道術(shù)同源

自《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布以來(lái)，促成了人教版教材的與時(shí)俱進(jìn)。筆者了解到2011年版“數(shù)學(xué)廣角”中的“雞兔同籠”問(wèn)題從原來(lái)的六年級(jí)上冊(cè)被安排到了四年級(jí)下冊(cè)。這一變動(dòng)意味著什么？那么雞兔同籠問(wèn)題在六年級(jí)的目標(biāo)定位與四年級(jí)的目標(biāo)定位是否一致？如何從四年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和特點(diǎn)上把握教學(xué)目標(biāo)？如何基于不同年級(jí)學(xué)生的基礎(chǔ)實(shí)施不同的策略教學(xué)？年級(jí)的變化告訴了我們什么？數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)核心價(jià)值該如何把握？對(duì)這些問(wèn)題的思考與探索是實(shí)踐數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)根本之所在。

正因?yàn)椤半u兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)價(jià)值所在，不同版本的教材都選取了這一內(nèi)容展開(kāi)教學(xué)，然而又對(duì)這個(gè)問(wèn)題的闡述具有不同的價(jià)值體現(xiàn)。在實(shí)踐“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)中，許多教師針對(duì)不同年級(jí)的學(xué)生采取了不同的教育價(jià)值定位。有些是讓學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程為基點(diǎn)，有些是提供多種解題策略為目的，有些是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)典故為目的。如何準(zhǔn)確定位“雞兔同籠”的教育價(jià)值？如何引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想內(nèi)涵？如何去理解多元方法背后的數(shù)學(xué)價(jià)值？不妨讓我們通過(guò)幾個(gè)維度去思考一番。

一、透過(guò)教材，體悟解讀學(xué)生的殊途同歸

每種版本的教材都制定了一個(gè)教學(xué)體系，通過(guò)各自不同的詮釋方式，表述著對(duì)數(shù)學(xué)教育的理解和倡導(dǎo)。我們不妨從不同版本教材對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題的呈現(xiàn)方式中，一窺其變與不變的價(jià)值取向。

“雞兔同籠”問(wèn)題各教材編寫特點(diǎn)一覽表

教材版本人教版蘇教版浙教版北師大版

編入年級(jí)六上六上三下五上

主導(dǎo)方法列表假設(shè)方程假設(shè)和替換畫圖列表列表枚舉

意圖經(jīng)歷列表、假設(shè)、方程的解題過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考的價(jià)值以一道練習(xí)題形式來(lái)鞏固“假設(shè)和替換”的策略通過(guò)兩種方法運(yùn)用，初步感受解決此類問(wèn)題的策略借助列表嘗試體驗(yàn)解題的策略

從幾種版本的教材編排特點(diǎn)來(lái)看，浙教版和蘇教版呈現(xiàn)的是畫圖與列表，但蘇教版更強(qiáng)調(diào)畫圖；人教版重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是假設(shè)法和方程；北師大版的“雞兔同籠”問(wèn)題重點(diǎn)滲透的是“嘗試”——融合了操作、列表、猜想。

不難看出，在“雞兔同籠”問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生必然會(huì)經(jīng)歷嘗試階段（畫圖、列表）—思考策略階段（假設(shè)、替換）—選擇優(yōu)化階段（方程），不同年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平的差異，必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)方法接受程度不同。各版本教材無(wú)論在例題和練習(xí)中，都為學(xué)生的思考點(diǎn)尋找到抓手。蘇教版雖然是用雞兔同籠問(wèn)題來(lái)作為一種方法的鞏固練習(xí)，但在呈現(xiàn)過(guò)程中對(duì)畫圖列表等形式也予以了充分展示。人教版以假設(shè)和方程為主，但呈現(xiàn)思考過(guò)程中也兼顧了學(xué)生初步列表枚舉，以及由具體產(chǎn)生假設(shè)的思維過(guò)程。

