讓學生經歷數學化的思考過程

【教學內容】人教版四年級下冊第117～119頁“植樹問題”。

【設計思考】

本節課以學生的操作體驗為本，在自主探索活動中經歷數學化的過程。通過簡單的20米長的路旁植樹，遷移到200米、2000米的植樹，在這一過程中探索用線段圖來發現栽樹的棵數和間隔數之間的關系，建立植樹問題的數學模型，突顯“數形結合”思想，回歸思維原點，積累數學活動經驗，感悟化繁為簡、一一對應思想，再用發現的規律和研究策略解決實際問題，從而培養學生的觀察比較能力、分析概括能力及語言表達能力。本節課以問題情境為載體，以認知沖突為誘因，以數學活動為形式，使學生經歷生活數學化、數學生活化的全過程，從中感悟數學思想，獲得問題解決的策略和方法。

【教學目標】

1.借助探索發現段數與植樹棵數之間的關系和變化規律，初步建立植樹問題的數學模型。

2.經歷探索植樹問題規律的過程，突顯“數形結合”思想，回歸思維的原點，積累數學活動經驗。感悟化繁為簡、一一對應等數學思想方法。

3.能運用規律和研究策略解決生活中的相關實際問題，感受數學在生活中的廣泛應用，體會學習數學的價值。

【教學過程】

一、生活感知，提出問題

師：今天我們來研究植樹問題。你們種過樹嗎？怎么種的？

師：看來大家對種樹已經有了一定的經驗。在一條公路上，有這樣兩種植樹情況（見下圖），你喜歡哪一種？為什么？

師：大家都喜歡排列整齊、美觀的第二種種植方法，那你發現第二種有什么特點？

生：距離相等。

師：你們有發現嗎？誰能到上面指一指？

師：每2棵樹之間的距離，也叫“間距”，間距相等看起來就很整齊。距離相等不僅美觀，而且有利于樹木的成長。這節課專門來研究距離相等的植樹問題。

（設計意圖：教學基于學生的認知起點展開，為了充分暴露學生的原有認知，教師一開始就將生活情境拋給了學生：你們種過樹嗎？怎么種的？結合學生的生活情境展開探究，通過對同一條公路的兩種不同種法展開討論，不僅充分展現了學生的原認知，而且明確了等距離植樹的學習要求，為教學的后續展開奠定了扎實的基礎。）

