“分數乘除法教學研究”校本考研活動方案（二）

在“分數乘除法教學研究”校本教研活動方案（一）中，我們主要研究了分數乘除法的算術理論，進一步明確了分數乘除法的定義與計算方法和算理。本活動方案主要研究分數乘法的教學。

一、活動目標

1.經歷閱讀、思考、解答并與同伴交流有關分數乘法的相關資料與問題。

2.進一步明確分數乘法教學的內容與要求。

3.通過對不同版本教材分數乘法的對比，提高教材比較的能力。

4.進一步提高分數乘法的教學水平。

二、活動時間

教研組老師先不集中，每人自己安排時間閱讀并獨立解決本方案中的問題，時間約3小時；再以年級組（或教研組）為單位集中交流問題的答案，時間約1.5小時；開一節分數乘法的公開課，時間40分鐘。

三、活動前準備

數學組的每一個老師解答下面的問題，并準備在年級組或全數學組交流。指定老師準備開一節分數乘法的公開課。

1.分數乘法可以分成“分數與整數相乘”和“分數與分數相乘”兩大塊內容。但由于涉及運算意義的說明、計算法則的歸納以及結果的約分或化成帶分數等等，內容比較豐富。請你先計算下面各題，并想一想，這些分數乘法的題目，教材應該按照怎樣的順序編排？請按照前后順序在括號里編號。

（ ）6×，（ ）×，（ ）×，（ ）×，（ ）×3。

2. 學習任何運算常常要先明確這種運算的意義，學習分數乘法運算也不例外。我們先來研究“分數與整數”相乘的意義。

（1）你覺得“分數與整數”相乘的意義是什么？請你以8×為例說明。

（2）如果有人說：“8×有兩種意義：①8×表示8個相加的和是多少；②8×表示把8平均分成4份，取這樣的3份是多少，也就是表示求8的是多少。”你同意這樣的說法嗎？在教學中，需要讓小學生掌握這兩種意義嗎？如果需要，那么哪一種意義應該先教學？為什么？

（3）下面是學生對“分數與整數”相乘意義的表達（以8×為例），你覺得哪些表達是對意義正確的理解？在相應的括號內打“√”。

①8×=+++++++（8個相加）； （ ）

②+++++++=8×=×8 ；（ ）

③8×既表示8個相加是多少，也表示個8相加是多少；（ ）

④把8平均分成4份，取這樣的3份，算式可以是8×； （ ）

⑤求8的是多少，就是要計算8×或×8是多少； （ ）

⑥8×可以理解為有8個蘋果平均分成4份，這樣1份就是2個，表示這樣的3份，就是6個蘋果。也就是8×=8÷4×3。（ ）

（4）如果要出一些題目來評價學生是否掌握了“分數與整數”相乘的意義，那么，你可以出怎樣的題目？

3.“分數與整數”相乘的內容從計算的結果上看，可以分成兩類，一類是分數與整數相乘計算結果是整數，如8×；另一類是分數與整數相乘計算結果是分數，如3×。查閱現行的幾套小學數學教材，只有浙教版教材把分數與整數相乘計算結果是整數的這一塊內容放在三年級進行教學。這套教材在學生學習了分數的初步認識、初步的分數大小比較和加減法后教學求一個數的幾分之幾是多少（結果是整數）的內容。

