借助幾何直觀 凸顯意義建構(gòu)

“點陣問題”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下“數(shù)學(xué)廣角”例3的教學(xué)內(nèi)容，安排在例1、例2植樹問題之后。點陣問題的本質(zhì)是關(guān)于一個封閉圖形的植樹問題，也就是栽樹棵數(shù)正好等于間隔數(shù)的思想滲透。但在教學(xué)實踐中，從植樹問題入手，容易把問題復(fù)雜化，而且教材也沒有給出唯一的解答方案，只是提供了一些思考的方法。

那么，點陣問題的教學(xué)應(yīng)凸顯怎樣的數(shù)學(xué)思想？這些基本思想的建構(gòu)又該給學(xué)生提供怎樣的教學(xué)支撐？顯然光從問題的解答入手，幾個算式很難讓大部分學(xué)生感受其蘊含的數(shù)學(xué)思想，于是，筆者從學(xué)生探究問題的過程與策略入手，通過幾何直觀來實現(xiàn)基本數(shù)學(xué)方法的意義建構(gòu)，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展打下扎實基礎(chǔ)。

一、聯(lián)系生活，形成數(shù)學(xué)問題

【教學(xué)片段一】

師：同學(xué)們，去年我們寧波市實驗小學(xué)舉行了九十周年校慶活動，有很多同學(xué)都參加了這場隆重的校園嘉年華。在排練時，小演員們排成了各種隊形（課件出示各種學(xué)生隊形：三角形、四邊形、五邊形），為了看得更清楚些，我們用點子圖表示。從圖中你能得到哪些信息并提出怎樣的數(shù)學(xué)問題？

學(xué)生經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，提出了“每邊有7人，排成各種隊形分別需要多少人”的數(shù)學(xué)問題。于是我們從最簡單的三邊形入手進行研究。

（設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)問題的教學(xué)應(yīng)經(jīng)歷一個問題形成的過程，因此在教學(xué)點陣問題的一開始，就創(chuàng)設(shè)了一個學(xué)生非常熟悉的生活情境，并從中抽象出數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)了“從頭到尾”的問題思考過程。并從簡單的三邊形入手進行研究，從易到難，且有利于突出解決點陣問題的基本方法。）

二、圖式結(jié)合，探究解決方法

【教學(xué)片段二】

師：先想一想解決這個問題的思路，然后借助圖在上面圈一圈，再根據(jù)圈的情況列出算式，并向同桌說一說你的想法。

（設(shè)計意圖：對于點陣問題，學(xué)生或多或少已經(jīng)有所接觸，因此讓學(xué)生自己試著圈一圈，并根據(jù)圈的方法列出算式，能夠把學(xué)生的思維外顯，體現(xiàn)圖式結(jié)合的思想。）

1.在黑板上呈現(xiàn)生1的作品。

師：哪些同學(xué)和他圈得一樣？

師：根據(jù)這樣的圈法你能列出算式嗎？

生：我的算式是7×3-3。

師：為什么要減去3？

生：因為這個三角形有3個頂點，每個頂點都計算了兩次，所以要減去一次的3個頂點。

師：請你在圖上指出重復(fù)的3個頂點。

教師便根據(jù)學(xué)生的回答把圖上3個頂點的位置變成另外的顏色，并指著黑板的圖小結(jié)：每邊7人，這是1個7、2個7、3個7。3個頂點上的3個人重復(fù)計算，所以要減3。

2.你有什么不同的想法？

師：他圈的和剛才有什么不一樣？

生：他把6個人圈成一組，一共圈成3組。

師：這樣圈有什么好處？

生：我覺得他這樣圈的好處是不用把重復(fù)的頂點減掉，很簡便。

師：根據(jù)這樣的圈法，算式又是怎樣的呢？

生：（7-1）×3。

師：頂點上的這個人，既屬于這條邊也屬于那條邊，我們讓他只算在一條邊上，這樣就避免了重復(fù)計算。你們都明白了嗎？那就讓我們都閉起眼睛，想一想這種方法的圖式，再想一想算式。