二、借助示意圖，探求規律

1. 模擬種樹實驗。

師：現在我們一起來種一種樹。假如這是一條20米長的小路，現在路的一旁種樹，要求間距相等，你打算怎樣種？

師：在種樹之前，先請你想一想，種樹時你要考慮哪些因素？

生： 間距要相等。

生：每隔幾米種一棵。

生：有可能兩端都種，也有可能只種一端，或者兩端都不種。

師：今天我們就研究兩端都種的情況。

2.自主操作探索。

學生根據教師提供的材料自主地種植，呈現了不同間距的情況。

3.反饋。（根據間隔不同有序呈現）

生：我是每隔10米種1棵，共種3棵。

生：我是每隔5米種1棵，共種5棵。

生：我是每隔4米種1棵，共種6棵。

生： 我是每隔2米種1棵，共種11棵。

生： 我種的樹多，排不下，就用一條、一條來代替。我是每隔1米種1棵，共種21棵。

師：這是一個很好的方法，我們畫樹比較麻煩，可以通過畫線段的方法來表示，這樣的圖示，我們稱為線段圖。

4.合作探究。

師：仔細觀察這些植樹情況，發現了什么？

生：有的棵數多，有的棵數少。

師：同樣是20米長的馬路，種的棵數為什么有多有少呢？

生：間距長、棵數少；間距短、棵數多。

師：是啊，當全長一定時，棵數的多少與間距的長短有關。

師：對這些種法你有什么建議？

生：有些種得很多很密，不利于生長，有些種得很疏很少，有些浪費。

師：我們在種樹時要考慮到環境的具體情況、樹木生長的規律，然后再作出相應的選擇。那間距、段數、棵數之間還存在著怎樣的關系？同桌互相交流一下。

生：全長÷間距+1=棵數。

師（追問）：真是這樣嗎？選擇一個種法驗證一下。

生：我驗證的是每隔5米種1棵，種了5棵樹。20÷5=4，4+1=5（棵）。

師：為什么要先求20÷5？求得的又是什么？

師：這就是求“段數”的方法，段數都可以用“全長÷間距”得到嗎？

進一步引導觀察段數與棵數的關系。

師：段數可以用“全長÷間距”來計算，那段數和棵數又有什么聯系呢？

生發現依次加1得到棵數。追問：為什么要加1？你是怎么想的？你能指著圖來說明嗎？

師：其實他的意思就是一段對應一棵，4段對應4棵，最后還要種一棵，所以要加1。

5.學習回顧：我們剛才是怎樣學習的？

我們通過畫一畫、數一數、比一比，從這些圖中發現了“全長÷間距+1=棵數”，也理解了段數與間距、棵數與段數的關系。

（設計意圖：這部分的教學主要包括合作交流、動手操作、比較探究、尋求規律、總結學法幾個環節。學生通過畫一畫、比一比、找一找參與了探究的全部過程，數形結合，滲透對應思想，積累了數學的基本活動經驗。通過對這些圖示的觀察，用類比的方法溝通了間距與段數、段數與棵數之間的聯系，從而真正理解了數量之間的關系。）

三、拓展深化，滲透思想

師：現在你能用剛才發現的規律，解決更長公路上的植樹問題嗎？

（1）在全長200米的公路一邊植樹（兩端都種）。

（2）在全長2000米的公路一邊植樹（兩端都種）。

（3）在全長20000米的公路一邊植樹（兩端都種）。

每隔10米種一棵，分別種了多少棵？

請每人選擇一種情況進行研究并匯報。

1.匯報交流，引導發現規律。

師：說說你是怎么想的，用什么方法解決的。

生：200÷10+1=21（棵）。

生：2000÷10+1=201（棵）。

生：20000÷10+1=2001（棵）。

師（追問）：為什么大家也是用“全長÷間距+1=棵數”的方法來解決呢？我們從20米長的小路種植中發現的規律在200米、2000米、甚至20000米的道路上是不是也適用呢？

生：我是這樣想的，我能用圖來說嗎？這里的一點（一棵樹）與一段是一對，這樣一對一對，最后還剩下一棵樹，所以要加1。

師：聽懂他的意思了嗎？誰能再來說一說？

師：是啊，這樣的對應我們稱為一一對應，前面的一棵棵樹都與一段段對應起來了，最后還剩一棵樹，可見棵數=段數+1，也就是全長÷間距+1=棵數，在任意長的馬路上植樹都正確的，要注意哦，是兩端都要種的情況。

2.小結：在解決較長道路上的植樹問題時，運用已建立的棵數與段數的對應關系，就能很好地解決兩端都種的植樹問題了。像這樣研究數學問題的過程，對你們今后學習有什么啟發？

生：可以用畫圖解決問題。

生：從小的數入手去研究確實會比較方便。

生：借助圖真正理解數量之間的關系，再大的數據都能用一樣的方法解決。

（設計意圖：20米路上的植樹問題是通過畫示意圖尋找到規律的，那么在解決較長路時，還需要去畫圖嗎？顯然不能用了。當學生真正理解段數與棵數的對應關系時，看到段數就會想到相對應的棵數，在頭腦中已經建立起一一對應的思想。新課結束后教師進行學法指導非常有必要，使學生感悟到以后學習遇到困難時，可以用畫圖尋找規律，從小數入手尋求解決方法比較簡單。很好地呈現了此類數學問題探究的范式，展現了一個科學的數學探究歷程，對學生學習方法和學習能力的提升具有非常重要的意義。）

3.舉例：學習使同學們收獲很多，在日常生活中還看到過類似的植樹問題嗎？學生紛紛舉出安裝路燈、花壇擺花、排隊等情況。

（設計意圖： “植樹問題”滲透著數學思想方法，在現實生活中類似的問題還有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、掛氣球等等，其中都隱藏著總數和間隔數之間的關系。前期的學習都是圍繞植樹展開，容易讓學生形成思維定勢，認為植樹問題只在植樹中適用。因此在模型建立后，教師要適時打破學生這一認知，將此模型應用于其他情境，既讓學生體會到植樹問題和生活的聯系，感受到數學的實際應用價值，更是讓學生對植樹問題的本質有了進一步的認識。）