下面是在三年級教學“求一個數的幾分之幾是多少”的教學片段，請你先閱讀，然后思考并解決問題。

環節一：

出示圖，讓學生思考并填上合適的分數表示圖中陰影部分的大小。說一說為什么填這個分數。

一般的學生都能填上，并能夠說明理由：把一個圖形等分（或平均分）成了4份，陰影部分有1份，所以，用表示圖中陰影部分的大小。

環節二：

教師分步出下面兩個圖，并結合圖形用文字表達。再讓學生將文字各齊讀一遍。

（1）

文字表達：涂陰影的小正方形是這個大正方形的四分之一。

（2）

文字表達：這個大正方形的四分之一是涂陰影的小正方形。

（3）出示圖，并明確問題：大正方形的是一個小正方形，如果一個大正方形表示16，那么，這個小正方形表示多少？也就是16的是多少？你是怎樣列式計算出結果的？

16的是多少？

學生列式計算：16÷4=4。也就是一個小正方形表示4，并明確16的是4。

教師進一步提出問題：想一想，“16的是多少”是什么意思？用什么方法計算？

引導學生回答：16的是多少，就是把16平均分成4份，求1份是多少。把16平均分成4份，求1份是多少，用除法計算：16÷4=4。

環節三：

讓學生做三個練習題，鞏固求一個數的幾分之一是多少的意義與方法。

環節四：

與上面的過程類似，教學求一個數的幾分之幾是多少。

先出示圖：。

再出示問題：如果這個大正方形表示16，請每一個學生都獨立地解決問題：想一想，“求16的是多少”是什么意思？怎樣列式計算？

在學生獨立思考解決問題后，進行全班交流。引導學生得出：“求16的是多少”的意思是：把16平均分成4份，表示這樣的2份。解決問題的算式與結果是：16÷4×2=8。

環節五：

讓學生做三個練習題，鞏固求一個數的幾分之幾是多少的意義與方法。

問題：

（1）你覺得，對于三年級學生來說，要完成上面的教學過程，他們需要具備哪些基礎？

（2）筆者曾用上面的教學過程在三年級進行教學實踐，發現學生有能力解決求一個數的幾分之幾是多少（結果為整數）的問題。三年級學生為什么有能力解決這樣的問題呢？下面列舉了可能的原因，請你根據上面的教學片段，判斷哪些說法是正確的，正確的在相應的括號里打“√”，否則打“×”。

從學生已有的基礎看：

對分數的意義已經有了初步認識；（ ）

單位“1”的概念已經非常明確；（ ）

已經具備用歸一的方法解決整數應用問題；（ ）

分數乘法的意義學生已經掌握；（ ）

已經學習了分數與除法的關系。（ ）

從教學過程與要求看：

提供了直觀圖形，方便學生理解；（ ）

“先教學求一個數的幾分之一是多少，再教學求一個數的幾分之幾是多少”體現了由易到難的原則，學生學習的難度較小；（ ）

鞏固練習的題量大，有利于學生掌握；（ ）

“把求一個數的幾分之幾是多少的問題轉化成歸一問題來解決”這種轉化的思路學生能夠掌握；（ ）

不要求學生列出16×這樣的乘法算式，只要求學生把“求16的是多少”的意義（把16平均分成4份，表示這樣的2份）和算式（16÷4×2=8）對應起來，這是合理的教學要求。（ ）

4.你覺得，把分數乘法分成“分數乘整數結果是整數（三年級）”和“分數乘整數、分數（五年級或六年級）”這樣兩段來編寫，是否有必要？請你閱讀下面甲、乙兩人的看法，你比較贊同哪一個人的觀點？為什么？

甲：把分數乘法分成兩段來教學，它的價值比較大。對我這樣的老師來說，在數學教學觀念上有一定的“沖擊”。原來我一直認為，分數乘法只有到五、六年級學生才可能學習，把分數乘整數結果是整數這樣的內容放到三年級學習，說明了作為教育任務的數學有著自己的體系，小學生學習數學的系列可以不斷地實踐與探索。對于學生來說，①由于用歸一的思路解決求一個數的幾分之幾是多少的問題，所以有利于學生更好地理解分數乘整數的意義；②用歸一的思路解決問題時，要把分數的單位“1”具體化，如單位“1”代表16，這樣有利于學生進一步理解分數意義中的“單位1”；③有利于學生進一步感受分數與“等分，平均分”有關系，除法也與“等分，平均分”有關系，這樣分數與除法之間也就有了關系，而不是分數就是分數、除法就是除法，兩者沒有絲毫的聯系； ④為五年級或六年級學生進一步學習分數乘法奠定了基礎。

乙：把分數乘法分成兩段來教學，它的價值不大。主要有以下兩個理由：①在分數乘除法教學研究校本教研活動方案（一）中（詳見本刊2013年第7～8期合刊）我們已經知道，在算術理論中，分數與整數相乘沒有自己單獨的意義與運算法則，而只是建立了分數與分數相乘的意義與法則。對于分數與整數相乘可以看成是分數與分數相乘的特別情況（即把整數看成分母是1的特殊分數），可見，把分數乘法分成兩段來教學，不是突出了數學內容的整體性，讓學生感受到法則的統一性，而是肢解了數學的內容，不利于學生整體把握分數乘法的知識結構；②無論是分數乘整數，還是分數乘分數，對于小學生來說，學習的難度不大，沒有必要把這一內容分成兩段編排，采用螺旋上升的原則。分兩段編排后，勢必增加教學的時間，學生學習的效率相對低下。

5.在教學“分數乘整數”的第一個例題時，如果想創設一個生活情境引入算式，那么你會創設一個怎么樣的情境？

現行的人教版與蘇教版教材都把分數乘法內容編排在六年級上冊，下面分別是這兩套教材關于“分數與整數”相乘的第一個例題，請你先閱讀教材內容，然后回答問題。

問題：

（1）哪一個情境更貼近小學生的生活實際？為什么？

（2）哪一個情境更容易讓小學生理解題意、弄清條件與問題？為什么？

（3）哪一個問題的解決更容易讓小學生理解“分數乘整數”的意義？

6.我們知道，教學分數與整數相乘時，主要教學分數與整數相乘的意義與計算法則。人教版與蘇教版教材在出現了上題（第5題）中的兩個情境后，接著教材又呈現了意義與算法的內容，請你先閱讀兩種教材的內容再回答問題。