因此，從表面來(lái)看，雖然各教材涉及解題方法的側(cè)重點(diǎn)各不相同，但對(duì)學(xué)生的解讀卻是真切的。

首先，明確了學(xué)生的思維起點(diǎn)。中年級(jí)的學(xué)生對(duì)于思考問(wèn)題的方法和角度需要重點(diǎn)訓(xùn)練，便于積累思考活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。于是讓學(xué)生在嘗試中學(xué)會(huì)比較概括，尋求適合自己的解題策略。高年級(jí)的學(xué)生有了一定的思考分析問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于問(wèn)題的理解有了多維度，此時(shí)為學(xué)生指明一條路徑讓他們自己尋找思考角度很重要。

其次，明確了學(xué)生的學(xué)習(xí)價(jià)值。在教材指向性上，不是為了解題而解題，更多的是在引導(dǎo)學(xué)生怎樣去思考。通過(guò)“雞兔同籠”問(wèn)題這個(gè)載體，尋找怎樣提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的途徑。學(xué)習(xí)的價(jià)值在于過(guò)程中的體悟、思考經(jīng)驗(yàn)的積累。

可見(jiàn)，不同版本的教材在不同側(cè)面作著嘗試，尊重學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，借助不同的方法擺渡到數(shù)學(xué)思想的彼岸，真可謂殊途同歸。

二、透過(guò)定位，體悟教育價(jià)值的異曲同工

不同版本的教材體現(xiàn)了解讀學(xué)生的不同功力，那么在同一個(gè)問(wèn)題的教育價(jià)值定位上又有哪些異同呢？

北師大版以“雞兔同籠”問(wèn)題為載體，教學(xué)最原始而又最能廣泛遷移的列表嘗試法。整個(gè)目標(biāo)定位為學(xué)生搭建了一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的空間，在具體教學(xué)中我們也會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生從一一枚舉到中間嘗試，在嘗試中體驗(yàn)優(yōu)化思想和數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。從有序列舉到形成假設(shè)的雛形，無(wú)不體現(xiàn)著學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的積累和深化。

蘇教版有很明確的解題策略意識(shí)和強(qiáng)烈的積累解題策略的指向性。“雞兔同籠”問(wèn)題在此充當(dāng)了一個(gè)很有個(gè)性的例子，它不僅為學(xué)生提供了替換假設(shè)方法運(yùn)用的模型，更提供了一個(gè)多元的問(wèn)題導(dǎo)向。凸顯了方法，強(qiáng)調(diào)了教學(xué)價(jià)值，是一種建模思想的充分體現(xiàn)。

在人教版教材的使用中，一些教師抓住了假設(shè)核心，利用數(shù)學(xué)思想的脈絡(luò)理出了做數(shù)學(xué)的線索。引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)，經(jīng)歷著從具體到抽象、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單、從想問(wèn)題到模型的建立，是做數(shù)學(xué)的良好范本，但課堂知識(shí)容量較大，對(duì)于六年級(jí)學(xué)生而言更容易被方程的簡(jiǎn)便性所吸引，將學(xué)習(xí)的價(jià)值指向?qū)Y(jié)果的探尋。

細(xì)心體會(huì)可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題的切入口各不相同，但它們?cè)跀?shù)學(xué)問(wèn)題核心的詮釋上卻有異曲同工之妙。

其一，詮釋了“做數(shù)學(xué)”的理念。從學(xué)生最自然的方法切入，通過(guò)嘗試、反思、再嘗試等過(guò)程讓學(xué)生去“做數(shù)學(xué)”。無(wú)論選擇列表、畫圖、假設(shè)等方法，都該有充分的時(shí)間和空間讓學(xué)生去動(dòng)手、嘗試和感悟。在做數(shù)學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生積累方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