四、實際應用，拓展提升

1.選一選。

（1）為迎接社區活動，要在小區大門口掛燈籠（兩端都掛），全長30米，每隔5米掛一個，需要多少個燈籠？

① 30÷5=6（個）； ② 30÷5+1=7（個）；

③ 30÷5-1=5（個）。

師（引導）：可以看作植樹問題嗎？你是怎么想的？

原來可以把燈籠看作樹，間距就是5米，求需要幾個燈籠就是在求棵數。

（2）在一條全長500米的街道兩旁安裝路燈（兩端都安裝），每隔20米安裝一座，一共要安裝多少座路燈？正確列式為（ ）；把什么看作了樹？

① 500÷20 ；②500÷20+1；③（500÷20+1）×2。

（設計意圖：構建植樹問題與生活同類問題的聯系，建立“樹”“間隔”的模型。）

2.題組練習。

校運動會開幕式，402班有25名同學參加彩旗隊，排成一列整齊的隊形。

（1）如果每兩人之間的距離都是1米，這列隊伍長多少米？

（2）現在要在每兩人之間放1盆花，一共能放多少盆花？

師（引導）：說說你是怎么想的：根據間距怎樣求隊伍的長？兩人中間放花與什么有關？

（設計意圖：有效的練習設計，讓學生獨立思考作業，有利于學生認知的及時鞏固和發展。這里安排了兩個層次的練習：第一層次“選一選”把植樹問題與生活相聯系，鞏固了知識；第二層次以題組形式出現，同一情境設計了2個階梯型的問題，幫助學生分散難點，理解求段數和全長的方法。）

五、舉例引申，引發思考

師：今天我們主要研究了植樹問題中兩端都種的情況，但在實際生活中還會出現其他情況。

鋪墊孕伏：這些都是生活中的植樹問題，有些只種一端，有些兩端都不種。這時，棵數、間距與全長會有什么關系呢？下節課將進一步研究。

（設計意圖：在全課快要結束時，伴隨著輕松歡快的音樂聲，欣賞著生活中的數學問題，突破了學生現有的認知，為后續進一步學習其他情況的植樹問題做好鋪墊。）

【課后反思】

“植樹問題”是人教版四年級下冊數學廣角的內容，修訂版把這一內容調整到五年級上冊。數學思想方法是數學的靈魂，讓學生在尋求解決植樹問題的策略和方法過程中，培養學生解決實際問題的實踐經驗和能力，并感受到一些數學思想方法。通過經歷猜想、實驗、推理等數學探究的過程，激發學生對數學的好奇心和求知欲，增強學生學習數學的興趣。在這節課中，主要體現這樣幾個特點：

一、關注學生的認知起點，體現教學的有效性

教學要體現有效，教師最先要思考的是學生的知識起點在哪里，只有了解了學生的知識起點，才能制定具體的策略方法來有效地引導他們。經過對學生知識起點的調查，結果如下：①學生對生活中的種樹現象有一定的認識，有些親自參加過植樹，有些在很多地方看到過別人植樹。②低年級學生已經初步感知過植樹問題，有些學生已經知道數量關系式，但不能用一一對應的思想去理解棵數為什么加1或減1。基于這樣的認知基礎，筆者讓學生對“植樹”這個生活情境展開探究，不僅充分展現了學生的原認知，而且明確了等距離植樹的學習要求，為教學的后續展開奠定了扎實的基礎。

二、動手操作、自主探索，積累數學活動經驗，讓學生獲得成功的體驗

在課的開始，設計了給學生一條總長是20米的路讓學生動手“植樹”的環節，這樣可以充分調動學生手、腦、口等多種感官參與到數學學習活動中來，更大程度地提高學生參與學習的效度。學生在分組合作模擬植樹活動中尋找規律的時候表現得很輕松。這樣的活動方式不僅是充分展示學生個性思維和了解學生原有生活經驗的難得平臺，而且學生在活動中建立了植樹問題的模型，為學生后面的學習做好直觀的鋪墊。

三、利用幾何直觀，引導學生概括數學規律，培養學生借助圖形解決問題的意識

幾何直觀可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。在教學中，讓學生利用直觀手段揭示種樹棵數和段數之間內在的對應關系，幫助學生發現規律，建立數學模型，真正明白“種樹棵數比間隔數多1”“種樹棵數等于間隔數”和“種樹棵數比間隔數少1”的道理，溝通了三者的聯系，有利于學生從整體上理解、把握解決植樹問題的思想方法。

四、關注植樹問題模型的拓展和應用，注重反映數學與生活的密切聯系

植樹問題的模型源于現實，又高于生活，在現實中有著廣泛的應用價值。所以我們要引導學生把與數學有關的知識引入數學學習，抽象提煉出數學模型。為了讓學生理解這一建模的意義，加強模型應用功能的練習，在學生已經自主地尋找到植樹的規律后，筆者適時提出在生活中有沒有類似植樹的情況，通過學生的舉例，讓他們進一步體會現實生活中的許多不同事件都含有與植樹問題相同的數量關系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決，從而感悟數學建模的重要意義。讓學生運用所學的數學知識解決生活中的問題，使學生體會到數學的價值與魅力。

（浙江省寧波市海曙中心小學 315000

浙江省寧波市海曙區教育局教研室 315000）