗ约旱姆椒ㄟ€是掌聲帶來的興奮，既然這樣，那就把他的方法也拿上來讓大家看一下吧。

“天哪，真的有10個(gè)。”（教室里再一次炸開了，歡呼聲、掌聲、尖叫聲……）

“怎么辦？要不要算一算？”筆者試探地問。

“算……”

“好吧，可是怎么算呢？像剛才一樣，先算寬度夠不夠用，再算長度夠不夠，長度看起來簡單一點(diǎn)，就先算長度吧，一棵小樹的長度是15cm，3棵小樹是45cm，剛好！”

“再來看寬度，像剛才一樣，先找到平行四邊形，算出一條底的長度，再增加兩頭長度。”

上面已經(jīng)計(jì)算過一組小平行四邊形的底是8.6cm，2組是17.2cm。同樣的兩頭像剛才一樣增加0.7×2=1.4（cm）和3.3-1=2.3（cm），也是增加1.4+2.3=3.7（cm），17.2+3.7=20.9（cm），比長方形的寬少了0.1cm！

“完全可以！我們?yōu)檫@位同學(xué)的動(dòng)腦思考鼓掌，為我們學(xué)無止境的探究鼓掌！”

回顧反思

這道習(xí)題的出色完成，大大地超出了筆者的預(yù)料，同時(shí)也有很多東西值得深思。

（一）想象需要借助實(shí)踐操作

課堂教學(xué)既要照顧到后進(jìn)生，也要為優(yōu)等生插上騰飛的翅膀。為學(xué)生準(zhǔn)備的學(xué)具，有兩個(gè)層次的作用，對(duì)于中下學(xué)生，要明白理論上能剪出19棵小樹，在實(shí)際中是行不通的；但是對(duì)于中上學(xué)生來說，不用擺也知道，這些小樹對(duì)他們來說，就是探索發(fā)現(xiàn)的工具！他們會(huì)把腦子里的想象一次次地進(jìn)行實(shí)踐操作，在成功與失敗的過程中，體會(huì)學(xué)習(xí)的無窮魅力！在第一次出現(xiàn)能擺10棵小樹時(shí)，是他們探索的第一次飛躍，盡管是一次不大成功的嘗試，但是，他們的探索是非常成功的，正因?yàn)槿绱耍杂辛说诙蔚娘w躍，探索出了真正的10棵小樹的擺法！試想一下，如果沒有為學(xué)生準(zhǔn)備的這些小樹圖片，學(xué)生能創(chuàng)造出如此多的擺法嗎？能這樣一次次愉悅地起飛嗎？

（二）理論計(jì)算與實(shí)踐操作的完美交融

理論指導(dǎo)實(shí)踐，實(shí)踐檢驗(yàn)理論，第一次探索的結(jié)果，在大多數(shù)學(xué)生認(rèn)可的情況下，如果教師強(qiáng)行判定這種方法不對(duì)，會(huì)造成非常嚴(yán)重的后果，所以，筆者巧妙地借助理論計(jì)算來驗(yàn)證這種方法。在驗(yàn)證的過程中，既鞏固了本單元所學(xué)的內(nèi)容，又體會(huì)到了數(shù)學(xué)計(jì)算的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性，最重要的是意識(shí)到了實(shí)踐操作還需要理論計(jì)算來做最后的確認(rèn)，這就是科學(xué)的研究方法！對(duì)于第二次探索，教師和學(xué)生都沒有把握這種方法的正確性，就拿出我們剛剛獲得的學(xué)習(xí)方法，即用理論計(jì)算來驗(yàn)證！計(jì)算的結(jié)果與實(shí)踐操作的結(jié)果完全吻合，得到最終的肯定。這種對(duì)答案的肯定不是教師給的，而是學(xué)生自己用理論驗(yàn)證出來的，擺脫了對(duì)教師的依賴，走向了獨(dú)立！

（三）獲得豐富的情感體驗(yàn)

無論知識(shí)和技能多么重要，它從來就不是學(xué)生學(xué)習(xí)的全部內(nèi)容，所以，情感、態(tài)度、價(jià)值觀等是課堂必須要滲透的東西。首先是成功的體驗(yàn)，不同的人在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展。在這個(gè)課例中，不同層次的學(xué)生都有自己的探索發(fā)現(xiàn)，都獲得了積極的成功的體驗(yàn)。其次是合作的愉悅，從個(gè)人到小組，再到全班，個(gè)人的智慧與全班的探索息息相關(guān)，一次次地將探索推向高潮！

在本案例中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展了合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地進(jìn)行思考，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和理論驗(yàn)證的習(xí)慣。

（浙江省瑞安市馬鞍山實(shí)驗(yàn)小學(xué) 325200）