人教版教材 蘇教版教材

問題：

（1）兩種教材分別在哪些內容上呈現了分數乘整數的意義？哪些地方呈現了算法？

（2）哪一種教材在意義與算法的呈現方式上更為清晰？

（3）哪一種教材更強調學生的動手操作？更重視利用學生已有的知識與技能？

（4）你比較喜歡哪一種教材的編寫過程？為什么？

7.蘇教版教材除了像上題（第6題）這樣呈現“分數與整數相乘的意義可以是求幾個相同加數和的簡便計算”外，還專門用了一個例題闡述分數與整數相乘的另一種意義，請你先閱讀教材，再回答問題。

蘇教版教材

問題：

（1）例2中為什么要有兩個小問題？

（2）在例2中分數與整數相乘的意義是什么？請以10×為例說明。

（3）你覺得例2的教學有什么價值？

8.筆者查閱了現行的人教版教材，發現沒有編排像蘇教版例2這樣分數與整數相乘的內容。這樣的內容是否還需要教學，有了不同意見。

有人認為，現在我們已經不再區分被乘數與乘數，而且在學生一開始學習乘法時，就規定了兩個因數交換位置后的大小相等、意義相同。如2×3=3×2，所以在這里學生也會明白10×=×10，前面已經教學了10×或×10都可以理解為“求10個相加的和”，因此，沒有必要再教學10×可以理解為是“把10平均分成5份，表示這樣的2份”這種意義了。

也有人認為，雖然學生明白了10×=×10，但并不意味著學生對于算式的意義就理解了。對于10×或×10這樣的算式來說，學生不僅要知道它們是相等的，而且還要明白每一個算式都有兩種不同的含義，從這個意義上說，在不再區分被乘數與乘數的背景下，對每一個算式都應該讓學生明白兩種意義，教學的任務更重了，所以，教材應該出現像蘇教版例2這樣的內容。

你覺得上面的哪一種觀點更有道理？為什么？

9.在分數乘分數的教學中，要教學分數乘分數的意義與方法。下面的三句話都是以×為例，試圖表達出分數乘分數的意義，你覺得這些表達都是正確的嗎？ 為什么？

（1）×的意義是求個相加的和是多少。

（2）×的意義是求的是多少。

（3）×的意義是把平均分成4份，表示這樣的3份是多少。

10.想一想，在分數與整數相乘的兩種意義中，哪一種意義和分數與分數相乘的意義是相同的？以2×和×為例說明。

11.你覺得，學生是分數乘分數的算法（用分子相乘的積作分子、用分母相乘的積作分母）掌握得比較困難，還是理解算理（即為什么可以這樣計算的道理）掌握得比較困難？

下面是人教版教材分數與分數相乘的例題，請你先閱讀，并思考學生理解算理較困難的主要原因是什么。

接著教材上要求學生想一想，分數乘分數怎樣計算？

下面是對形成難點的原因分析，你覺得這樣的分析是否有道理？

主要原因：一是單位“1”的不斷變化。從例題所創設的情境看，題目中對應著的單位“1”是一面墻，對應的單位“1”是一面墻的。而×所對應的單位“1”也是這一面墻。可見在分數與分數相乘的過程中，出現了幾個單位“1”，這幾個單位“1”要根據條件與問題來確定，這是造成學生理解困難的一個原因。二是算式的意義常常由規定而得，而并不是根據數量關系得到。大家知道，分數與分數相乘的意義就是“幾分之幾的幾分之幾”，這是規定。如上面例題中由“的”這樣表述的句子，就得到× ，這種“硬性”的規定不利于理解。而如果從工作效率、工作時間與工作總量相互關系中得到× ，學生的理解就可能會容易一些。

12.請你先閱讀下面的題目，然后回答問題。

你覺得，在教學分數乘分數時，如果采用上面的題目作為例題，那么，能夠得到分數乘分數的算式嗎？能夠說明算理嗎？如果用三四個這樣類似的題目可以歸納出計算方法嗎？與上面人教版教材中“粉刷墻”的這個例題比較，各有什么優點與不足？

（1）要求出陰影部分這個長方形的面積，應該怎么列式？

（2）這個大正方形的面積是多少？陰影部分的長方形面積是這個正方形面積的幾分之幾？

（3）陰影部分長方形的面積是多少？

上述問題的參考答案略。

（注：本文系浙江省“十二五”中小學教師及校長培訓研究第二輪立項重點課題“小學數學校本教研活動方案開發研究”的部分成果，課題編號：2013A012）

（浙江省杭州市上城區教育學院 310006）