3.教師展示了另一位學(xué)生的圖，問：你覺得他跟前面兩位同學(xué)想得一樣嗎？

生：我把5個人看成一組，這樣圈成三組，還有3個頂點沒有計算過所以還要再加3。

師：為了避免重復(fù)，我們先把頂點上的3顆不看，算（7-2）×3，再加3。

（設(shè)計意圖：在反饋過程中，教師沒有聯(lián)系植樹問題的間隔數(shù)、棵數(shù)等術(shù)語，而是始終圍繞了“你是怎樣圈的”“根據(jù)這樣圈算式該怎樣列”這兩個中心問題而展開，這樣就有機地把學(xué)生的思維與外部的圖式結(jié)合起來，促進方法的意義建構(gòu)。）

師：同學(xué)們排成三邊形隊伍，每邊7人，一共需要18人。剛才通過圈一圈、算一算的方式幫我們解決了這個問題。請你觀察幾種方法，你覺得解決這類問題的關(guān)鍵是什么？

生：我覺得三角形的關(guān)鍵是三個重復(fù)的點。

師：第一種方法把重復(fù)計數(shù)的部分減去，而其他兩種都是先避免了重復(fù)計數(shù)的情況，然后再進行計算。所以我們在解決這類問題的時候，首先要考慮哪些是會重復(fù)計數(shù)的，再選擇合適的方法進行計算。

（設(shè)計意圖：適當(dāng)?shù)奶釤捄涂偨Y(jié)，讓學(xué)生對剛剛獲得的基本方法進行了回顧和整理，并結(jié)合圖式梳理出解決問題的一般方法。）

三、橫向探究，形成數(shù)學(xué)模型

【教學(xué)片段三】

1.自主探索解決四邊形、五邊形隊形問題。

師：那排成四邊形和五邊形，每邊7人，分別需要多少人？你會解決嗎？請你選擇一種隊形畫一畫、想一想，能想出幾種不同的方法解決問題？

教師根據(jù)學(xué)生呈現(xiàn)的作業(yè)提問：所畫的圖和算式表達的意思一樣嗎？

為什么要減4（或5）？它們分別表示什么？

2.合作探究，引導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)、建模。

觀察下圖：

師：剛才同學(xué)們解決了四邊形、五邊形隊伍的問題，想出了很多方法，現(xiàn)在我們需要對填好的表格進行進一步的觀察和比較，同桌討論，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)四邊形的第四種方法只適合用于偶數(shù)邊的隊形，不適用于三邊形和五邊形。

生：我發(fā)現(xiàn)三邊形乘3，四邊形乘4，五邊形乘5。

生：我發(fā)現(xiàn)三邊形減3，四邊形減4，五邊形減5。

師：對啊，有幾條邊我們就乘幾，重復(fù)計算的頂點跟邊數(shù)也相同。

生：我們可以根據(jù)算式想到圖，也可以根據(jù)圖來想算式。

師：用圖幫我們思考，這是一種很好的方法。

（設(shè)計意圖：教師對解決的三邊形、四邊形、五邊形的問題作一個橫向比較，讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)解決方法的共同點，從而為進一步建立模型打好基礎(chǔ)。在反饋中，學(xué)生從三種隊形的共同特點出發(fā)，發(fā)現(xiàn)乘幾、加幾、減幾都與邊數(shù)有關(guān)。還有從四邊形解決方案的特殊性出發(fā)，發(fā)現(xiàn)第四種方法有一定的適用性，從而突出了解決此類問題的一般方法。）