其二，詮釋了“想問(wèn)題”的理念。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷想問(wèn)題的全過(guò)程，在各自的基礎(chǔ)上由直觀圖表作為依托，逐步過(guò)渡到假設(shè)等抽象思考的過(guò)程。以北師大版列表法為例，學(xué)生從一一列舉到跳著列表，初步運(yùn)用假設(shè)列表。教師在學(xué)生思維的每個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，讓學(xué)生停下來(lái)反思：數(shù)據(jù)大且麻煩，根據(jù)規(guī)律你發(fā)現(xiàn)了什么？如果假設(shè)全是一種情況會(huì)怎樣呢？這種遞進(jìn)式的設(shè)問(wèn)讓學(xué)生不斷思考、不斷發(fā)現(xiàn)，促進(jìn)了思考的深入。

其三，詮釋了“建模型”的理念。在學(xué)習(xí)能力的反饋中，往往可以把是否建立此類問(wèn)題的模型作為判別標(biāo)準(zhǔn)，看學(xué)生能不能由這個(gè)模型舉一反三。例如，在不同版本的教材上都會(huì)出現(xiàn)租船、求不同面值硬幣各幾枚等問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生能從這些生活問(wèn)題中準(zhǔn)確找到雞兔只數(shù)與頭數(shù)相對(duì)應(yīng)的關(guān)系，或者從雞兔同籠問(wèn)題舉例出生活中的問(wèn)題，都是模型建立程度的檢測(cè)。

以上三點(diǎn)是各版本教材均牢牢抓住的核心，更是教師教學(xué)中務(wù)必要思考的價(jià)值所在。

三、透過(guò)方法，體悟數(shù)學(xué)思考的道術(shù)同源

很多一線教師一直在困惑，解決“雞兔同籠”問(wèn)題有那么多方法，什么方法更有潛能，它的使用范圍更廣泛？我們也不能貶低枚舉法和畫圖法，這些最樸素的方法在數(shù)學(xué)中總是最能讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴。如果再次回到所有方法的探究過(guò)程中，當(dāng)我們用列表枚舉法時(shí)，有1只雞會(huì)有幾只兔呢？此時(shí)正在假設(shè)有雞1只的情況。當(dāng)我們用畫圖法，為每個(gè)頭畫上兩條腿的時(shí)候，此時(shí)正在假設(shè)全是雞的情況。當(dāng)我們用方程法解的時(shí)候，寫設(shè)句便是假設(shè)的開(kāi)始。……在眾多的方法中，假設(shè)的思路是最基本的思路，而用方程的解法是最一般的方法。在教學(xué)過(guò)程中我們需明確，運(yùn)用列表、替換、畫圖都是在為學(xué)生的假設(shè)思路搭橋。是不是要讓每個(gè)學(xué)生都走這座橋，那就看他們的需要了。

例如，有位教師在教學(xué)人教版“雞兔同籠”一課時(shí)，根據(jù)六年級(jí)學(xué)生對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題在各種渠道均有接觸，教學(xué)中把重點(diǎn)聚焦在假設(shè)法上，在第一課時(shí)中不對(duì)方程作深入研究。提出問(wèn)題：“籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26條腿，雞和兔各有幾只？”從以下三個(gè)環(huán)節(jié)呈現(xiàn)了假設(shè)的思想。

列表法引入。讓學(xué)生通過(guò)逐一列表驗(yàn)證、中間列表驗(yàn)證等方法探究問(wèn)題，并明確提出了列表法的作用：幫助我們有序思考，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

假設(shè)法思考。在雞兔數(shù)量很多的時(shí)候，再用列表法怎么樣呢？于是在規(guī)律發(fā)現(xiàn)中，特別是對(duì)表格中的最大最小數(shù)進(jìn)行比較，當(dāng)兔的只數(shù)為0或8時(shí)，是什么意思？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，就是把這8個(gè)頭都看成是雞或者是兔，嘗試用算式表示出來(lái)，從而引出了假設(shè)法。

畫圖法佐證。在脫離表格列式思考的過(guò)程中，學(xué)生出現(xiàn)思維障礙。有效利用畫圖法，通過(guò)數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解假設(shè)的真正含義。

表面上這位教師似乎教給了學(xué)生三種方法，但由于教師理清了知識(shí)脈絡(luò)，緊緊抓住假設(shè)法的主線，借助列表法和作圖法的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生進(jìn)行了有效思考，也為我們提供了很好的范例。

在實(shí)踐中有許多教師也為我們指明了方向，朱樂(lè)平老師更是用畫圖法將雞兔問(wèn)題的模型推向了極限。有的教師利用方程的方法將此類問(wèn)題貫穿到底。但他們無(wú)論選擇哪種方法或者確定問(wèn)題的難易程度，都充分考慮了教學(xué)對(duì)象的基礎(chǔ)、教材中每種方法的主線。這種大膽而尊重學(xué)生已有知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)更體現(xiàn)了道術(shù)同源。

對(duì)于2011年版新教材“雞兔同籠”問(wèn)題的安排，我們可以感受到教材針對(duì)數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)本質(zhì)以滲透思想方法為核心，讓學(xué)生在自主探索、發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)等活動(dòng)過(guò)程中感悟和發(fā)展。通過(guò)以上的分析，可以感受到人教版新教材對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題的走向，讓我們一起為新教材的實(shí)施做一個(gè)充分的心理準(zhǔn)備吧。

1.尊重為前提，準(zhǔn)確定位。雞兔同籠問(wèn)題在六年級(jí)的目標(biāo)定位與四年級(jí)的目標(biāo)定位必然會(huì)有變化。我們首先要尊重學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，尊重教材的體系，注意以下三點(diǎn)：一變。我們可以發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”問(wèn)題如果放在四年級(jí)學(xué)，那么學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)中“方程法”自然要排除在外，更無(wú)需受到六年級(jí)學(xué)生喜歡用方程解題的干擾。二降。列表法作為比較自然的思考方法，應(yīng)該充分地被用好。在問(wèn)題詮釋上，難度必然會(huì)降低，但由列表走向假設(shè)的過(guò)程是內(nèi)在脈絡(luò)。三明。由于原來(lái)方法呈現(xiàn)多，教師教學(xué)中抓住的思想方法的點(diǎn)比較多。枚舉思想、假設(shè)思想、方程思想等都是我們教學(xué)實(shí)施的多項(xiàng)選擇。現(xiàn)在排除了方程，假設(shè)的思想被更明確地提出。

2.理解為核心，充分準(zhǔn)備。每一個(gè)版本的教材都把教育的價(jià)值指向引導(dǎo)學(xué)生思考的過(guò)程。因此，倡導(dǎo)“做數(shù)學(xué)、想問(wèn)題、建模型”的理念成為教師教學(xué)的抓手。在如何利用新教材教之前，教師應(yīng)該充分理解這三個(gè)理念的價(jià)值，為新的挑戰(zhàn)做好準(zhǔn)備。

3.創(chuàng)新為方向，因材施教。教材為教學(xué)提供了一個(gè)載體，設(shè)定了一個(gè)預(yù)設(shè)路徑。但面對(duì)不同基礎(chǔ)的學(xué)生，以及新教材帶來(lái)的略有調(diào)整的知識(shí)體系，教師不能成為教材的復(fù)讀機(jī)，更應(yīng)該根據(jù)具體情況選擇有效的教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)。心中永遠(yuǎn)想著數(shù)學(xué)廣角的目標(biāo)“思考與實(shí)踐”。

總之，在數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)領(lǐng)域，教師要抓住數(shù)學(xué)思想這一“道”的核心，確定切實(shí)可行的方法這一“術(shù)”的表象，將讀懂學(xué)生、讀懂教材作為源頭活水，實(shí)現(xiàn)真正意義上的“道術(shù)同源”。

（浙江省寧波市孫文英小學(xué) 315000）