師：如果每邊還是7人，排成八邊形，共需要幾人？

生：我想到的是6×8=48人。

師：想一想，他腦子里出現(xiàn)的是哪幅圖？

生：他想到的是第二種圖。

師：如果畫出來的是第一種圖，你覺得算式應(yīng)該怎樣？

生：我覺得算式是7×8-8。

師：如果列出算式是7×10-10，大家猜猜他設(shè)計的是幾邊形。

生：他設(shè)計的是十邊形。

師：如果排成n邊形，你能用簡潔的算式表示共有幾人嗎？

生：可以是7n-n。

生：可以是（7-1）×n。

生：可以是（7-2）n+n。

（設(shè)計意圖：從表格的觀察過渡到想象的直觀，教師一步步引導(dǎo)學(xué)生想八邊形怎樣解決，看算式猜一猜這是幾邊形，用這樣的方式引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中畫出直觀圖來，思考問題的層次進一步遞進，直到最后找出此類問題的一般模型，在學(xué)生的頭腦中牢固地建立了點陣問題的圖式模型。）

四、拓展應(yīng)用，解釋、發(fā)展數(shù)學(xué)模型

【教學(xué)片段四】

1.看書，解釋數(shù)學(xué)模型。

師：今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容在教材第120頁上，圍棋盤的最外層能放19個棋子，最外層一共可以擺放多少個棋子？書上的兩種方法你能解釋它的思考模型嗎？你還能想出其他的方法嗎？

2.變式，發(fā)展模型應(yīng)用。

學(xué)校召開運動會，操場每邊要擺30盆花，需要幾盆花？

教師展示了一位學(xué)生的作業(yè)：先書寫的算式是30×3-3，后改為30×3-2。可以發(fā)現(xiàn)他的思維改變過程。

師：原來的算式是30×3-3，為什么又改成了30×3-2？

生：我原來列了一個算式，后來又畫了一個Yxyb6kBtKBrdkOS98grqj/zj+umu0eGWoCY+HsTEMSU=圖，發(fā)現(xiàn)重復(fù)的只有2盆，不是3盆。

師：他通過圈一圈發(fā)現(xiàn)自己錯了，并及時糾正。還有不同想法嗎？

生：我的算式是（30-1）×2+30，前面兩條邊都圈29盆，最后一條邊是30盆。

生：我的算式是30×2+（30-2），兩邊的兩條邊都圈30盆，中間的一條邊是（30-2）盆。

生：我的算式是（30-1）×3+1，每邊都圈29盆，最后再加上一盆。

（設(shè)計意圖：在練習(xí)中，教師打破了封閉圖形的慣性思考，呈現(xiàn)這樣的變式，讓學(xué)生自覺地畫出了解決問題的方案圖，并Yxyb6kBtKBrdkOS98grqj/zj+umu0eGWoCY+HsTEMSU=根據(jù)圖列出相應(yīng)的算式，這樣的練習(xí)有助于學(xué)生進一步體會靈活應(yīng)用模型的思想。）

3.如果把這88盆花擺成一個正方形，要求每邊數(shù)量相等，而且頂點都要放，每邊可以擺幾盆花？

生：我先放好四個頂點，剩下84盆花，每邊還可以再放21盆，再加上兩邊的頂點，也就是23盆。

生：我畫出了我們的第二種圖，把88盆花平均分成4份，每份22盆，這樣只算了一個頂點，再加上一個頂點，也是23盆。

（設(shè)計意圖：逆向的問題思考，在不斷借助幾何直觀的教學(xué)背景之下，水到渠成，很好地實現(xiàn)了預(yù)期任務(wù)。）

在“點陣問題”教學(xué)中，師生共同借助幾何直觀，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想與方法的意義建構(gòu)，有效達成了預(yù)期目標(biāo)。在本課的教學(xué)實踐中，教師通過創(chuàng)設(shè)系列問題情境，學(xué)生在幾何直觀的輔助下，有效地把解決問題的圖式模型建構(gòu)在自己的知識結(jié)構(gòu)之中，促進了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

“點陣問題”的教學(xué)實踐，彰顯了幾何直觀的價值，也彰顯了數(shù)學(xué)廣角的學(xué)習(xí)價值。可惜的是人教版教材在修改時將這一內(nèi)容放到五年級上冊植樹問題的課后練習(xí)中，教學(xué)價值能否有效體現(xiàn)值得教師深思。

（浙江省寧波市實驗小學(xué) 315000

浙江省寧波市海曙區(qū)教育局教研室 315000）